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vetores 2.0

Published: Jul 27, 2026
Pages: 255

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Paulo WinterleVETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA ALWAYS LEARNING
Page 2
Vetores e Geometria Analítica2ª edição Paulo Winterle
©2014 by Pearson Education do BrasilTodos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil. DIRETOR EDITORIAL E DE CONTEÚDO
AGRADECIMENTOSA Deus pelo dom da eterna vida e pela vocação na apaixonante carreira docente. À Lia, minha esposa, pelo amor, paciência e muito apoio nas centenas de horas durante os meses de preparação deste livro. À Pearson pela valorização do texto concretizada na iniciativa desta edição.
Page 6PARA INÍCIO DE CONVERSA... A experiência adquirida em mais de vinte anos de docência da disciplina me motivou a apre- sentar este trabalho, cuja ênfase é o aspecto didático. Procurei organizar um texto que per- mita ao estudante “prosseguir sozinho”, se assim o desejar, sem naturalmente prescindir da orientação do professor.
Page 7■ Vetores e geometria analítica três em três, até o final. Assim se terá passado por todo o conteúdo e experimentado os diversos níveis de dificuldade. E, no caso de ainda sobrar tempo, recomenda-se retornar e resolver aqueles que ficaram de fora, para reforçar o conhecimento do conteúdo. Esses problemas são apresentados na ordem de desenvolvimento do texto, e os últimos oferecem maiores desafios. Finalmente, para permitir a autoavaliação do trabalho, Respostas são apresentadas logo a seguir. Ao professor e colega desejo manifestar a satisfação deste lançamento, colocando em suas mãos um texto, assim espero, facilitador de sua tarefa docente. É claro que este tem a “cara” do autor, e meus ex-alunos certamente nele me identificariam. Da mesma forma, cada professor tem suas peculiaridades (ainda bem!), razão por que não é possível fazer um livro do agrado de todos.
SUMÁRIOAgradecimentos. Para início de conversa
■ Vetores e geometria analítica2 PRODUTO ESCALAR Definição algébrica.
■ Sumário5 A RETA...
■ Vetores e geometria analítica8 CÔNICAS
VETORESCom o propósito de garantir maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetores é feita por meio de dois tratamentos que se completam: o geométrico e o algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é possibilitar, predominantemente, a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros são abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato. Noção intuitiva
■ Vetores e geometria analítica(a) Figura 1.1
ou B-AAB ■ Capítulo 1 Vetores em que A é a origem e B a extremidade do segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma seta, tal como v.
■ Vetores e geometria analíticaV W
Page 16Três vetores podem ser coplanares (Figura 1.11(a)) ou não (Figura 1.11(b)). W
Page 172. A Figura 1.13 representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: ■ Vetores e geometria analítica
Page 18origem A e extremidade C é, por definição, o vetor soma de ü e v, ou seja, u + v = AC ou AB + BC: = AC
■ Vetores e geometria analíticaIII) Elemento neutro: u + 0 = ū IV) Elemento oposto: + (− ) = 0 u + v
Page 203. Dados dois vetores u e v não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores u + v, ü - v, vue-u- v, todos com origem em um mesmo ponto. Solução
Page 21■ Vetores e geometria analítica a) módulo: |av|=|a||v|, ou seja, o com- primento av é igual ao comprimento de v multiplicado por |a|; b) direção: av é paralelo a v;
Page 221 o versor de vé 3V;
■ Vetores e geometria analíticaSolução Figura 1.25(b)
Page 24Se // eu e v têm sentidos contrários, então 0 = л. É o caso de ū e -3ū (Figura 1.28(b)). 2u
Page 253. Com base na Figura 1.29, determinar os vetores a seguir, expressando-os com ■ Vetores e geometria analítica origem no ponto A: a) OCCH b) EH + FG c) 2AE2AF d) EH + EF e) EO + BG f) 2OE + 20C
Page 26a) x = BA + 2BC b) x=2CA +2BA c) x=3AB2BC d) x = AB - 2CB 2
Page 2712. Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60°, determinar o ângulo for- mado pelos vetores ■ Vetores e geometria analítica a) u e-v b) -u e 2v
11. Não b) 120° c) 60° a) 120°12. c) 60°
Page 29Os vetores u, v, w, t, x e ỹ, representados na figura, são expressos em função de V₁ e V₂ por ■ Vetores e geometria analítica u = 5v₁ + 4v₂ v = −2v₁ + 3v₂ w=-4v₁ - 3v₂ De modo geral, dados dois vetores quaisquer v₁ e v₂ não paralelos, para cada vetor
Page 30Daqui por diante, trataremos somente da base canônica. Dado um vetor v qualquer do plano (Figura 1.41), existe uma só dupla de nú- meros x e y tal que v = xi + yj y j xi
Page 31De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Igualdade de vetores
