255 pages · tap a page to read its text
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.
DIRETOR EDITORIAL E DE CONTEÚDO
Roger Trimer Kelly Tavares Silvana Afonso Danielle Sales Tatiane Romano Vinícius Souza
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO ERJ Composição Editorial
CAPA
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Vetores e geometria analítica / Paulo Winterle. -- 2. ed. -- São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
Pearson Education do Brasil Ltda., uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco, 26
CEP 02712-100 - São Paulo - SP - Brasil Fone: 11 2178-8686 Fax: 11 2178-8688 [email protected]
A Deus pelo dom da eterna vida e pela vocação na apaixonante carreira docente. À Lia, minha esposa, pelo amor, paciência e muito apoio nas centenas de horas durante os meses de preparação deste livro.
À Pearson pela valorização do texto concretizada na iniciativa desta edição.
Aos milhares de ex-alunos, com os quais muito aprendi.
Aos colegas pelo incentivo.
Ao colega e grande amigo Nivaldo Almeida Fonseca pela força e valiosas sugestões. Ao colega Valmir Balbinot, com quem aprendi muito a fazer figuras e que tem sua con- tribuição neste trabalho.
Ao colega Airton Cabral de Andrade pelas inserções de aplicações na Física.
E, por fim, dois agradecimentos muito especiais. Em primeiro lugar, à colega e querida amiga Vera Regina da Rocha Bauer pelo grande e cuidadoso trabalho de revisão do conteúdo e por suas valiosas contribuições na melhoria deste texto. Um muito obrigado é pouco, Vera. E à colega Rita Maria Silvia Carnevale pela minuciosa revisão do texto e por ótimas sugestões na apresentação deste trabalho. Um abraço bem forte, Rita.
PARA INÍCIO DE CONVERSA...
A experiência adquirida em mais de vinte anos de docência da disciplina me motivou a apre- sentar este trabalho, cuja ênfase é o aspecto didático. Procurei organizar um texto que per- mita ao estudante “prosseguir sozinho”, se assim o desejar, sem naturalmente prescindir da orientação do professor.
E, para tanto, como este livro foi pensado? O texto está estruturado sobre os dois grandes assuntos, intimamente relacionados, de seu título. Os “personagens” dos quatro primeiros capítulos são os vetores, cujo papel é de fundamental importância, não apenas no ensino da Matemática, também na aplicação em outras áreas. No final dos capítulos 2 e 3 encontram-se duas aplicações na Física. No Capítulo 1, a noção de vetor é apresentada de forma intuitiva, e seu estudo é realizado por meio dos Tratamentos geométrico e algébrico. Este capítulo me- receu uma atenção muito “carinhosa” e por isso mais delongada, porquanto seu conteúdo facilitará sobremaneira a compreensão do que está pela frente. Os últimos cinco capítulos são dedicados à geometria analítica. O estudo da reta, do plano e das distâncias (capítulos 5, 6 e 7), estruturado sobre vetores, pretende conduzir o estudante a interpretações geométricas de fatos algébricos. No Capítulo 8, curiosidades em torno das cônicas emolduram o assunto, e, finalmente, no Capítulo 9 pretende-se fazer entender a origem das equações das superfícies quádricas, a partir das correspondentes superfícies de revolução.
A par de uma sequência lógica dos assuntos, são apresentados 111 problemas resolvidos, que no texto estão identificados como Exemplos. Sua criteriosa seleção objetivou, na maioria das vezes, não só complementar a parte teórica, como preparar para o passo seguinte.
Como estes apaixonantes segmentos da Matemática, vetores e geometria analítica, per- mitem a visualização dos conceitos, são apresentadas 214 Figuras, que podem auxiliar em muito sua compreensão.
Além de tudo, um número expressivo e variado de Problemas propostos no final de cada capítulo, ao todo 460, proporcionará uma aprendizagem mais consistente.
A elaboração de um livro-texto com a explícita função didática voltada ao desenvolvi- mento de um trabalho acadêmico propõe-se a atingir dois alvos: o aluno e o professor, tanto dentro quanto fora da sala de aula.
Ao aluno, razão primordial do processo de ensino-aprendizagem, gostaria de me dirigir de um modo todo especial. Às vezes é bom lembrar: Vetores e geometria analítica são assuntos de vital importância na compreensão de disciplinas tais como cálculo, álgebra linear, equações diferenciais, e outras, uma vez que, além de relacionarem as representações algébricas com entes geométricos, visam desenvolver habilidades como raciocínio geométrico e visão espa- cial. Sua aprendizagem, entretanto, será tanto mais segura e consistente quanto maior for o tempo dedicado a atividades extraclasse, principalmente na solução de problemas. Ao tentar resolvê-los, sugere-se não fazê-lo de forma “corrida”, e sim saltando de dois em dois, ou de
■ Vetores e geometria analítica três em três, até o final. Assim se terá passado por todo o conteúdo e experimentado os diversos níveis de dificuldade. E, no caso de ainda sobrar tempo, recomenda-se retornar e resolver aqueles que ficaram de fora, para reforçar o conhecimento do conteúdo. Esses problemas são apresentados na ordem de desenvolvimento do texto, e os últimos oferecem maiores desafios. Finalmente, para permitir a autoavaliação do trabalho, Respostas são apresentadas logo a seguir.
Ao professor e colega desejo manifestar a satisfação deste lançamento, colocando em suas mãos um texto, assim espero, facilitador de sua tarefa docente. É claro que este tem a “cara” do autor, e meus ex-alunos certamente nele me identificariam. Da mesma forma, cada professor tem suas peculiaridades (ainda bem!), razão por que não é possível fazer um livro do agrado de todos.
O texto foi planejado para ser desenvolvido em um semestre letivo de quatro au- las semanais. Entretanto, variáveis tais como bagagem do aluno, proposta do curso e objetivos da disciplina podem requerer adaptações. Por esta razão, foi apresentado um número elevado de exercícios, para tornar possível ao professor um maior ou menor aprofundamento da matéria, assim como atendimento diferenciado aos alunos frente a seus interesses e potencialidades. Além disso, os tipos variados de exercícios permitem ao professor sugerir aqueles que melhor se adaptem ao seu gosto, estilo e objetivos.
Finalizando, ciente de que o sucesso de toda iniciativa de construção e difusão de conhecimentos muito depende das contribuições daqueles a quem se destina, dirijo este apelo a todo leitor deste texto ― - seja aluno ou professor: se gostou, diga, por gentileza; e, da mesma forma, se não gostou dele. Opiniões, críticas e sugestões serão bem-vindas, pois, com toda a certeza, contribuirão para o aperfeiçoamento de futuras edições.
Para suas apreciações, dirija-se diretamente para [email protected], ou escreva para a Editora, que me repassará as manifestações que receber.
viii
Paulo Winterle
Igualdade operações - vetor definido por dois pontos ponto médio - paralelismo - módulo de um vetor ....... 35 Problemas propostos ..............
Cálculo do ângulo de dois vetores............. 54
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Projeção de um vetor sobre outro......
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar.......
Produto escalar no plano.
Uma aplicação na Física
Problemas propostos u xv π v x u
Interpretação geométrica do módulo do produto misto
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
Equações paramétricas de um segmento de reta.....
Equação vetorial de um paralelogramo 136 x=0
Casos particulares da equação geral do plano
Distância de um ponto a uma reta.......... 157 d
Com o propósito de garantir maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetores é feita por meio de dois tratamentos que se completam: o geométrico e o algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é possibilitar, predominantemente, a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros são abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato.
Noção intuitiva
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unida- de adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3 m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm³ ou que a temperatura ambiente é de 30 °C, determinamos perfeitamente essas grandezas.
Existem, no entanto, grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas ve- toriais, que, para serem perfeitamente caracterizadas, necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais.
Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as ideias de direção e de sentido. A Figura 1.1(a) apresenta três retas. A reta r, determina, ou define, uma direção. A reta r₂ determina outra direção, diferente da direção de r‚. Já a reta г, por ser paralela a r₁, possui a mesma direção de r₁. Assim, a noção de di- reção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas paralelas têm a mesma direção.
Na Figura 1.1(b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. O desloca- mento de uma pessoa nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos associar dois sentidos. Fica claro, então, que só podemos falar em “sentidos iguais” ou em “sentidos contrários" caso estejamos diante da mesma direção.
Figura 1.1
Agora vamos a um exemplo de grandeza vetorial. Consideremos um avião com a velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para o nordeste, sob um ângulo de 40° (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma seta – Figura 1.2), sendo o seu módulo dado pelo com- primento do segmento (no caso, 4 cm, e cada 1 cm corresponde a 100 km/h), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40°. O sentido será indicado por uma seta na extremidade superior do segmento.
Observemos que no caso de o ângulo ser 220° (40° + 180°), a direção continua sendo a mesma, porém, o sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor.
Abstendo-se da ideia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado (um segmento está orientado quando nele há um sentido de percurso, considerado positivo).
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Na Figura 1.3 todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo com- primento de AB, representam o mesmo vetor, que será indicado por
■ Capítulo 1 Vetores em que A é a origem e B a extremidade do segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma seta, tal como v.
Quando escrevemos v = AB (Figura 1.4), afirma- mos que o vetor v é determinado pelo segmento orien- tado AB. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v. Assim, cada ponto do espaço pode ser considerado como orgem de um segmento orientado que é representante do vetor v. Essa
A Figura 1.4
Q é a razão de o vetor também ser chamado de vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto.
Ainda, dados um vetor v = AB e um ponto P, existe um só ponto Q (Figura 1.5) tal que o segmento orientado PQ tenha o mesmo com- primento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Portanto, temos também v = PQ, o que reforça o fato de que um representante de v pode ter sua origem em qualquer ponto P do espaço.
O módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de v por || ou ||V||.
Casos particulares de vetores a) Dois vetores üe v são paralelos, e indica-se por ü//v, se os seus representantes tive- rem a mesma direção. Na Figura 1.6, tem-se ü////ŵ, na qual ū e v têm o mesmo sentido, enquanto u e v têm sentido contrário ao de w.
b) Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u direção e o sentido.
v, se tiverem iguais o módulo, a c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por ou AA (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato de esse vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.
d) A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto -v, de mesmo módulo e mesma direção de v, porém, de sentido contrário (Figura 1.7). Se v = AB, o vetor BA é o oposto de AB, ou seja, BA = -AB.
Figura 1.6 e) Um vetor u é unitário se |ū| = 1.
A cada vetor v, v ± 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v: ū e -u (Figura 1.8). Nesta figura, tem-se |V| = 3 e |ū| = |−ū| = 1. O vetor ū que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v. Na verdade o vetor u não é versor só de v, mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo sentido de v e medidos com a mesma unidade.
f) Dois vetores u e v (Figura 1.9(a)) são ortogonais, e indica-se por u v, se algum representante de u formar ângulo reto com algum representante de v.