Page 32As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades: a) para quaisquer vetores ū, ve ŵ, tem-se u + 0 =
■ Vetores e geometria analíticaSolução Substituindo os vetores na igualdade anterior, temos (10, 2) = a₁(3, 5) + a₂(−1, 2)
Page 34A(x₁, y₁) B(x2, y2)
■ Vetores e geometria analítica y BV u 3 4 2
ObservaçãoEsse problema poderia, também, ter sido resolvido da seguinte maneira: 1
■ Vetores e geometria analíticaMas AMMA = (2, 2)
Paralelismo de dois vetores■ Capítulo 1 Vimos que, se dois vetores ū = (x₁, y₁) e v = (×₂, y₂) são paralelos, existe um nú- mero real a tal que u = av, ou seja, ou donde que pela condição de igualdade resulta em (x₁, y₁) = α(x2, Y2)
■ Vetores e geometria analíticaObservações a) Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos A(x₁, y₁) e B(x2, y2) (Figura 1.52) é o comprimento (mó- dulo) do vetor AB, isto é, B
Page 40Solução a) |u|=√(−1)²+3² = √1+9 = √10 b) Por ser u+v = (−1, 3) + (−2, −1) = (−3, 2), temos |+|=|(-3,2)|=√(−3)²+2² = √9+4= √13
■ Vetores e geometria analíticaSolução a) Basta multiplicar o vetor por 3: 3v = 3(−2, 1) = (−6, 3) b) Basta multiplicar o vetor por c) Um vetor unitário obtido a partir de vé
Page 42Cada dupla de vetores da base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, deter- mina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. As Figuras 1.54(a) e 1.54(b) dão uma ideia dos planos xy e xz, respectivamente. Z
Vetores e geometria analíticaO vetor v = x + yj + zk também será expresso por v = (x, y, z) que é a expressão analítica de v. Para exemplificar
Page 44O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P(2, 4, 3) no eixo x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos y ez, respectivamente. Como todos os pontos da face, ■ Capítulo 1
■ Vetores e geometria analítica4 Figura 1.58
■ Capítulo 1A Figura 1.60 apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B', C' e D' estão abaixo desse plano e têm cota -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 1º octante ponto B(-5, 3, 2), situado no 2º octante ponto C(-6, -5, 2), situado no 3º octante ponto D(5, -3, 2), situado no 4º octante ponto A'(6, 4, -2), situado no 5º octante ponto B'(-5, 3, -2), situado no 6º octante ponto C'(-6, -5, -2), situado no 7º octante ponto D'(5, -3, -2), situado no 8º octante Ꮓ
Page 47II) Dados os vetores ū = u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y2, Z₁ + Z2) como: au = (αx₁, ay₁, az₁)
Page 48ou Logo
SoluçãoComo os pontos A, B e P pertencem à mesma reta (Figura 1.63), qualquer du- pla de vetores formados utilizando estes três pontos são paralelos. Tomemos a condição AB//AP, ou seja (−2, −1, −3)//(-4, m + 2, n − 4) e, portanto, ■ Vetores e geometria analítica -2(m + 2) = 4 -2(n-4)=12
a) OA AB3. Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, −1) e O(0, 0), calcular b) OC - BC c) 3BA 4CB 4. Dados os vetores u = (2, −4), v = (-5, 1) e w = (-12, 6), determinar a₁ e a₂ tais que wa₁u+a₂v.
Page 5114. Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar: a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
Page 5224. Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices a) A(0, 0, 1), B(0, 0, 2), C(4, 0, 2) e D(4, 0, 1) b) A(2, 1, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 2) e D(0, 1, 2)
Page 53de acordo com a figura, determinar as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D e O' em relação aos sistemas dados. ■ Vetores e geometria analítica
Page 5439. Dados os pontos A(1, −1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o seg- mento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? 40. Sendo A(-2, 1, 3) e B(6, -7, 1) extremidades de um segmento, determinar:
■ Vetores e geometria analítica49. Verificar se são unitários os seguintes vetores: 1 2 1 u = (1, 1, 1) e v = (→
Page 5610 E(4,-)
■ Vetores e geometria analítica7 a ===,b=- ec=4
PRODUTO ESCALARDEFINIÇÃO ALGÉBRICA 2
■ Vetores e geometria analíticaSolução BA A B (1,-3,3)
Page 60ū·(v+w)=(x₁₁,Z₁)·(x2+x3, у2+Y3Z2 +Z3) =x₁ (x2+x3)+y₁(y₂+Y3)+Z₁ (Z₂+Z3)
■ Vetores e geometria analíticaSolução (ū+v)·(ū−v)=ū·(ū−v)+v·(ū−v)
b) Vimos que |ū+v|²=|ūẞ² +2ū·v+|v|²Então, |u+v=2²+2(-3)+32=7 e, portanto, c) De forma análoga, tem-se |ū−v|²=|ūẞ² −2ū·ñ+|v|²
Page 63c) Como em (2) o sinal de uv é o mesmo de cos 0, concluímos que: ■ Vetores e geometria analítica
SoluçãoA forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto esca- lar é zero. Consideremos os vetores AB=(0,-2,-2)
Page 654. Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. ■ Vetores e geometria analítica
ExemplosSolução cos 0= Logo, 1. Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(−1,2,2).
Page 673. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, −3, 3), B(2, −1, 2) e C(1, 0, 2). Solução
ObservaçãoPara o cálculo desses valores utilizaremos a fórmula (6): vi (x,y,z) (1,0,0) _ x |V|(1) |V|
Page 692. Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60°. Determinar a. ■ Vetores e geometria analítica
Page 704. Obter o vetor v, sabendo que |v|=4, v é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60° com o vetor i e ângulo obtuso com j. Solução
■ Vetores e geometria analítica(a) Figura 2.10
Page 72O comprimento do vetor projeção de ▾ sobre u, sendo ū unitário, é igual ao módulo do produto escalar de ▾ por u. Exemplos
■ Vetores e geometria analítica b)Solução 3. Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1) e C(m, -5, 3).
Page 74Considerando os vetores =(x₁,y₁) e v=(x2,y2), temos b) validade das mesmas propriedades do produto escalar; c) se é o ângulo entre 0 ev #0, então cos 0= d) use, e somente se, u.v=0;
■ Vetores e geometria analíticaExemplos 1. Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, F, F, Fe P (Figura 2.13) e pela força resultante, para deslocar o bloco de A até B, sabendo que |F|=10N, |F |=8N, |P|=3N,|F|=3N, d=AB e|d|=10m.
Page 76Logo, ou e 0=36,9°. Solução ou por b) pelo trabalho realizado pela força resultante FR: Ƒ₁₂ =F+F₁₂ +P+F√ (soma de vetores)
■ Vetores e geometria analíticaProblemas propostos 1. Dados os vetores ū=(2,-3,-1) e =(1,-1,4), calcular:
Page 7812. Calcular |+|, |ū−v] e (ū+v)·(ū-v), sabendo que |u|=4, ||=3 e o ângulo entre u ev é de 60°. a) |(2ū―v)·(ū−2v)|
Page 7925. Determinar o ângulo entre os vetores: a) u=(2,-1,-1) e =(-1,-1,2)
Page 80■ Capítulo 2 a) v é ortogonal ao eixo Oz, |V|=8, forma ângulo de 30° com o vetor i e ângulo obtuso com j; b) v é ortogonal ao eixo Ox, |v|=2, forma ângulo de 60° com o vetor j e ângulo agudo com K.
Page 8148. Dados os vetores ū=i−j e v=2i+j, determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor Ï: ■ Vetores e geometria analítica a) ū b) v c) u+v d) u-v e) v-ū
Page 82√√√30 19. m = 1 e
Page 8339. =(-2,1,4) Vetores e geometria analítica
PRODUTO VETORIALPRELIMINARES 3
Page 85Vetores e geometria analítica d) Um determinante de ordem 3 pode ser dado por b с a Ут Z₁
Page 86j k N N
Page 872) uxv=ō se, e somente se, u||v, pois, nesse caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Estão aí também incluídos os casos particulares:
Exemplo e b) Sentido de uxvComo o vetor vxu tem a mesma direção de uxv (apenas seus sentidos são opostos), ele tam- bém é ortogonal tanto a ū como a v. A Figura 3.2 apresenta os vetores ü×ve v×ü ortogonais a um plano л determinado por u e v. π
Page 89A Figura 3.3 (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão, quando, então, o dedo polegar apontará para baixo. Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de üxv, podemos associar esses dois vetores a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i, j e k. Por exemplo, as- sociando uxv com ixj e tendo em vista que ■ Vetores e geometria analítica i j 0 0=(0,0,1)=k,
Page 90Esse resultado é imediato quando se conhece a identidade de Lagrange: Como e |ū×v²=|ū²|v² −(ū⋅v)²
Page 91O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: "a área do paralelogramo de- terminado pelos vetores ū e ▾ é numericamente igual ao comprimento do vetor ux”. Vamos comprovar esse resultado por meio de um exemplo particular tomando os vetores u=2i e v=3j. Temos, então, ■ Vetores e geometria analítica i j k 0=(0,0,6)=6k uxv-20
Exemplos1. Determinar o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e u=xxv, sendo =(1,1,-1) e v=(2,-1,1). Solução
■ Vetores e geometria analíticaLogo, as infinitas soluções são Observação j k
Page 943. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular | ABXAC|. Solução
■ Vetores e geometria analíticaDe A = (base) (altura) = |ū|·h vem A h= ou seja, √6
Page 966. Dados os vetores ū=(2,1,-1) e v=(1,-1,a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a √62. Solução
■ Vetores e geometria analíticaSolução A Figura 3.10 mostra que, a partir do triângulo ABC, é possível construir um paralelogramo ABDC, cuja área é o dobro da área do triângulo.