A Figura 1.9(b) apresenta dois representantes de ü e V, com origem no ponto A, formando ângulo reto.
Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor.
u u Figura 1.8
Figura 1.9 g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano no qual esses vetores estão representados. É importante observar que dois vetores u ev quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de ü e v pertencendo ao plano л (Figura 1.10) que passa por aquele ponto.
No caso de u e v serem não para- lelos, como nessa figura, esses vetores determinam a "direção" do plano л, planos que que é a mesma de todos os lhe são paralelos.
Três vetores podem ser coplanares (Figura 1.11(a)) ou não (Figura 1.11(b)).
1. A Figura 1.12 é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
a) AB = OF b) AM h) AC // HI i) JO // LD j) AJ // FG
0) PN 1 AM
B C D
A p) |AC| = |FP| q) |IF| = |MF| r) |AJ| = |AC|
K m) PE 1 EC t) |AM| = |BL|
AO = MG f)
g) KN = FI n) PN 1 NB
Respostas m) F j) V d) F g) F p) V s) V a) V t) V h) V q) V n) V b) V e) V k) V i) F
I) V r) F f) V
0) V c) F
2. A Figura 1.13 representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
EG, CB e HF são coplanares b) AB=-HG j)
m) AB, DC e CF são coplanares
DC é paralelo ao plano HEF h)
Respostas p) V a) V g) F m) V d) V j) V b) F n) V e) V h) F k) V f) V
0) V c) V i) V
OPERAÇÕES COM VETORES
Consideremos os vetores u e v, cuja soma u + v pretendemos encontrar. Tomemos um ponto A qualquer (Figura 1.14) e, com origem nele, tracemos um segmento orien- tado AB representante do vetor u. Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC representante de v. O vetor representado pelo segmento orientado de
origem A e extremidade C é, por definição, o vetor soma de ü e v, ou seja, u + v = AC ou AB + BC:
Sendo // v, a maneira de obter o vetor u + v é a mesma e está ilustrada na Figura 1.15(a) (ü e v de u + v u B
■ Capítulo 1 mesmo sentido) e na Figura 1.15(b) (ü e v de sentidos contrários).
u u + v
No caso de os vetores ū e v não serem paralelos, há outra maneira de encontrar o vetor soma u + v. Representam-se u = AB e v = AD por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-se o paralelo- gramo ABCD (Figura 1.16), e o segmento orientado de origem A, que corresponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor u + v, ou seja, u+v=AC ou AB+ AD = AC
Para o caso de determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é aná- logo (Figura 1.17(a)) e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura 1.17(b)), a soma será o vetor zero (u + v + w + t = 0).
u + v u U V W
Figura 1.17
Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:
Comutativa: ū + v = v + ū
II) Associativa: (u + v) + w = ū + (v + w)
III) Elemento neutro: u + 0 = ū
IV) Elemento oposto: + (− ) = 0 u + v
Figura 1.18
O vetor (-), escreve-se u - v, é chamado de diferença entre ü e v.
Observemos que no paralelogramo de- terminado pelos vetores u e v (Figura 1.18), verifica-se que a soma u + vé representada por uma das diagonais, enquanto a dife- rença u_v pela outra diagonal.
1. Com base na Figura 1.12, determinar os vetores a seguir, expressando-os com origem no ponto A:
AC + EO a) AC + CN i)
BL + BN + PB h) AO OE
Solução a) AN g) AH e) AM c) AB k) AE i) AC b) AD
1) AA=0 d) AO j) AC h) AI f) AK
2. Com base na Figura 1.13, determinar os vetores a seguir, expressando-os com origem no ponto A:
a) AB + CG b) BC + DE c) BF+ EH
EG - BC d)
Solução a) AF c) AH b) AE d) AB
h) EG+DA+ FH g) AG e) AH h) AD f) AF
3. Dados dois vetores u e v não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores u + v, ü - v, vue-u- v, todos com origem em um mesmo ponto.
Solução
Para os vetores ū e v da figura, tem-se:
■ Capítulo 1
Vetores
4. Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
Solução
Consideremos o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD e seja M o ponto médio de AC (Figura 1.19), equivale dizer AM que é também ponto médio de BD. Pela figura, tem-se
= BC + CM (definição de soma)
= AD + MA (igualdade de vetores)
= MA + AD (propriedade comutativa)
= MD (definição de soma)
Como BM = MD, conclui-se que M é ponto médio de BD.
MC. Vamos provar que M
Dado um vetor v ± Ō e um número real α ± 0, chama-se produto do número real a pelo vetor v, o vetor av tal que:
■ Vetores e geometria analítica a) módulo: |av|=|a||v|, ou seja, o com- primento av é igual ao comprimento de v multiplicado por |a|;
b) direção: av é paralelo a v;
c) sentido: av e v têm o mesmo sentido se a 0 e contrário se α < 0.
Se α=0 ou = 0, então α = 0.
Observações
A Figura 1.20 apresenta o vetor v e alguns de seus múltiplos.
2 V
-3 V
Figura 1.20 a) Considerando o ponto O como origem de V, ±0 e de todos os vetores av que lhe são paralelos (Figural.21), se fizermos a assumir todos os valores reais, teremos representados em uma só reta todos os vetores paralelos a v.
-3 V -2V
Figura 1.21
Por outro lado, supondo ū // v, v ±0, sempre existe um número real a tal que u = av. Por exemplo, na Figura 1.22, na qual DC está dividido em cinco segmentos con- gruentes (de mesmo comprimento), em relação ao vetor AB (|AB| = 2), tem-se
b) Vimos em Casos Particulares de Vetores, Figura 1.8, que a cada vetor v, v ± Ō, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v. O vetor unitário de mesmo sentido de v é o versor de v.
Por exemplo, se || 5, o versor de vé
V ou
o versor de vé 3V;
se |V| = se || 10, o versor de -v é --
Exemplo
Seja o vetor v +0. Determinar o vetor paralelo a v tal que:
a) tenha o mesmo sentido de ve módulo 5;
b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 10.
A partir de um vetor arbitrário v ± 0 (Figu- ra 1.23), é sempre possível associar os dois ve- tores paralelos e unitários: (mesmo sentido
V de v) e- (sentido contrário ao de v). Logo, V tem-se as soluções:
10v
5v a)
e Se u e v são vetores quaisquer e a e ẞ números reais, a multiplicação de número real vetor por admite as propriedades:
I) (aẞ) = a(ẞv)
II) (a + ẞ) = αv + ßv
A Figura 1.24 ilustra a propriedade III para α = 2, ou seja, 2(ü + v) = 2ū + 2v.
1. Representados os vetores ū, v e ŵ como na Figura 1.25(a), obter graficamente o vetor x tal que x = 2u - 3v+-w.
2. Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.
Seja o triângulo ABC e M e N os pontos médios dos lados CA e CB, respecti- vamente (Figura 1.26).
Portanto, MN // AB e |MN| = | - |AB|.
O ângulo entre os vetores não nulos u e v é o ângulo 0 formado por duas semirretas OA e OB de mesma origem O (Figura 1.27), na qual u = OA, v = OB е 0 ≤ 0 ≤ л (е em radianos) ou 0° ≤ 0≤ 180°.
Se u//veu e têm o mesmo sentido, então 0 = 0. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2u que têm o mesmo sentido (Figura 1.28(a)).
Figura 1.26
A Figura 1.27
Se // eu e v têm sentidos contrários, então 0 = л. É o caso de ū e -3ū (Figura 1.28(b)).
1. A Figura 1.29 apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Figura 1.29 f) H E O C
AF // CD d) |C O|=|0 – B| n) AOHF e) |H - O|=|H – D| j) GF // HG
0) OB
2. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
g) Se AB DC, e C, então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo.
a) Se u = v, então |ū| = |V|.
b) Se|u|||, então ū = v.
c) Se // V, então ū = v.
h) |5v|=|5v|= 5|V|.
Os vetores 3v e-4v são paralelos d) Se uv, então ū // v.
e) Se w = + V, então |Ŵ| = |ū| + |V|.
e de mesmo sentido.
|W| = |ü + |V|, então ū, ve ŵ f)
j) Se u // v, || = 2 e |V| = 4, então v = 2u ou v = -2ū.
são paralelos.
k) Sev=3, o versor de -10v é--
3. Com base na Figura 1.29, determinar os vetores a seguir, expressando-os com ■ Vetores e geometria analítica origem no ponto A:
a) OCCH b) EH + FG c) 2AE2AF d) EH + EF e) EO + BG f) 2OE + 20C
AFFO AO 4. O paralelogramo ABCD (Figura 1.30) é determinado pelos vetores AB e AD, sendo Me N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:
Figura 1.30 a) ADAB b) BA + DA c) AC - BC
5. Apresentar, graficamente, um representante do vetor u - v nos casos:
6. Determinar o vetor x nas figuras:
i u (c)
7. Dados três pontos A, B e C não colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor x nos casos:
Figura 1.31
a) x = BA + 2BC b) x=2CA +2BA c) x=3AB2BC d) x = AB - 2CB
8. Dados os vetores u e v da Figura 1.32, mostrar, em um gráfico, um representante do vetor ū - v a)
b) v - ū c) -v-2ū d) 2u - 3v u Figura 1.32
9. No triângulo ABC (Figura 1.33), seja AB = a e AC = 5. Construir um representante de cada um dos vetores a+b a)
+ 1 b d) a + e) 2a
10. Dados os vetores a, b eĉ (Figura 1.34), apresentar graficamente um representante do vetor tal que a) x=4a2b-c b) (a+b+c) + x = 0 c) a + c + x = 25
11. Na Figura 1.35 estão representados os vetores coplanares ū, v e w. Indicar, na própria figura, os vetores a) av e bw tal que u = a + bw b) aue ẞw tal que v = au + ẞw
Seria possível realizar este exercício no caso de os vetores u, ve ŵ serem não coplanares?
Figura 1.35
12. Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60°, determinar o ângulo for- mado pelos vetores
■ Vetores e geometria analítica a) u e-v b) -u e 2v
13. Dados os vetores coplanares u, ve w representados na Figura 1.36, determinar um representante do vetor x + y, sendo x = u + 2ve y = v - 2ū;
o ângulo entre os vetores -3v e w;
o ângulo entre os vetores -2ü e-w.
d) 3u e 5v
14. Demonstrar que os pontos médios dos lados de um qua- drilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.
15. Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não pa- ralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semissoma.
16. No triângulo ABC (Figura 1.37), tem-se
Expressar os vetores AM e AN em função de Figura 1.37
AB e AC.