Page 98em que |ŕ| é a distância do ponto de aplicação da força F ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Lembrando o cálculo do módulo do produto vetorial visto em (3), tem-se
■ Vetores e geometria analítica7=(0i+2j+0k)m×(−101+0j+0k)N ou Ꮓ t=(20k)mN
Page 1006. Dados os vetores ū=(3,1,1), v=(-4,1,3) e w=(1,2,0), determinar x de modo que xwe xxu=v. 7. Considerando a Figura 3.13, calcular a) OFXOD d) ECXEA e) OA (OCXOE)
■ Vetores e geometria analítica a) 2uxv|15. Sendo |u|=2√2, |v|=4 e 45° o ângulo entre u e v, calcular 16. Determinar ü·v, sabendo que |ü×v|=12, |ū|=13 e v é unitário.
Page 10227. Dados os pontos A(2, 1, -1) e B(0, 2, 1), determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 u.a. 28. Sabendo que os pontos A(4, 0, 0), B(0, 0, 2), C(0, 3, 0) e D(4, 3, -2) são coplanares, calcular a área do quadrilátero ABCD.
■ Vetores e geometria analítica13. (0,√2,-√2) (0,-√2,√2)
PRODUTO MISTODEFINIÇÃO 4
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTOAs propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. 1) O produto misto (u,v, w) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.
Page 106Reciprocamente, admitindo-se que u, ve ŵ sejam coplanares, o vetor vxw, por ser ortogonal a v ew, é também ortogonal a u. Ora, se u e vxw são ortogonais, o produto escalar deles é igual a zero, ou seja, Observação ü.(vxw)=(u,v, w)=0
Page 107■ Vetores e geometria analítica ou e, portanto, 2-2m 12+m=0 m=-10 3. Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2), C (0, 2, 2) e D(-2, 1, −3) estão no mesmo plano.
Page 108(É necessário considerar o valor absoluto | cos 0|, pois e pode ser um ângulo obtuso.) Então, o volume V do paralelepípedo é Portanto, Exemplo
■ Vetores e geometria analíticaVOLUME DO TETRAEDRO Sejam A, B, C e D pontos não coplanares. Portanto, os vetores AB, AC e AD também são não coplanares. Em consequência, esses vetores determinam um paralele- pípedo (Figura 4.4) cujo volume é
Page 110Mas 4 -2
■ Vetores e geometria analítica3. Sabendo que u·(vxw)=2, calcular a) u.(wxv) b) v.(wxu)
Page 11214. Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A(1, 1, 0), B(6, 4, 1), C(2, 5, 0) e D(0, 3, 3). ■ Capítulo 4
■ Vetores e geometria analítica17 10. 17 e √30
Page 114A RETA para algum real t. De (1), vem ou ou, em coordenadas, EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Page 115para t = 3, obtém-se o ponto P3 (7,8,10); para t = 0, obtém-se o próprio ponto A(1, -1, 4);
Page 116b) A equação (4) não é a única equação vetorial de r. Existem, na verdade, infinitas equações vetoriais de r, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro vetor qualquer não nulo que seja múltiplo de v. Por exemplo, a equação (x, y, z) = (1, −1, 4) + t(4, 6, 4)
Page 117d) e)
Para E(5,-4,-3), as equações[5=2+t -4=3-2t
RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOSA reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor v=AB. ■ Vetores e geometria analítica
Page 120Notemos que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t≤ 1 são PA+t(BA)
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETAEm vez de realizar um tratamento genérico, tomaremos um caso particular. Seja a reta r definida pelo ponto A(2, -4, -3) e pelo vetor diretor =(1,2,-3), ela pode ser expressa pelas equações simétricas
Page 122d) A reta r das equações (7) pode ser representada pelas equações paramétricas x=2+t y=-4+2t z=-3-3t ■ Capítulo 5 A retal
■ Vetores e geometria analíticaObservação 4
Page 124Ꮓ 2.
Page 125√x=2 ly=3 subentendendo-se z uma variável livre que assume todos os valores reais. Ou seja, todos os pontos de r são do tipo (2, 3, z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta. ■ Vetores e geometria analítica
Page 126Chama-se ângulo de duas retas ₁₁e ½ o menor ângulo de um vetor diretor de ₁₁ e de um vetor diretor de Ę. Logo, sendo 0 este ângulo, tem-se |V1-V2| V1 V2 π cose= com 0≤0≤
■ Vetores e geometria analíticaObservação Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na Figura 5.10, as retas r, e r₂ são ortogonais a r. Porém, r, e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são perpendiculares.
SoluçãoAs direções de r₁ e r₂ são definidas pelos vetores v₁ =(2,3,-4) e v₂ = (0,1,−1). Então, a reta r tem a direção do vetor i j k V₁₂ = 23 -4=(1,2,2)
Page 129Portanto, o ponto de interseção é I(2, −1, 3). O mesmo ponto seria obtido substituindo-se t = −1 nas equações de г.
Problemas propostos■ Capítulo 5 1. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -3, 4) e B(1, −1, 2) e verificar se os pontos C(-,-4,5) e D(−1, 3, 4) pertencem a r.
Page 1318. O ponto P(m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, −1). Determinar P. 9. Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, −1, 4). Escrever equa- ções paramétricas da reta que passa pelo ponto médio de lado AB e pelo vértice oposto C.
Page 13218. Representar graficamente as retas de equações x=1-t y=4 y=-1+2t a) e)
Page 13323. Sabendo que as retas r₁ er, são ortogonais, determinar o valor de m para os casos: ■ Vetores e geometria analítica x=2mt-3
Page 13426. Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas: Sy=2x-5
■ Vetores e geometria analítica34. Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta x=1+t r: y 2-t z=4+2t a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular 124
y = 1-2t com t = [0,1]z = 4-5t BC: x = 2 + t y = 1 + t z = 4 + 3t r: x = 2 + t
■ Vetores e geometria analítica b) m = 426. a) m = -3 y=-x+1 z=3x
O PLANOEQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A(x,y,z) um ponto pertencente ao plano л eñ=(a,b,c), ñ0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (Figura 6.1).
Page 139um de seus vetores normais é ñ=(3,2,-1). π 3x+2yz+1=0 c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada.
Page 1402. Escrever uma equação geral do plano л que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano Solução π₁: 3x-4y-2z+5=0.
■ Vetores e geometria analítica0 e z=0, vem x=2 y= vem y = 3 O e z = 0, x =
Page 142tv A u hu
Page 143Solução a) Equação vetorial: (x, y, z) = (2, 2, −1) + h(2, −3, 1) + t(−1, 5, -3) b) Equações paramétricas: ■ Vetores e geometria analítica
(AP,u,v) = 0Assim, obtém-se uma equação geral do plano desenvolvendo o 1° membro da igualdade x-2y-2 z+1 -3 1 |=0
Page 145Vetores e geometria analítica e d = -3; portanto, uma equação geral de л é 3x+6y+3z3=0 ou, multiplicando ambos os membros da equação por x+2y+z-1=0
Então, Solução x=-2+h+-t2 2
EQUAÇÃO VETORIAL DE UM PARALELOGRAMODados os pontos A, B e C não em li- nha reta, os vetores AB e AC determinam o paralelogramo (Figura 6.8) cuja equação vetorial é ■ Vetores e geometria analítica
Page 148e representaria um plano paralelo ao da Figura 6.9, porém, passando pela origem O(0, 0, 0), pois as coordenadas deste ponto verificam a equação: 3(0)+4(0) + 2(0) = 0
■ Vetores e geometria analíticaᏃ Figura 6.11
Page 150Na Figura 6.14 estão representados os planos de equação z = 6 e z = 0 (plano xOy). Raciocínio análogo leva-nos a concluir que y = k representa plano paralelo a xOz e x = k representa plano paralelo a yOz.
ÂNGULO DE DOIS PLANOSSejam os planos л₁ е л com vetores normais ñ₁ e ñ, respectivamente (Figura 6.17). ■ Vetores e geometria analítica n₁
PLANOS PERPENDICULARESConsideremos dois planos л₁ е л₁, e sejam ñ₁ е ñ vetores normais a л е л respectivamente. Pela Figura 6.18 conclui-se que: Exemplo
PARALELISMO E PERPENDICULARISMOENTRE RETA E PLANO Seja uma reta r com a direção do vetor v e um plano л, sendo ñ um vetor normal a л. Pelas figuras conclui-se que:
RETA CONTIDA EM UM PLANOUma reta r está contida no plano л (Fi- gura 6.20) se I) dois pontos A e B der forem também de л ou II) vñ=0, em que v é um vetor diretor de r e ñ um vetor normal a л е A Є л, sendo A = r.
Page 155(5x-y+z-5=0 r: (x+y+2z-7=0
ExemplosINTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO ■ Capítulo 6
Problemas propostosOs Problemas 1 a 48 estão de acordo com a ordem do texto, e os demais se constituem ótimo reforço. ■ Vetores e geometria analítica
Page 15810. A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1). 11. A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3).