Respostas de problemas propostos j) F m) V g) V d) V
1. a) V k) V e) F h) V n) F b) F
I) V f) F i) V
0) V c) V k) V g) V i) F c) F e) F
2. a) V f) V d) V b) F h) V j) V g) AH
3. a) AE c) AE e) AE i) AE b) AE h) AE i) AC f) AE d) AB
4. a) AE c) AE e) AE f) AE d) AE b) AE c) v - ū d) u + v b) -ū - v
6. a) u v
c) 60°
13. b) 75°
AM (AB + AC) e AN = ½ AB + ½ AC
O TRATAMENTO ALGÉBRICO
Vetores no plano d) 60°
Consideremos dois vetores V₁ e V₂ não paralelos, representados com a origem no mesmo ponto O, sendo Ę е 12 retas contendo esses representantes, respectivamente, (Figura 1.38).
Os vetores u, v, w, t, x e ỹ, representados na figura, são expressos em função de V₁ e V₂ por ■ Vetores e geometria analítica u = 5v₁ + 4v₂ v = −2v₁ + 3v₂ w=-4v₁ - 3v₂
De modo geral, dados dois vetores quaisquer v₁ e v₂ não paralelos, para cada vetor
V representado no mesmo plano de v₁ e V₂, existe uma só dupla de números reais a₁ e a₂ tal que A Figura 1.39 ilustra essa situação, na qual v₁ e v₂ são ve- tores não paralelos quaisquer e v é um vetor arbitrário do plano determinado por v₁ e v₂
Quando o vetor v é ex- presso como em (1), diz-se que vé combinação linear de v₁ e V2. O conjunto B = {V₁, V₂} é v = a₁ v₁ + a₂ V₂ а, Figura 1.39
chamado base no plano. Aliás, qualquer conjunto de dois vetores não paralelos cons- titui uma base no plano. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, a pensamos como um conjunto ordenado. Então, dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa base, de modo único.
Os números a₁ e a₂ da igualdade (1) são chamados componentes ou coordenadas dev na base B (a, é a primeira componente, e a₂, a segunda).
O vetor v da igualdade (1) pode ser representado também por =(a₁‚ª₂) ou̟ V₁ = (a₁, a₂).
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.
Uma base { } é dita ortonormal se seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, se ₁₂ e |ē| = |ē₂| = 1.
Entre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Os vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i ej ambos com origem em O e extre- midades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente (Figura 1.40), sendo a base C = {i, j} chamada canônica. Portanto, i = (1, 0) e j = (0, 1).
y (0,1)
O Figura 1.40
Daqui por diante, trataremos somente da base canônica.
Dado um vetor v qualquer do plano (Figura 1.41), existe uma só dupla de nú- meros x e y tal que v = xi + yj y j xi
Figura 1.41
■ Capítulo 1
Os números x e y são as componentes de V na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de v, e a segunda componente y é a ordenada de v.
O vetor em (2) é também representado por dispensando-se a referência à base canônica C.
A igualdade (3) sugere a definição:
v = (x, y)
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.
O par (x, y) é chamado expressão analítica de V. Para exemplificar, veja a seguir alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:
31-5] = (3,-5) 3j = (0,3)
A escolha proposital da base {i, j} deve-se ex- clusivamente à simplificação. A cada ponto P(x, y) do plano xOy corresponde o vetor v = OP = xi + yj (Figura 1.42). Quer dizer que as coordenadas do ponto extremo P são as próprias componentes do vetor OP na base canônica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os vetores i e j como se vê na figura.
P y X
Figura 1.42
De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores.
Dois vetores = (x₁, y₁) e v = (x2, y2) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = у2, ■ Vetores e geometria analítica escrevendo-se u = v.
O vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v = (5, 2y - 6) se x + 1 = 5 e 2y - 6 = 4 ou x = 4e y = 5. Assim, se u = v, então x = 4, y = 5 e u = v = (5, 4).
1) u + v = (x₁ + x2, Y₁ + Y2)
2) αὖ = (ax, αγ.)
Sejam os vetores ū = (x₁, y₁) e v = (×2, y2) e α = R. Define-se:
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número.
As Figuras 1.43(a) e 1.43(b) ilustram as definições das operações dadas anteriormente.
As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades:
a) para quaisquer vetores ū, ve ŵ, tem-se u + 0 =
= ū α(ẞv) r = (aẞ) v α(u+v) = au + av b) para quaisquer vetores u ev e os números reais a e ẞ, tem-se
(ü + v) + w = ū + (v + Ŵ)
ū + (-ū) = ō
(a + ẞ)ū = αu + ßū
■ Capítulo 1
Vetores
Sugerimos, como exercício ao leitor, demonstrar essas propriedades.
1. Dados os vetores u = (2,-3) e v = (-1, 4), determinar 3ū + 2 e 3ū – 2v.
2. Determinar o vetor x na igualdade 3x + 2ū = -v + x, sendo dados u = (3,-1) ev = (−2, 4).
Esta equação, em vista das proprieda- des das operações com vetores expos- tas anteriormente, pode ser resolvida como uma equação numérica:
6x + 4u = v + 2x
3. Encontrar os números a₁ e a₂ tais que v = a₁₁ + a₂v₂, sendo v = (10, 2), v₁ = (3, 5) e v₂ = (−1, 2).
Substituindo u e v nesta equação, vem x == (-2, 4) - (3,-1)
Substituindo os vetores na igualdade anterior, temos (10, 2) = a₁(3, 5) + a₂(−1, 2)
(10, 2) (3a₁, 5a₁) + (-a₂, 2a₂)
(10, 2) = (3a₁ a₂, 5a₁ + 2a₂)
Da condição de igualdade de dois vetores, conclui-se que |3a₁- a₂ =10
5a, +2a, =2 sistema cuja solução é dada por a₁ = 2 e a₂ = −4. Logo, V = 2V₁ − 4V₂.
É conveniente observar que esse sistema sempre terá solução única no caso de V₁e v₂ formarem base do plano, o que realmente acontece.
Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x,,y₁) e extremidade em B(x2,y2) (Figura 1.44).
De acordo com o que foi visto em (3), os vetores OA e OB têm expressões analíticas: OA = (x,y₁) e OB = (x2,y2).
Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem
Figura 1.44 ou seja, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extre- midade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB = B - A. É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, entre os infinitos representantes do vetor AB, o que “melhor o caracteriza” é aquele que tem origem em O(0, 0) e extremidade em P(x2 - X₁, y2 y₁) (Figura 1.45).
O vetor v=OP é também chamado de vetor posição ou representante natural de AB.
Na Figura 1.46, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor v P O = B - A = = DC = (3, 1).
Esta figura deixa claro que o fato de os segmentos orientados ocuparem posi- ções diferentes é irrelevante. O que importa é que tenham o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido para representarem o mesmo vetor.
Por outro lado, sempre que tivermos v = AB ou v = B - A, podemos também concluir que BA+vou B = A + AB ou seja, o vetor v “transporta” o ponto inicial A para o ponto extremo B.
Retornando à Figura 1.46, na qual v = (3, 1), tem-se
B=A+=(-2, 3) = (3, 1) = (1, 4)
DC+= (1, 2) + (3, 1) = (4,3)
PO+=(0, 0) + (3, 1) = (3, 1)
V u 3 4
Figura 1.47
Outra ilustração: na Figura 1.47, os vértices do triângulo são os pontos A(4, 1), B(5, 3), e C(3, 5) e os vetores ū, ve ŵ indicados são u = ABBA = (1, 2)
W = CA A C = (1, −4) Observamos ainda que u+v+ w = 0 = (0, 0).
1. Dados os pontos A(−1, 2), B(3, −1) e C(-2, 4), determinar o ponto D de modo
que CD
Seja D(x, y). Então, CD = DC = (x, y) − (−2, 4) = (x + 2, y − 4)
ABBA (3,-1) - (-1, 2) = (4,-3)
(x+2, y = 4) = (2, −
Pela condição de igualdade de dois vetores, tem-se x+2=2
sistema cuja solução é x = 0 e y =
Esse problema poderia, também, ter sido resolvido da seguinte maneira:
2. Sendo A(-2,4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos Fe G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento.
ABBA (4, 1) − (−2, 4) = (6, −3)
AB = (6, (6, −3) = (2, −1)
F = A + A+ AB =
AB = (0,3) + (2, −1) = (2, 2)
3. Sendo A(2, 1) e B(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3)
o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D.
Em Adição de vetores, Exemplo 4, demonstra-se que as diagonais de um parale- logramo têm o mesmo ponto médio, ou seja, AM MC e BM MD. Então, pela Figura 1.49 tem-se
Portanto, C = (4,3) + (2,2) = (6,5)
e D = (4,3) + (−1, 1) = (3, 4)
Ponto médio
C MMC = M + AM
D= M + MD = M + BM (ou: A + BC)
Seja o segmento de extremos A(x₁, y₁) e B(x2, y2) (Figura 1.50). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como
AM = MB ou y (x-x₁, y y₁) = (x2 − x, y₂ − y)
então xx₁ = x2-x e y y₁ y2 y Resolvendo em relação a xe y, temos
2x = x₁ + X₂ e 2y = y₁ + Y₂
O ponto médio do segmento de extremos A(-2, 3) e B(6, 2) é
Vimos que, se dois vetores ū = (x₁, y₁) e v = (×₂, y₂) são paralelos, existe um nú- mero real a tal que u = av, ou seja, ou donde que pela condição de igualdade resulta em (x₁, y₁) = α(x2, Y2)
(x, y) = (ax₂, ay₂)
x₁ = αx2 e y₁ = αy 2
X2 Y2
Essa é a condição de paralelismo de dois vetores, ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais.
Exemplo
Observações
Os vetores = (-2, 3) e = (-4, 6) são paralelos pois
-4 a) Considera-se o vetor 0 = (0,0) paralelo a qualquer vetor.
b) Se uma das componentes de um vetor for nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula.
Seja o vetor v = (x, y) (Figura 1.51). Pelo teorema de |√ | = √(2)² +(−3)² = √4+9= √13 u.c. (unidades de comprimento)
y y X
Figura 1.51
A distância entre dois pontos A(x₁, y₁) e B(x2, y2) (Figura 1.52) é o comprimento (mó- dulo) do vetor AB, isto é, B
A |AB|.
d(A, B) =
Como AB BA = (x2-x₁,Y2 - Y₁), X temos
Vimos em multiplicação de número real por vetor, Figura 1.23, página 11, que a cada vetor v, v ±0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v: V (é o versor de v) e seu oposto
Exemplo
O versor de v = (3,-4) é
O versor é, na verdade, um vetor unitário, pois
É importante observar que este versor ü é também versor de todos os vetores múltiplos de v que tiverem o mesmo sentido que ele.