Page 159x=-t X=Z
Page 160[x=2-h+2t Ty=2h+3 b)
■ Vetores e geometria analítica y=x-1046. r: л: 2xу+3z - 9 = 0 e z=-x+1 x=2+h+2t x=4+k л: y=-3-h-t z=1+3h-3t
Page 16255. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A(3, 6, 4), intercepta o eixo Oz e é paralela ao plano л: x-3y+ 5z - 6 = 0. Nos problemas 56 a 62 apresentar uma equação geral dos planos em que ☐ Capítulo 6
Page 16370. Dadas as retas r₁: y = -2x, z = x e r₂: x = 2 t, y = −1 +t, z = 4 - 2t, determinar: a) o ponto P' simétrico de P(1, 0, 5) em relação à reta r₁;
Page 16411. z 3 0 12. α = 3
■ Vetores e geometria analítica1 35. a)
Page 16611 3 53.
Page 167
DISTÂNCIASDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 7
Vetores e geometria analíticaComparando a) eb), vem Exemplo
tem-seDado um ponto Po e um plano л, calcular a distância d(P,л) de Paл. Seja A um ponto qualquer de л e ñ um vetor normal a л. A Figura 7.3 esclarece que a distância d(P₁,л) é o módulo da projeção de APo na direção de ñ. De acordo com o Capítulo 2, ■ Capítulo 7
Page 171Observemos que a expressão axo +by+czo+d se obtém substituindo x, y e z no primeiro membro da equação geral de л pelas coordenadas do ponto Po. ■ Vetores e geometria analítica
SoluçãoObservemos primeiro que r // π, pois vn=(1,2,2).(4,-4,2)=4-8+4=0 ■ Capítulo 7 Distâncias sendo v vetor diretor de re ñ um vetor normal a л. Então, tomando P(0, 3, 1) = r, por (4) tem-se
■ Vetores e geometria analítica+55 A₂ r₁
■ Capítulo 7 Distâncias= 1-2-1 = (3,0,3) 1
■ Vetores e geometria analítica(2x-y+z-3=0 x+y-2z+1=0 6. P(0, 0, 0)
Page 176y=2 24.
Page 177
CÔNICASAS SEÇÕES CÔNICAS Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendicu- lares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360° em torno de e mantendo constante o ângulo entre as retas. Nessas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O (Figura 8.1).
ObservaçãoAs superfícies cônicas apresentadas nas Figuras 8.2 e 8.3 devem ser e consideradas como ilimitadas, ou seja, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos. ■ Vetores e geometria analítica
Page 180incidirem na outra antena, refletem-se convergindo para o foco (anel) desta. Então, outra pessoa com o ouvido próximo do anel (foto da direita) ouve nitidamente a primeira. Figura 8.4
PARÁBOLADefinição Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.
Page 182A definição de parábola expressa pela igualdade (1) é equivalente a ■ Capítulo 8 y F(0, 1) P (x,y)
■ Vetores e geometria analítica2) O eixo da parábola é o eixo dos x Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola (Figura 8.8) de foco F(2,0) e diretriz x =- mos, de forma análoga ao 1º caso, a equação reduzida y² = 2px
Page 184b) A equação reduzida de x=- ———² y² = -2x é ■ Capítulo 8
Page 185■ Vetores e geometria analítica b) A equação é da forma x²=2py (Figura 8.13 – o eixo da parábola é Oy) Mas
Translação de eixosConsideremos no plano cartesiano xOy um ponto O'(h,k) arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, todo ponto P do plano tem duas representações: P(x,y) no sistema xOy e P(x', y') no sistema x'O'y' (Figura 8.15). Da figura obtém-se h H x=x+ he y=y'+k x'=x-h e y'=y-k
Page 187As observações já feitas com relação ao parâmetro p continuam válidas: se p > 0, a parábola está voltada para cima, e, se p <0, estará para baixo. ■ Vetores e geometria analítica
Se em (7) isolarmos o valor de y, teremos by²+cx+dy+f=0b05 y: -x²-3x+1
■ Vetores e geometria analíticaSolução 3. Determinar uma equação da parábola da Figura 8.19.
Solução a) Iniciemos escrevendo a equação na forma y²+6y=8x-17Completemos o quadrado do primeiro membro: y²+6y+9=8x-17+9
Equações paramétricasConsideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y: x²=2py
Page 192ou e Assim, o sistema t² =2x+4 t²-4 2 x= t²-4 x= 2
Page 193Nos Problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas. ■ Vetores e geometria analítica
Page 19438. eixo de simetria paralelo a x = 0 e passando pelos pontos A(0, 0), B(1, -1) e C(3, −1). 39. eixo paralelo a y = 0 e passando por A(-2, 4), B(-3, 2) e C(-6, 0).
■ Vetores e geometria analíticaD d B
Page 19617. 4y²-25x=0 18. x²+4x+8y-20=0
■ Vetores e geometria analítica x=t-443. y=1-
Page 198Se variarmos as posições de F₁ e F2 mantendo fixo o comprimento do fio, a forma da elipse variará. Assim, quanto mais afastados um do outro estiverem os pontos F₁ e F₂, tanto mais "achatada” é a forma da elipse. Por outro lado, se d(F,F) está próximo de zero, a elipse é quase circular, e no caso de F₁ = F₂, temos a circunferência de centro F₁ e raio a. Elementos focos.
Cometa de HalleySol significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Júpiter, 0,05, a de Marte, 0,09, para mencionar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, res- pectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O "campeão" de excen- tricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com e 0,967 (quase 1) e ele leva apro- ximadamente 76 anos (período de revolução) para dar uma volta em torno do Sol. A Figura
Page 200a² (x² + y²-2cx+c²) = a -2a²cx+c²x² a²x²+a2y2-2a2cx+a²c² = a -2a²cx+c²x² a²x² −c²x² +a²y² = a+ − a²c² (a² −c²)x² +a²y² = a² (a² — c²)
Page 201Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos x = 0, vem y = ±3 e para y = 0, vem x = ±2, o que confirma as interseções com os eixos em (0,±3) e (±2,0). ■ Vetores e geometria analítica
Page 2022. 4x²+y2-16=0 Solução a) Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem x² y2 + =1 16
Page 2034. Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação. ■ Vetores e geometria analítica
Page 204X,2 y2 =1 b² a²
■ Vetores e geometria analítica resulta ouLogo, a equação da elipse é a² = 3² +(-)² a² a²=9+, em que a² =12 4 (x-4)² (y+2)²
Solução ou a) Iniciemos escrevendo a equação na forma(4x²-8x)+(9y² - 36y)=-4 4(x²-2x)+9(y²-4y)=-4
Page 207■ Vetores e geometria analítica ou e pelo gráfico tem-se: A₁(-2,2) e A₂(4,2)
y=bsen 0■ Capítulo 8 Observemos que, para cada valor de O corresponde apenas um ponto P da elipse e, quando e varia de 0 a 2л, o ponto P parte de (a, 0) e “descreve” a elipse no sentido anti-horário. Então, 0 é o parâmetro e o sistema x = acos
■ Vetores e geometria analíticaExemplos Obter equações paramétricas da elipse de equação:
Problemas propostos■ Capítulo 8 Em cada um dos Problemas de 1 a 10, esboçar o gráfico e determinar os vértices A, e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas.
■ Vetores e geometria analítica24. vértices A₁(-7,2) e A₂ (-1,2) e eixo menor igual a 2; 25. centro C(0,1), um vértice A(0,3) e excentricidade
Page 2121 50. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade viaja ao redor de um planeta situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 km, calcular a maior distância.
■ Vetores e geometria analítica x'2 y"32. 9 16
Page 214Como se vê, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Na verdade, pela equa- ção (1), um ponto P está na hipérbole se, e somente se, d(P,F)−d(P,F)=±2a Para possibilitar um traçado bem melhor da hipérbole e tecermos consi- derações a respeito de seus elementos, faremos a construção da Figura 8.36 a seguir explanada.
Page 215Eixo imaginário ou não transverso: é o segmento B₁B2 de comprimento 2b, com B₁B₂ LA₁A2 em C. Observemos que o retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b, sendo a a medida do semieixo real e b a medida do semieixo imaginário. Ainda, do triângulo CA₂M obtemos a relação
Equações reduzidasSeja a hipérbole de centro C(0, 0). Consideraremos dois casos: 1) O eixo real está sobre o eixo dos x.
■ Vetores e geometria analíticaObservações y 2
ExemplosNos Problemas 1 e 2, determinar, para cada uma das hipérboles: a medida dos semieixos;
■ Vetores e geometria analítica2. x²-y²=4 Solução a) Passando para a forma reduzida, obtém-se x² y²
SoluçãoTendo em vista que os focos são pontos do eixo dos x, a equação desta hipér- bole é da forma x² y² =1 a² b?
■ Vetores e geometria analíticaSolução Em função dos dados do problema, esboçamos o grá- fico desta hipérbole (Figura 8.43).
Solução a) Iniciemos escrevendo a equação na forma(9x2-54x)-(4y² -8y)=-113 ou 9(x²-6x)-4(y²-2y)=-113
■ Vetores e geometria analíticaEquações paramétricas ✗² y² a² b²
Page 224Observações a) No caso da hipérbole ser tricas são y² x² a² b² [x=btan y=asec
■ Vetores e geometria analítica y ᎾPonto (3,0)
Page 22613. Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro (0, 0), eixo real sobre Ox e excentricidade 5 3 a)
Page 22737. centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox e passando por (0, 2) e (−5, 6). Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Respostas de problemas propostosF(±√13,0), 1. A(±2,0), e= F(0,±√13), 2. A(0,±2), e=
■ Vetores e geometria analítica22. 16y2-9x2-576=0 30. x²-3y²-10x+12y+40=0
x = 2 sec044. y=tan e x=3tan 0
■ Vetores e geometria analítica220 Admitindo espelhada a parte interna deste para- boloide (pode ser um farol de automóvel, ou holofote, ou outros refletores em geral), se uma fonte de luz for colocada em F, os raios que esta fonte irradia serão re- fletidos ao longo de retas paralelas ao eixo (Figura 8.47).