Para exemplificar, o versor de 2v = 2(3,-4) =
1. Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores u = (-1, 3) e v = (-2, −1), determinar
a) u b) |ū + v c) |2ü - 3v| d)
a distância entre os pontos A e B
Solução a) |u|=√(−1)²+3² = √1+9 = √10 b) Por ser u+v = (−1, 3) + (−2, −1) = (−3, 2), temos
■ Capítulo 1 c) Por ser 2 - 3 = 2(−1, 3) – 3(-2, −1) = (-2, 6) + (6, 3) = (4, 9), temos
|2ü – 3v|=|(4,9)|=√16+81=√97 d) Por ser AB = B - A = (-1, 4) - (2, −1) = (-3, 5), temos d(A,B)=|AB|=|(-3,5)|=√√9+25=√34
2. Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja equidistante dos pontos A(-1, -2) e B(5, 4).
O ponto procurado é do tipo P(x, 0). Deve-se ter d(P, A) = d(P, B)
|PA| = |PB|
Mas
PAAP = (-1 −x, −2) e PB BP (5-x, -4), logo |(−1 −x, −2)| = |(5 − x, −4)| ou
√√(−1-x)²+(-2)² = √(5 − x)²+(−4)² ou
1+2x+x² + 4 = 25 10x + x² + 16 e x = 3
Portanto, o ponto é P(3, 0).
3. Dado o vetor v = (-2, 1), encontrar o vetor paralelo a v que possua a)
o mesmo sentido de ve três vezes o módulo de v;
sentido contrário ao de ve a metade do módulo de v;
o mesmo sentido de ve módulo 4;
sentido contrário ao de ve módulo 2.
Solução a) Basta multiplicar o vetor por 3: 3v = 3(−2, 1) = (−6, 3)
b) Basta multiplicar o vetor por c) Um vetor unitário obtido a partir de vé
V (-2,1) 2 1 =(-
-글글=-1(-2, 1)=
Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 4 e mesmo sentido de V, basta multiplicar o versor por 4:
√5' √√5' d) Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 2 e sentido contrário ao de V, basta multiplicar o versor por -2:
Vetores no espaço
Vimos em Vetores no plano que a base canônica {i, j} no plano determina o sistema cartesiano ortogonal xOy e que a um ponto P(x, y) qualquer desse plano corresponde o vetor OP = xi+ yj, ou seja, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica (Figura 1.42).
No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica {ī, j, k} como aquela que determinará o sistema cartesiano ortogonal Oxyz (Figura 1.53), em que estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem
Figura 1.53 no ponto O. Esse ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x
(das abscissas) corresponde ao vetor i, o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor k. As setas, nessa figura, indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado.
Cada dupla de vetores da base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, deter- mina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. As Figuras 1.54(a) e 1.54(b) dão uma ideia dos planos xy e xz, respectivamente.
y Figura 1.54
■ Capítulo 1 Vetores y Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço corresponderá o vetor OP = xỉ + yj + zk, em que, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as compo- nentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. A Figura 1.55(a) apresenta um ponto P(x, y, z) no espaço e a Figura 1.55(b) o correspondente vetor v = OP, que representa a diagonal do paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores xi, yj e zk.
O vetor v = x + yj + zk também será expresso por v = (x, y, z)
que é a expressão analítica de v. Para exemplificar
e, em particular, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).
Para algumas observações, tomemos o paralelepípedo da Figura 1.56 no qual P(2, 4, 3). Faremos considerações a pontos como também poderíamos referi-las aos correspondentes vetores.
Figura 1.56 y Com base nesta figura e levando em consideração que um ponto (x, y, z) está no a) eixo dos x quando y = 0 e z = 0, tem-se A (2, 0, 0); b) eixo dos y quando x = 0 e z = 0, tem-se C (0, 4, 0);
c) eixo dos z quando x = 0 e y = 0, tem-se E (0, 0, 3);
d) plano xy quando z = 0, tem-se B(2, 4, 0);
e) plano xz quando y = 0, tem-se F(2, 0, 3); f) plano yz quando x = 0, tem-se D (0, 4, 3).
O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P(2, 4, 3) no eixo x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos y ez, respectivamente.
Como todos os pontos da face, ■ Capítulo 1
Vetores a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, ou seja, são pontos do tipo (x, y, 3);
b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, ou seja, são pontos do tipo (x, 4, z);
c) PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 2, ou seja, são pontos do tipo (2, y, z).
É muito importante que o leitor tenha presente os casos especiais dos pontos per- tencentes aos eixos e aos planos coordenados, ilustrados na Figura 1.57. Ela mostra que o eixo x pode ser descrito como o conjunto dos pontos do tipo (x, 0, 0), ou seja, daqueles que têm y = 0 e z = 0, e o plano xy como o conjunto dos pontos do tipo (x, y, 0), ou seja, daqueles que têm z = 0.
Comentários análogos seriam feitos para os outros eixos e planos coordenados indicados nessa figura.
Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, -2, 4), procedemos assim (Figura 1.58):
a) marca-se o ponto A'(3, -2, 0) no plano xy;
b) desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam
4 unidades para baixo) para obter o ponto A.
Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes (Figura 1.59). A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é constituído dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro.
Figura 1.59
A Figura 1.60 apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B', C' e D' estão abaixo desse plano e têm cota -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 1º octante ponto B(-5, 3, 2), situado no 2º octante ponto C(-6, -5, 2), situado no 3º octante ponto D(5, -3, 2), situado no 4º octante ponto A'(6, 4, -2), situado no 5º octante ponto B'(-5, 3, -2), situado no 6º octante ponto C'(-6, -5, -2), situado no 7º octante ponto D'(5, -3, -2), situado no 8º octante
Igualdade - operações - vetor definido por dois pontos - ponto médio – paralelismo – módulo de um vetor
As definições e conclusões no espaço, relativas aos títulos anteriores, são análogas às do plano:
Dois vetores u = = (x₁, у₁, Z₁) е v = (X, Y, Z₂) serão iguais se, e somente se, e
II) Dados os vetores ū = u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y2, Z₁ + Z2) como:
au = (αx₁, ay₁, az₁)
(x₁, y₁, z₁) e V = (X, Y, Z) e α = R, define-se
III) Se A (x₁, y₁, Z₁) е B (×₂, y₂, Z₂) são dois pontos quaisquer no espaço, então, ■ Vetores e geometria analítica
AB = B-A = (x2 − ×₁, Y₂ — Y₁, Z2 − Z₁)
Já vimos que: se v = B - A, então, B = A + v.
B(x₁+a‚y₁+b,z₁+c)
A(X,Y,Z)
A Figura 1.61 indica que, para encontrar as coordenadas do ponto extremo B, somam-se, ordenadamente, as coordenadas do ponto inicial A com as componentes do vetor v.
IV) Se A(x₁, y₁, Z₁) e B(x₂, y₂, Z2) são pontos extremos de um segmento, o ponto x₁ + x₂ Y₁ + y² Z₁ + Z₂).
médio M de AB é M(
(X, Y, Z₁) e v = (X₂, Y₂, Z₂) são paralelos, então, V) Se os vetores u =
Χ y y Z Z₂ u = av ou
VI) O módulo do vetor v = (x, y, z) é dado por ||:
Fica a cargo do leitor a dedução dessa fórmula.
Exemplos
1. Dados os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetores u = (-2, −1, 1), = (3, 0, -1) e w = (-2, 2, 2), verificar se existem os números a₁, a, e a tais que w = a₁
AB+au+av.
Solução
AB BA=(1, 2, -1) — (0, 1, −1) = (1, 1, 0)
Substituindo os vetores na igualdade dada, resulta
Logo
(−2, 2, 2) = a, (1, 1, 0) + a2 (−2, −1, 1) + a¸ (3, 0, −1)
(−2, 2, 2) = (a₁, a₁, 0) + (−2ª, -a, a₁) + (3ª, 0, −α) Somando os três vetores do segundo membro da igualdade, vem (-2, 2, 2) = (a₁- 2a2+ 3а3, a₁ - a₂, a₂ — a₁)
Pela condição de igualdade de vetores, obteremos o sistema
| a₁ − 2ª₂ + 3a3 = -2 a₁ = a₂ = 2
(a₂ − a3 = 2 que tem por solução a₁ = 3, a₂ = 1 e a3 = −1.
No plano, todo conjunto {ˇ₁, V2} de dois vetores não paralelos constitui uma de suas bases, ou seja, todo vetor desse plano é combinação linear de V₁ e V₂.
No espaço, todo conjunto de três vetores não coplanares constitui uma de suas bases, isto é, todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores desta base.
Como no exercício anterior, o sistema (4) tem solução única (a, = 3, a₂ = 1 e a3 = -1), podemos “intuir” que o conjunto {AB, ū, v} é uma base desse espaço e, por- tanto, estes três vetores são não coplanares.
2. Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).
O ponto D (Figura 1.62) é dado por D = A + BC ou D = C + BA
Como BCC - B = (-5, 0, 5), pela la igualdade obtemos
D (3, -2, 4) + (-5, 0,5)
D = (-2, -2, 9)
3. Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(1, -2, 4)
e B(-1, -3, 1), determinar men.
Como os pontos A, B e P pertencem à mesma reta (Figura 1.63), qualquer du- pla de vetores formados utilizando estes três pontos são paralelos. Tomemos a condição AB//AP, ou seja (−2, −1, −3)//(-4, m + 2, n − 4) e, portanto, ■ Vetores e geometria analítica
Figura 1.63 no sistema de solução m = -4 e n = −2.
4. Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB.
A mediana em questão, de acordo com a Figura 1.64, é o segmento que tem como extremidades o ponto médio M de AB e o vértice oposto C. Então, o comprimento da mediana é o módulo do vetor MC.
4+2-1+5 −2-6, ) ou M(3, 2, -4) e M(
MC CM = (1, −1, −2) — (3, 2, -4) = (-2, -3, 2)
Portanto, |MC| = √(-2)² + (−3)² + 2² = √4 +9 + 4 = √17.
Problemas propostos
Figura 1.64
1. Dados os vetores ū = 2ī – 3j, v = ï – je w = −2ỉ + j, determinar a) 2ū - v c) V-u + 2 W
2. Dados os vetores ū = (3,-1) e V = (−1, 2), determinar o vetor & tal que
a) 4(v) + x = 2u - x
3. Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, −1) e O(0, 0), calcular b) OC - BC c) 3BA 4CB
4. Dados os vetores u = (2, −4), v = (-5, 1) e w = (-12, 6), determinar a₁ e a₂ tais que wa₁u+a₂v.
5. Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor v = (-2, 3), calcular a)
(B - A) + 2v b) (A - B) – a) B=A+2V
B+ 2(BA)
d) 32(A-B)
6. Sejam os pontos A(-5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor V tal que b) A = B+ 3v
Construir o gráfico correspondente a cada situação.
7. Representar em um gráfico o vetor AB e o correspondente vetor posição, nos casos:
8. Qual ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor V = (-1,3), sabendo que sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente esse segmento.
9. No mesmo sistema cartesiano xOy, representar:
os vetores u = (2, −1) e v = (-2, 3), com origem nos pontos A(1, 4) e B(1, 4), respectivamente;
os vetores posição de ü e v.
10. Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5).
a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u, v e w de modo que QP+ u, R = Q + ve P = R + w;
b) Determinar u+v+ w.
a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5)
b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4)
11. Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para:
12. Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
13. Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos Me N pertencentes ao segmento AB tais
AB e AN AM= que AB. Construir o gráfico, marcando
os pontos A, B, M, N e P, em que P seja tal que AP =
14. Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar:
a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento.
15. O ponto P pertence ao segmento de extremos A(x₁, y₁) е B(x2, y2), e a sua distância ao ponto A é a terça parte da sua distância ao ponto B. Expressar as coordenadas de P em função das coordenadas de A e B.
16. Dados os vetores ū = (1, −1), V = (−3, 4) e w = (8, -6), calcular:
a) |ū e) |V| b) w f) |ū + v c) 2u - w g) |w - 3u|
17. Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, −2) tenha módulo 4.
18. Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, seja unitário.
19. Provar que os pontos A(-2, −1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado.
20. Encontrar um ponto P do eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A(2, -3) seja igual a 5.
21. Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos:
a) P pertence ao eixo Oy e é equidistante de A e B;
b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa;
c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B.
22. Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de ve (II) sentido contrário a V, nos casos:
a) v = −i+j c) = (1,√3)
b) v = 3i - j d) = (0, 4)
23. Dado o vetor v = (1,-3), determinar o vetor paralelo a a) sentido contrário ao de ve duas vezes o módulo de v;
o mesmo sentido de ve módulo 2;
c) sentido contrário ao de ve módulo 4.
v que tenha:
24. Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices a) A(0, 0, 1), B(0, 0, 2), C(4, 0, 2) e D(4, 0, 1)
b) A(2, 1, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 2) e D(0, 1, 2)
25. Traçar o retângulo formado pelos pontos (x, y, z) tal a) x=0,1≤ y ≤ 4 e 0 ≤ Z ≤4 b) -1≤x≤2, 0 ≤ y ≤3 e z=3 que ■ Capítulo 1 Vetores
26. Construir o cubo constituído dos pontos (x, y, z), de modo que a) -4≤x≤-2, 1≤ y ≤3 e 0≤z≤2 b) -2≤x≤0, 2≤ y ≤4 e -4≤ Z ≤-2
27. Construir o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos (x, y, z), de modo que 1≤x≤3, 3≤ y ≤5e0 ≤ z < 4. Quais são as coordenadas dos oito vértices do paralelepípedo?
28. Calcular a distância do ponto A(3, 4, -2)
29. A Figura 1.65 apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A(2, −1, 2).
Figura 1.65 y 30. O paralelepípedo retângulo de dimensões 3, 4 e 5 está referido ao sistema Oxyz, conforme a Figura 1.66. Considerando um segundo sistema chamado O'x'y'z', no qual Ox//O'x', Oy//O'y' e Oz//O'z', e sendo O' um dos vértices do paralelepípedo
de acordo com a figura, determinar as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D e O' em relação aos sistemas dados.
■ Vetores e geometria analítica
31. Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor V = (1, 3, -4), calcular:
a) A + 3v b) (AB) V c) B+ 2(BA)
d) 23(BA)
32. Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto ao segmento AB tal que AN=-
33. Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, 1, −4) e C(-1, -3, 1), determinar o ponto D tal que AB + CD = 0.
34. Sabendo que 3ū - 4 = 2w, determinar a, b, e c, sendo u = (2, -1, c), (a, b2, 3) e w = (4, -1, 0).
35. Dados os vetores ū = (2, 3, −1), v = (1, −1, 1) e w = (-3, 4, 0), a) determinar o vetor X de modo que 3uv+x=4x+2w;
b) encontrar os números a₁, a2 e a, tais que a₁u+av+az w = (-2, 13, −5).
36. Representar no mesmo sistema Oxyz o vetor v = (1, −1, 3) com origem nos pontos O(0, 0, 0), A(-3, -4, 0), B(-2, 4, 2), C(3, 0, -4) e D(3, 4, −2).
37. Sendo A(2, −5, 3) e B(7, 3, −1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 38. Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M(5, 0, -2), N(3, 1, −3) e P(4, 2, 1).
39. Dados os pontos A(1, −1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o seg- mento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
40. Sendo A(-2, 1, 3) e B(6, -7, 1) extremidades de um segmento, determinar:
■ Capítulo 1 Vetores os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
os pontos F e G, nesta ordem, que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.
41. O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B, C e D. Sendo AA' uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A' nos seguintes casos:
a) A(3, 5, 0), B(1, 5, 0), C(3, 5, 4) e D(3, 2, 0)
b) A(-1, 2, 1), B(3, −1, 2), C(4, 1, −3) e D(0, -3, -1)
c) A(-1, 2, 3), B(2, -1, 0), C(3, 1, 4) e D(-2, 0,5)
42. Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição:
43. Quais dos seguintes vetores u = (4, −6, 2), v = (−6, 9,−3), w = (14,-21,9) e t = (10,-15,5)
são paralelos?
44. Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores u = (3, 2, -1) e = (a, 6, b) + 2w sejam paralelos.
45. A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3,-1,-1) e D(0, m, n). Determinar o ponto D.
46. Verificar se são colineares os pontos:
a) A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1)
b) A(2, 1, -1), B(3, -1, 0) e C(1, 0, 4)
c) A(-1,4,-3), B(2, 1, 3) e C(4, −1, 7)
47. Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me n.
48. Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3, -2, 5)
b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5)
49. Verificar se são unitários os seguintes vetores:
1 2 1 u = (1, 1, 1) e v = (→
50. Determinar o valor de n para que o vetor v = (n,
51. Determinar o valor de a para que u = (a, -2a, 2a) seja um versor.
52. Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que || 7, sendo v = mAC + BC.
53. Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, 2) e C(2, 0, -4).
54. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(3,-1,4) e B(1,-2,-3).
55. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1, 2, −2) seja igual a 3.
56. Dado o vetor v = (2, −1, −3), determinar o vetor paralelo a v que tenha a) sentido contrário ao de ve três vezes o módulo de v;
o mesmo sentido de ve módulo 4;
c) sentido contrário ao de ve módulo 5.
4. a₁ = −1 e a₁ = 2
5. a) (-8,11)
b) (6, -8)
b) = (-2, 6. a) (3, 1)
10. b) 0 b) D(1, 2)
11. a) D(-2, 4)
12. (2,2), (0, -4) e (10, 6)
f) √13 g) √√34 e) 5 h) 1
√10 d) (0, 1) e (0, -1)
27. Vértices da base inferior: (1, 3, 0), (1, 5, 0), (3, 3, 0) e (3, 5,0)
Vértices da base superior: (1, 3, 4), (1, 5, 4), (3, 3, 4) e (3, 5, 4)
d) 2√√5
a) 2 e) √13 b) 4 f) 5 c) 3
29. B(2, 3, 2), C(3, −3, 2), D(3, −1, 2), E(3, −1, 5), F(2, −1, 5), G(2, -3, 5), H(3,3,5)
30. Em relação a Oxyz: O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 4, 0), C(0, 4, 5), D(3, 0,5) e O'(3,4,5)
Em relação a O'x'y'z': O(-3, -4, -5), A(0, -4, -5), B(0, 0, −5), C(−3, 0, 0), D(0, -4, 0) e O'(0, 0, 0)
35. a) x=( b) a22, a₂-3, a₂ = 1
37. C(6, -1, 3) e D(1, −9, 7)
(4, −1, −6), (6, 1, 2) e (2, 3, 0)
40. a) (0,-1,-), (2, −3, 2), (4, -5, · b)
43. São paralelos: u, v e ť
44. a 9 e b = -15
45. D(0, 1, 0)
46. a) sim b) não c) sim
47. m=5 en = -13
48. a) D(1, −3, 6) 49. é unitário b) D(2, 1, 3)
55. P(0, 0, 0) ou P(0, 0, -4)
DEFINIÇÃO ALGÉBRICA
Chama-se produto escalar de dois vetores ū=x₁i+y₁j+z‚k e v=x₂i+y₂j+zk‚e , e se repre- senta por uv, ao número real
O produto escalar de ü por v também é indicado por <ü,v> e se lê “u escalar v”.
Exemplos
1. Dados os vetores ū=3i−5j+8k e v=4i −2j −k, tem-se
2. Sejam os vetores =(3,2,1) e =(-1,-4,-1). Calcular:
(u+v).(2ū-v)
Solução uv=3(4)-5(-2)+8(-1)=12+10-8=14 a) Como u+=(2,-2,0) e 2ū-=(6,4,2)-(-1,-4,-1)=(7,8,3), tem-se b)=3(3)+2(2)+1(1)=3² +2² +12=9+4+1=14 c) 0 (0,0,0)·(3,2,1)=0(3)+0(2)+0(1)=0
(u+v)·(2u-v)=2(7)-2(8)+0(3)=14-16+0=-2
3. Dados os vetores u=(4,α,-1) ev=(a,2,3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determinar o valor de a tal que u·(v+BA)=5.
Substituindo e resolvendo a equação dada, vem
Para quaisquer vetores ü,v ew e o número real α, é fácil verificar que:
IV) u u>0 se u±0 eu⋅u=0, se u=0=(0,0,0)
De fato, vimos que o módulo do vetor u=(x,y,z) é dado por |ü|=√x² + y²+z².
Tendo em vista que ūū=(x,y,z).(x,y,z)=x² + y²+z², conclui-se que ou, de modo equivalente, ū ū=|u|².
Demonstraremos a propriedade II, deixando a cargo do leitor as demais. Se ü=(x₁,y₁,z₁),v=(x2,y2,Z2) e Ŵ=(X,Y,Z3), então
De forma análoga, demonstra-se que 3. Provar que (+ỹ)·(ū−ñ)=|ū|² −|v²²
☐ Capítulo 2
Produto escalar
Solução
(ū+v)·(ū−v)=ū·(ū−v)+v·(ū−v)
Se u ev são vetores não nulos e 0 o ângulo entre eles, então u v =|u||v|cos
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da Figura 2.1, temos e então
|ū−v²=|ū² +[v² −2|u||v|cos¤
Por outro lado, de acordo com o exemplo 2 (item anterior):
Comparando as igualdades (3) e (4):
|ū²² +|v|² −2ū·v=|ū² +|v|² −2|ū||v|cos u⚫v=|u||v|cos 0,0°≤0≤180°
CONCLUSÃO: O produto escalar de dois vetores não nulos
A B u Figura 2.1 é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado.