2) Elipse3) Hipérbole A propriedade da reflexão na elipse é análoga à da parábola. Se té a tangente no ponto P de uma elipse de focos F₁ e F₂, são iguais os ângulos a e ẞ formados pela reta tangente e os raios focais ĘP e ĘP, respectivamente (Figura 8.51).
Page 233
SUPERFÍCIES QUÁDRICASINTRODUÇÃO A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z ax²+by+cz² +2dxy +2exz+2fyz+mx+ny+pz+q=0
■ Vetores e geometria analíticaᏃ Q(0,y,z₁)
ObservaçãoQuando da substituição de z por √x²+z² na equação z² = 2y para resultar x² +z² = 2y, considerou-se z≥0. Para ter a superfície completa, devemos substituir z por ±√x²+z², o que não vai alterar em nada a equação (3) da superfície. A mesma observação vale também para as outras substituições anteriormente descritas. ELIPSOIDES
Page 237onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semieixos do elipsoide. Observemos, ainda, que os pontos (±a,0,0), (0,±b,0) e (0,0,±c) são soluções da equação (4), cha- mada forma canônica do elipsoide. ■ Vetores e geometria analítica x² v²
No caso presente, tem-se ou ou(x-2)²+(y-4)²+(z+1)² = 3² x²-4x+4+y2-8y+16+z²+2z+1=9 x²+ y²+z²-4x-8y+2z+12=0 ■ Capítulo 9 Superfícies quádricas
■ Vetores e geometria analíticaUtilizando o método do problema anterior, a equação da superfície esférica será (x-2)²+(y+3)²+(z+1)² = 49
ou x² + y² z² b²1 Ꮓ x²
b) Hiperboloide de duas folhasA rotação da hipérbole da Figura 9.6 em torno do eixo Oy resulta no hiperboloi- de de duas folhas (Figura 9.8) cuja equação será obtida da equação dessa hipérbole, substituindo-se z por ±√√x² +z²: ■ Vetores e geometria analítica y² x²+z²
sinaisElipsoide Hiperboloide de uma folha
Page 243A equação (8) mostra que o traço do paraboloide no plano xy (z = 0) é a origem (0, 0, 0), os traços nos planos z=k>0 são elipses, nos planos z=k<0 são vazios e nos planos x = key = k são parábolas. ■ Vetores e geometria analítica
Page 244A equação (9) e a própria Figura 9.12 mostram que os traços nos planos x = ke y = k são parábolas, ao passo que em z = k são hipérboles que se degeneram em duas retas quando z = 0. Na verdade, fazendo z = 0 na equação (9), resulta ou o que implica y² x² -=0 a² b² =0 a a + b a ou b
ou, ainda, x² y² z² = a² a²A reta gé chamada geratriz da superfície, e o ponto O, que separa as duas folhas, ■ Vetores e geometria analítica é o vértice da superfície. Uma superfície cônica mais geral, denominada superfície cônica elíptica, é repre- sentada pela equação
Page 246Esta superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz. Em nosso estudo consideraremos apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra em um dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular ao plano da diretriz.
Assim também, a equação z²1 + 4
Page 248c) x² + y² = 9, z = 0; eixo Ox. -y² = 1, x = 0; eixo Oy.
Page 249k) y²+4z²=x, 0≤x≤4 1) y²+4z²-4=0, -4≤x≤6 m) y²x²=16, 0≤z≤4 n) z=9-y², -4≤x≤4 que eixo
Page 2504 10. O traço de um elipsoide (centro na origem) no plano xy é a elipse x²+12=1, z=0. Determinar a equação do elipsoide, sabendo que contém o ponto (0,1,√6).
■ Vetores e geometria analítica240 + -=1, elipsoide
Page 252e) paraboloide elíptico f) paraboloide circular g) superfície cilíndrica parabólica h) superfície cônica circular i) paraboloide elíptico j) paraboloide elíptico k) paraboloide elíptico 1) superfície cilíndrica elíptica m) superfície cilíndrica hiperbólica n) superfície cilíndrica parabólica
■ Vetores e geometria analítica242 f)
BIBLIOGRAFIAAYRES, Jr. Frank. Geometria analítica plana e sólida. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973. BOULUS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
Paulo WinterleVETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 2ª edição