Sendo |u|=2, |v|=3 e 120° o ângulo entre u ev, calcular a) u.v b) |ü+v|
Então, |u+v=2²+2(-3)+32=7 e, portanto, c) De forma análoga, tem-se
|ū−v|²=|ūẞ² −2ū·ñ+|v|²
=19 e, portanto, Observações a) Vamos exemplificar a teoria com um caso particular a equivalência das expressões do produto escalar apresentadas em (1) e (2). Na Figura 2.2 vemos que o ângulo formado pelos vetores
=(0,1,0) é 45°. Então, por (1), temos
=(1,1,0) e ū·v=1(0)+1(1)+0(0)=1 e, por (2), u v =|u||v|cos 45 = (√2)(1)(√) =
45º
■ Capítulo 2 Produto escalar b) Deixaremos de demonstrar dois resultados válidos para todos os vetores ū e v:
1) |ū·v|≤ü||v| (Desigualdade de Schwarz)
A segunda desigualdade confirma a propriedade geométrica segundo a qual, em um triângulo (Figura 2.3), a soma dos com- primentos de dois lados (|ū|+|v|) é maior do que o comprimento do terceiro lado (|ū+v|).
A igualdade somente ocorre quando ū e v forem paralelos e de mesmo sentido.
u+v u Figura 2.3
c) Como em (2) o sinal de uv é o mesmo de cos 0, concluímos que:
■ Vetores e geometria analítica
1) uv>0cos 0>00° ≤ 0 < 90° (Figura 2.4(a))
2) uv<0 cos 0< 0⇒ 90° < 0 ≤ 180° (Figura 2.4 (b))
3) v=0cos 0 = 0 0 = 90° (Figura 2.4 (c))
Ꮎ u (b)
Figura 2.4 u Esta afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores:
Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u.v=0
Exemplos
1. Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
O vetor ō é ortogonal a todo vetor, ou seja, 0.v=0 para todo v.
2. Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, −1) e C(2, 2, −2) é um triân- gulo retângulo.
A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto esca- lar é zero. Consideremos os vetores
(poderíamos também considerar os seus vetores opostos). Calculemos:
AB AC=(0,-2,-2)·(0,-1,-3)=0+2+6=80
AB BC=(0,-2,-2) (0,1,-1)=0-2+2=0
Tendo em vista que AB BC=0, o triângulo é retângulo em B.
■ Capítulo 2 Produto escalar
3. Determinar um vetor ortogonal aos vetores v₁ =(1,-1,0) e v₂ = (1,0,1).
Seja u=(x,y,z) o vetor procurado. Como ū é ortogonal a v е V2, devemos ter
O sistema tem infinitas soluções do tipo uv₁ =(x,y,z)·(1,-1,0)=x-y=0 uv₂ =(x,y,z) (1,0,1)=x+z=0 x - y = 0 x + z = 0 y=xez=-x
Logo, os vetores ortogonais v₁ e v₂ são da forma ü=(x,x,-x) ou u=x(1,1,-1), x = R, ou seja, são todos múltiplos de (1, 1, −1), conforme sugere a Figura 2.5.
4. Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
■ Vetores e geometria analítica
Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o mesmo comprimento. Consideremos o losango ABCD (Figura 2.6).
Fazendo AB ü e AD=v, pela figura vemos que AC=u+ve DB=u-v. Logo, AC-DB=(u+v) (ū−v)=|ū²² −|v²=0 pois |u|=|v|.
D u A Figura 2.6
5. Provar, utilizando o produto escalar, que o ângulo inscrito em uma semicircun- ferência é reto.
Observemos que, considerados os vetores ū e v como na Figura 2.7, os vetores ü+v eü-v de- terminam o ângulo inscrito na semicircunferên- cia. Portanto, de maneira análoga ao exemplo anterior, visto em (5), temos
(ū+v)·(ū−v)=|ū² −|v|²=0 pois || (medida do raio).
Figura 2.7
Da igualdade u v=|u||v|cose, vem cos = fórmula a partir da qual se calcula o ângulo 0 entre os vetores ū e v não nulos.
Solução cos 0=
Logo, 1. Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(−1,2,2).
2. Sabendo que o vetor =(2,1,-1) forma ângulo de 60° com o vetor AB determi- nado pelos pontos A(3, 1, −2) e B(4, 0, m), calcular m.
Solução
De acordo com a igualdade (6), tem-se
3. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, −3, 3), B(2, −1, 2) e C(1, 0, 2).
Solução
Observemos © que, no triângulo ABC da Figura 2.8, o ângulo A é determinado
■ Vetores e geometria analítica pelos vetores AB e AC. Logo, (−1,2,−1)·(−2,3,−1) _ 2+6+1 ||AB||AC| √1+4+1√4+9+1 √6√14 √84
(1,-2,1) (-1,1,0) -1-2 -3 ||BA||BC| √1+4+1√1+1+0 √√√2 2√3 2
)=19°7'. Notemos que ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS
DIRETORES DE UM VETOR
Seja o vetor v=x+yj+zk não nulo.
Ângulos diretores de v são os ângulos α, ẞey que v forma com os vetores i, j e k, respectiva- mente (Figura 2.9).
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores, ou seja, cos a, cos ẞe cos y.
Para o cálculo desses valores utilizaremos a fórmula (6):
vi (x,y,z) (1,0,0) _ x |V|(1) |V|
Notemos que os cossenos diretores de ▾ são precisamente os componentes do versor de v:
Como o versor é um vetor unitário, decorre imediatamente que:
cos²a + cos²ẞ + cos²y = 1
Exemplos
1. Calcular os ângulos diretores de v=(1,-1,0).
2. Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60°. Determinar a.
■ Vetores e geometria analítica
Substituindo em (8), ẞ por 45° e y por 60°, vem cos² α+cos² 45° + cos² 60°=1 cos² α +(-
Logo, α = 60° ou α = 120°.
3. Um vetor v do espaço forma com os vetores i e j ângulos de 60° e 120°, respec- tivamente. Determinar o vetor v, sabendo que ||=2.
Seja =(x,y,z) o vetor procurado. No caso presente: α = 60° e ẞ = 120°. Então, utilizando (7), temos
, em que y = −1 ou -
Como ||=2, ou seja, √x² + y²+z² =
=2 vem
(1)²+(-1)²+z2 =4 z² = 2 z=±√2
Portanto, v=(1,-1,√√2) ou v = (1,−1, −√2)
4. Obter o vetor v, sabendo que |v|=4, v é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60° com o vetor i e ângulo obtuso com j.
Solução
Sendo v ortogonal ao eixo Oz, ele é do tipo =(x,y,0).
Por (7), tem-se
X cos 60° = ou =-, em que x = 2 2 4
Como ||=4, ou seja, √x² + y² = 4 vem
(2)² + y² = 16 y² = 12 y=±2√3
■ Capítulo 2
Tendo em vista que ẞ (ângulo de ▾ com Ï) é obtuso (90° < ß ≤ 180°), na igual- dade cosẞ= o valor de y é negativo.
Portanto, =(2,-2√3,0)
Sejam os vetores u e v não nulos e 0 o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v, tal que sendo v₁||ue v₂ Lū.
A Figura 2.10 ilustra as duas situações possíveis, podendo ser 0 um ângulo agudo (Figura 2.10 (a)) ou obtuso (Figura 2.10 (b)).
O vetor v₁ é chamado projeção ortogonal de v sobre u e indicado por V₁ = proj₁v
Figura 2.10
Ora, sendo v₁ ||u, temos v₁ =αu e como v₂ =V−v₁ = v-aū é ortogonal a u, vem ou
Portanto, sendo v₁ =au, por (9), conclui-se que (v-αu).ū=0 απ proj⭑v=( -)ū u.u
Se em (10) o vetor ū é unitário (|u|=1), tem-se proj₁ =(v.)ū, pois ū·ū=|u|²=1
|proj„v|=|(▼ ·ū)ū|=|v·ū||ū|
| proj₁v|=|vu|
O comprimento do vetor projeção de ▾ sobre u, sendo ū unitário, é igual ao módulo do produto escalar de ▾ por u.
1. Determinar o vetor projeção de v=(2,3,4) sobre u=(1,-1,0).
vu 2(1)+3(-1)+4(0)=-1 ū·ū =|ū²²=(1)² +(−1)² +0² = 2 proj¸v=(\-ª)ū=(¯)(1,−1,0)=(-1/2) (0)
■ Capítulo 2
2. Dados os vetores =(1,3,-5) e u=(4,-2,8), decompor v como v=v₁ +V₂, sendo e Solução a) Pela Figura 2.10 e por (10), temos
V₁ = proj¡v =(
Como v⚫u=1(4)+3(-2)-5(8)=-42 e üü=4²+(-2)² +8² = 84, vem
b) Sendo v₁ +V₂, tem-se
▼₂ = v−√₁ =(1,3,-5)-(-2,1,-4)=(3,2,-1)
Observamos que v₂ Lu, pois, ▼₂ ·ū=3(4)+2(−2)−1(8)=0
Solução
3. Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1) e C(m, -5, 3).
a) Para qual valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
a) Sendo  ângulo reto, os vetores AB e AC (Figura 2.11) são ortogonais, ou seja, AB AC =0.
3m=6 m=2 b) O ponto H é dado por BA.BC BC-BC
Todo o estudo feito neste capítulo em relação a vetores do espaço é válido também para vetores no plano.
Considerando os vetores =(x₁,y₁) e v=(x2,y2), temos b) validade das mesmas propriedades do produto escalar;
c) se é o ângulo entre 0 ev #0, então cos 0= d) use, e somente se, u.v=0;
e) se a e ẞ são os ângulos diretores de ü,u0, então cosα = f) cos² α + cos² ẞ = 1;
g) proj₁ =(v)ū, com ū e v não nulos.
UMA APLICAÇÃO NA FÍSICA e cosẞ=
■ Capítulo 2
O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como, por exem- plo, o trabalho.
O trabalho realizado por uma força constante F ao longo de um determinado deslocamento à é definido como o produto escalar dessa força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada.
Podemos observar que a componente da força F que realiza o trabalho é Ę paralela ao deslocamento AB=d, conforme mostra a Figura 2.12.
Então, Ꮎ
A Figura 2.12
B em que o é o ângulo entre a força e o deslocamento.
A grandeza física trabalho, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado por J.
A expressão para o cálculo do trabalho W é e W=F⚫d ou W=|F||d|cose
1J = 1N 1m (1 Newton vezes um metro)
1. Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, F, F, Fe P (Figura 2.13) e pela força resultante, para deslocar o bloco de A até B, sabendo que |F|=10N, |F |=8N, |P|=3N,|F|=3N, d=AB e|d|=10m.
Figura 2.13
Solução a) WE =|F||d|cos
Como 0 =0° (ângulo entre F e d), vem
W₁ =(10N)(10m)(1)=100 J b) W₁ =|||d|cos
Como = 180° (ângulo entre Ę e d), ven
WE (8N)(10m)(-1)=-80 J c) W₁ =|P||d|cos
Como 0 = 90° (ângulo entre P e d), vem
Wp (3N)(10m)(0)=0J d) WF||d|cos
Como 0 = 90° (ângulo entre F✓ e d), vem
(3N)(10m)(0)=0J
Neste exemplo, o trabalho resultante WR das quatro forças pode ser calcu-
lado de duas maneiras:
ou a) pela soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças:
WR = WE+WE+W₂+WEN
WR 100J-80J+OJ+OJ=20J
Logo, ou e 0=36,9°.
Solução ou por b) pelo trabalho realizado pela força resultante FR: Ƒ₁₂ =F+F₁₂ +P+F√ (soma de vetores)
Como P+Fx =0, conclui-se que | FR |=2N
WR = ||| cos 0(0=0°)
2. Calcular o trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo de A até B (Figu- ra 2.14), sabendo que|F|=10N,|AB|=|d|=20m
A Força F (Figura 2.15) é decomposta em F=8₁+6j, na qual 8=|F|cos0, 6=|F|sen 0 e d=20i+0j.
O trabalho realizado pela força F pode ser calculado por W=f.d
Problemas propostos
1. Dados os vetores ū=(2,-3,-1) e =(1,-1,4), calcular:
2. Sejam os vetores ū=(2,a,−1), v=(3,1,-2) e w=(2a-1,-2,4). Determinar a de modo que u·v=(u+v)·(v+w).
3. Dados os pontos A (4, 0, -1), B (2, −2, 1) e C (1, 3, 2) e os vetores ū=(2,1,1) e =(-1,-2,3), obter o vetor x tal que:
3x+2v=x+(AB.u)v a)
b) (BC v)x(u⭑v)v-3x v.u=-42.
4. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(2,-1,3), tal que 5. Determinar o vetor v do espaço, sabendo que |v|=5, v é ortogonal ao eixo Ox, v.w=6 e w=1+2j.
6. Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oy, V·V₁ =8 e v·V₂ =−3, sendov₁ = (3,1,-2) e v₂ =(-1,1,1).
7. Dados os vetores ū=(1,2,-3), v=(2,0,-1) e ŵ= (3,1,0), determinar o vetor x tal que xu -16, xv=0 ex-w=3.
a) (ū-3v).ū b) (2v-u) (2v)
8. Sabendo que ū|=2, |v|=3 eu·v=-1, calcular:
c) (u+v)·(v-4ū)
d) (3u+4v) (-2ū-5v)
A 9. Calcular u v + w +vw, sabendo que ü+v+w=0, ||=2,|v|=3 e|ŵ|=5.
10. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilá- tero cujo lado mede 20 cm. Calcular AB AC e AB CA.
11. O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2.
Calcular:
a) AC-BD b) AB AD c) BA BC
d) AB BC e) AB DC f) BC DA Figura 2.16
12. Calcular |+|, |ū−v] e (ū+v)·(ū-v), sabendo que |u|=4, ||=3 e o ângulo entre u ev é de 60°.
a) |(2ū―v)·(ū−2v)|
13. Sabendo que ||=√2, |v|=3 e que û e v formam ângulo de 3π rad, determinar:
b) |ū-2v|
14. Verificar para os vetores ū=(4,-1,2) e =(-3,2,-2) as desigualdades a) |ūv≤ü||v| (Desigualdade de Schwarz)
15. Qual deve ser o valor de a para que os vetores a = ai +2j-4k e b=2i+(1-2α)j+3k sejam ortogonais?
16. Dados os vetores a=(2,1,α), 5=(a+2,-5,2) e c=(2α,8,α), determinar o valor de a para que o vetor a+b seja ortogonal ao vetor c-ā.
que 17. Dados os pontos A(-1, 0, 5), B(2, -1, 4) e C(1, 1, 1), determinar x tal AC e BP sejam ortogonais, sendo P (x, 0, x − 3).
18. Provar que os pontos A(-1, 2, 3), B(−3, 6, 0) e C(-4, 7, 2) são vértices de um triângulo retângulo.
19. Dados os pontos A(m, 1,0), B(m - 1,2m, 2) e C(1, 3, -1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.
20. Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor v (4,1-2).
21. Determinar o vetor u tal que |u|=2, sendo o ângulo entre u e v=(1,−1,0) igual a 45° e u seja ortogonal a w=(1,1,0).
22. Seja o vetor =(2,-1,1). Obter:
a) um vetor ortogonal a v;
b) um vetor unitário ortogonal a v;
c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v.
23. Sendo ab, |ã|=6 e|b|=8, calcular |ã+¯| e|ã−¯|.
24. Demonstrar que, sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então:
a) |ū+v²=ū² +[v²² b) |ū+v+ŵ²=|ū² +[v² +[ŵ²
25. Determinar o ângulo entre os vetores:
a) u=(2,-1,-1) e =(-1,-1,2)
b) (1,-2,1) e =(-1,1,0)
26. Seja o triângulo de vértices A(3, 4, 4), B(2, -3, 4) e C(6, 0, 4). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B?
27. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).
28. Calcular o valor de m de modo que o ângulo entre os vetores ū=(1,-2,1) e =(-2,1,m+1) seja 120°.
29. Calcular n para que o ângulo entre os vetores = (-3,1,n) e k seja de 30°.
30. Se|u|=4,|v|=2 e 120° o ângulo entre os vetores ū e v, determinar o ângulo entre ü+veu-ve construir uma figura correspondente a esses dados.
31. Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17.
Determinar:
a) OA-OC b) OA-OD c) OE-OB aresta;
d) OB e OG| e) EG.CG f) (ED AB)OG g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma h) o ângulo agudo formado por duas diagonais x do cubo.
32. Calcular os ângulos diretores do vetor =(6,−2,3).
G a a A B a Figura 2.17
33. Os ângulos diretores de um vetor ã são 45°, 60° e 120° e |a|=2. Determinar a. 34. Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar.
35. Mostrar que existe vetor cujos ângulos diretores são 30°, 90° e 60°, respectiva- mente, e determinar aquele que tem módulo 10.
36. Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60° com o vetor i.
37. Determinar o vetor a de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor v=1-2k, e forma ângulo obtuso com o vetor i.
38. Determinar o vetor v nos seguintes casos:
■ Capítulo 2 a) v é ortogonal ao eixo Oz, |V|=8, forma ângulo de 30° com o vetor i e ângulo obtuso com j;
b) v é ortogonal ao eixo Ox, |v|=2, forma ângulo de 60° com o vetor j e ângulo agudo com K.
39. O vetor v é ortogonal aos vetores u=(1,2,0) e w=(2,0,1) e forma ângulo agudo com o vetor j. Determinar v, sabendo que ||= √√21.
Produto escalar
40. Dados os vetores =(3,0,1) e v=(-2,1,2), determinar proj₁ū e proj₁v.
41. Determinar os vetores projeção de v=41-3j+2k sobre os eixos cartesianos x, y e z.
42. Para cada um dos pares de vetores ū e v, encontrar a projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v₁ com V2, sendo v₁ ||ü e v₂Lū.
a) =(1,2,-2) e =(3,-2,1)
b) =(1,1,1) e v=(3,1,-1)
43. Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) vértices de um triângulo (Figura 2.18) responda:
a) Para qual valor de m o triângulo ABC é re- tângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
44. Determinar o valor de k para que os vetores ū=(-2,3) e =(k,-4) sejam:
a) paralelos b) ortogonais
45. Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores:
a) 4i+3j b) (-2, 3)
c) (-1,-1)
46. Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paralelo a v=6i +8j.
47. Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores:
48. Dados os vetores ū=i−j e v=2i+j, determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor Ï:
■ Vetores e geometria analítica a) ū b) v c) u+v d) u-v e) v-ū
49. Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores ū=(2,1) e v = (1,a).
50. Para cada um dos pares de vetores ū e v, encontrar o vetor projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v₁ com V2, sendo v₁||ū ev₂ ¹ū.
1. a) -2 c) -4 b) 21
3. a) (3, 6, 9) b) (1)
5. =(0,3,4) ou =(0,3,-4)
d) -181
8. a) 7 b) 38 c) -4
10. 200 e-200 d) 2
11. a) 0
1)-4 c) -2 b) 2 e) 4
16. α 3 ou α = -6
22. a) Entre os infinitos possíveis: (1, 1, −1)
31. a) 0 c) 0 e) a²
d) a√2 ea√√3 f) (a³, a³, a³)
34. Não, pois cos² 45°+cos² 60°+cos² 90° 1
Vetores e geometria analítica
40. proj, u=(-1) e proj, v = (——²,0,—½³})
d) v₁ =(0,0,0) (u e v são ortogonais) e v₁ =V
43. a) m 3 c) H( b)
)=117° e) √5,arc cos( b) √5,arc cos(
49. α = 3 ou α =
PRELIMINARES
Antes de definirmos produto vetorial de dois vetores u e v, faremos algumas considera- ções importantes:
a) O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar ü⋅v, que é um escalar (nú- mero real).
b) Para simplicidade de cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes. Um de- terminante de ordem 2 é definido como
Por exemplo:
X2 Y2
c) Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção:
c₁) a permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante.
Em relação ao exemplo anterior, temos:
|=(-4)(2)–(3)(5)=-8-15=-23 c2) se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais, o determinante é zero (duas linhas iguais é um caso particular).
No determinante a seguir, os elementos da segunda linha são o triplo dos elementos da primeira:
=0 c3) se uma das linhas for constituída de zeros, o determinante é zero.
Por exemplo, 5 7 |=0 0
Vetores e geometria analítica d) Um determinante de ordem 3 pode ser dado por b с a Ут
A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. Notemos que os três determinantes de ordem 2 dessa expressão são obtidos a partir das duas últimas linhas, desprezando- -se nelas, pela ordem, a 1ª coluna, a 2ª coluna e a 3ª coluna, trocando-se o sinal do determinante intermediário.
Por exemplo:
Todas as propriedades dos determinantes anteriormente citadas fazem referência às linhas da matriz pelo fato de, no estudo do produto vetorial, haver menção somente a linhas. No entanto, as propriedades valem também para as colunas.
Chama-se produto vetorial de dois vetores ü=xi+yj+zk e v=x₁₁+y₁j+z₂k, tomados nessa ordem, e se representam por uxv, ao vetor
O produto vetorial de u por v também é indicado por ü^v e lê-se “u vetorial v".
Observemos que a definição de u×v dada em (1) pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace (item d das Preliminares) substituindo-se a, b e c pelos vetores unitários i, j e k, fato que sugere a notação
Y2 Z2
■ Capítulo 3
O símbolo à direita de (2) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos essa notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.
Dispositivo prático para o cálculo de u× v
Dispõe-se os dois vetores em linha e repete-se, pela ordem, as duas primeiras colunas. As três componentes de ü× são dadas pelos três determinantes, conforme indicado a seguir. A vantagem do dispositivo é que não se corre o risco de esquecer a troca de sinal do determinante intermediário.
Levando-se em consideração as afirmações feitas sobre as propriedades dos de- terminantes, concluímos de imediato que:
1) v×ū=-(ü×v), ou seja, os vetores v×ū e u×ỷ são opostos (Fi- gura 3.1), pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial ux implica troca de sinal de todos os determinantes de or- dem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes. Por outro lado, como u×V×ü, conclui-se que o produto veto- rial não é comutativo (ao contrário do produto escalar: ū·v=v·ū). Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é importante.
Figura 3.1
2) uxv=ō se, e somente se, u||v, pois, nesse caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais.
Estão aí também incluídos os casos particulares:
■ Vetores e geometria analítica a) ü×(3)=0 b) (2)x(-7)=0 c) (üxv)x(v×ü)=Ō
I) üxü=0 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais)
II) üx0=0 (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) Exemplos de produto vetorial de vetores paralelos:
d) (ü-v)x(v-ü)=0 e) (2ü+3v)x(6u+9)=0 f) (5ü)×0=0
Sabemos que um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção, seu sentido e seu comprimento. A seguir passaremos a definir o vetor uxv no caso de u e v serem não nulos e não paralelos.
a) Direção de uxv
CARACTERÍSTICAS DO VETOR U X V
Consideremos os vetores = (x₁,y₁,Z₁) e = (X2,Y,Z).
O vetor uxv é simultaneamente ortogonal a ū e v.
Considerando que dois vetores são ortogonais quando o seu produto escalar é zero, basta mostrar que
Como o vetor vxu tem a mesma direção de uxv (apenas seus sentidos são opostos), ele tam- bém é ortogonal tanto a ū como a v. A Figura 3.2 apresenta os vetores ü×ve v×ü ortogonais a um plano л determinado por u e v.
Figura 3.2
Dados os vetores =(3,1,2) e v=(-2,2,5), tem-se i j k uxv=31 2=(1,-19,8)
(uxv).ū=(1,-19,8)·(3,1,2)=3-19+16=0
(üxv) v=(1,-19,8)-(-2,2,5)=-2-38+40=0
O sentido de u×v pode ser determinado utilizando-se a “regra da mão direita" (Figura 3.3(a)). Sendo 0 o ângulo entre ū e v, suponhamos que ū (1º vetor) sofra uma rotação de ângulo 0 até coincidir com v. Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então, o polegar estendido indicará o sentido de üxv.
Figura 3.3
A Figura 3.3 (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão, quando, então, o dedo polegar apontará para baixo. Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de üxv, podemos associar esses dois vetores a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i, j e k. Por exemplo, as- sociando uxv com ixj e tendo em vista que ■ Vetores e geometria analítica i j
o sentido de k daria o sentido de u×v. Da mesma forma, temos j×k=i e k×i=j
Na Figura 3.4 apresentamos um dispositivo mnemô- nico para lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com esses três vetores unitários que determinam o sistema car- tesiano. Associando esses vetores a três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores sucessivos quaisquer é o vetor seguinte. Assim, nesse dispositivo temos imediata- mente i×jk (sentido anti-horário) e, consequentemente, jxi-k (sentido horário).
Figura 3.4
A tabela de dupla entrada apresenta as seis possibilidades com produto vetorial não nulo:
Se e é o ângulo entre os vetores ū e v não nulos, então
|xv|=|u||v|sen
Esse resultado é imediato quando se conhece a identidade de Lagrange:
a identidade (4) poderá ser verificada desenvolvendo-se os membros da direita de (5) e (6) e constatando sua igualdade (a cargo do leitor).
a Tendo em vista que a igualdade (4) pode ser escrita como
|ū×v²=üß²|v² −||||² cos² 0
=|u|(1-cos²0)
Extraindo as raízes quadradas e notando que sen 0≥0 (pois 0° ≤0≤ 180°), obtemos
|xv|=|u||v|sen
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO
Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não nulos ū e v (Figura 3.5), a medida da base é üle da altura é | v |sen, a área A deste paralelogramo é
A = (base) (altura) = ||||sen ou seja, V
O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: "a área do paralelogramo de- terminado pelos vetores ū e ▾ é numericamente igual ao comprimento do vetor ux”. Vamos comprovar esse resultado por meio de um exemplo particular tomando os vetores u=2i e v=3j. Temos, então, ■ Vetores e geometria analítica i j k
0=(0,0,6)=6k uxv-20
|uxv|=6
A Figura 3.6 mostra claramente que o paralelo- gramo determinado por u e v tem 6 u.a. (unidades de área), e o vetor u×v tem 6 u.c. (unidades de com- primento). Numericamente essas medidas são iguais.
Para encerrar o estudo do produto vetorial, as conclusões finais são:
1) O produto vetorial não é associativo, ou seja, em geral é
Figura 3.6 enquanto que 2) Para quaisquer vetores u, v, w e o escalar α, são válidas as propriedades ū×(v+ŵ)=(ū×v)+(ū×ŵ) e (ü+v)×ŵ=(ü×ŵ)+(v×ŵ)
α(ū×v)=(au)×v=u×(αv)
As demonstrações dessas propriedades, todas ligadas à aplicação da definição (1) e de propriedades dos determinantes além das citadas no texto, deixamos a cargo do leitor como desafio.
1. Determinar o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e u=xxv, sendo =(1,1,-1) e v=(2,-1,1).
Então, u=xxv equivale a ou cuja solução é x = 1 e z = 1.
Portanto, x=(1,0,1).
Como x 10y, ele pode ser expresso da forma x=(x,0,z).
(1,1,-1)=x
(1, 1, −1) = (z, −x + 2z, -x)
Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o sistema z=1
-x+2z=1
-x=-1
2. Sejam os vetores ū=(1,-1,-4) e =(3,2,-2). Determinar um vetor que seja ortogonal a u e v;
b) ortogonal a ū e ve unitário;
ortogonal a u e v e tenha módulo 4;
d) ortogonal a ū e ve tenha cota igual a 7.
Solução a) Sabe-se que o vetor ü×v é simultaneamente ortogonal a ū e v. Como multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção, todos os vetores do tipo α(uxv),α=R, são também ortogonais a ū e v. Portanto, esse problema tem infinitas soluções.
Se chamarmos de x=(x,y,z) todos os vetores ortogonais a ū e v, essas mes- mas soluções seriam obtidas resolvendo-se o sistema:
ou x.v=0
[x-y-4 z=0 3x+2y-2z=0
A partir de ü×v (ou de qualquer α(uxv), α=0), obtém-se dois vetores unitários:
Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a ū e v, basta multi- plicar por 4 um vetor unitário:
Entre as infinitas soluções α(10, -10,5) = (10α, -10α, 5α), deseja-se aquela cuja cota é 7. Então, 5α = 7, ou seja, α==. Logo, temos a solução
3. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular | ABXAC|.
Solução
É uma aplicação direta da relação (3):
Esse resultado representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC.
Logo, a área do triângulo da figura é a metade dessa área, ou seja, 25√3.
4. Dados os vetores u=(1,-1,1) e v-(2,-3,4), calcular:
a área do paralelogramo determinado por u e v;
a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u.
Solução a) Sabemos de (7) que a área A é dada por A=|üxv|
Como
2 -3 tem-se
A =|(−1,−2,−1)|= √1+4+1 = √6 u.a (unidades de área).
A Figura 3.8 ilustra novamente o significado geométrico de luxv| e indica a altura h que se pretende calcular.
||u × v = A A u Figura 3.8
De A = (base) (altura) = |ū|·h vem
A h= ou seja, √6
√6 h=
5. Determinar a distância do ponto P(5, 1, 2) à reta r que passa por A (3, 1, 3) e B (4, -1, 1).
Solução vem
Seja da distância do ponto P à reta r (Figura 3.9). Os vetores AB e AP de- terminam um paralelogramo cuja al- tura relativa à base AB é a distância d de P a r.
Logo, de acordo com o problema an- terior, temos
6. Dados os vetores ū=(2,1,-1) e v=(1,-1,a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a √62.
Solução
A área A do paralelogramo é dada por A=|üxv|
Deseja-se que Mas, i j k uxv=2 1
Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando os termos, vem em que a2-2a+1+4a²+4a+1+9=62
5a²+2a-51 0
a = 3 ou a==
7. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, −1, 0) e C(4, 2, −2), determinar a)
a área do triângulo ABC;
a altura do triângulo relativa ao vértice C.
A Figura 3.10 mostra que, a partir do triângulo ABC, é possível construir um paralelogramo ABDC, cuja área é o dobro da área do triângulo.
Como o paralelogramo é determinado pelos vetores AB eAC, conclui-se que a área A do triângulo é a)
Figura 3.10
ABXAC|
Mas, AB (1,-2,-1), AC=(2,1,-3) e i j k
ABXAC=1
Logo, \₁ = | | (7,1,5)|==| √49+1+25= √75 =²±√³ u.a.
A altura do triângulo indicada na figura é a mesma do paralelogramo de base AB. Como a área A do paralelogramo é
O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática utilizada na Física. Entre algumas de suas aplicações pode-se citar o torque.
O torque é uma grandeza vetorial, representado por T, e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é
em que |ŕ| é a distância do ponto de aplicação da força F ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado.
Lembrando o cálculo do módulo do produto vetorial visto em (3), tem-se
■ Capítulo 3
|7|=|||F|sen 0
Produto vetorial em que o é o ângulo entre ŕ e F.
Exemplo
Calcular o torque sobre a barra AB (Figura 3.11), na qual AB=ŕ=2] (em metros), F=101 (em newtons) e o eixo de rotação é o eixo z.
A y F
Figura 3.11
O vetor torque, para o caso dessa figura, é dado por 7=(0i+2j+0k)m×(10i+0j+0k)N ou t=(01+0j-20k)mN ou t=(-20k)mN
A intensidade (módulo) do torque pode ser calculada por ||7|=|r ||F|sen 0=(2m) (10N) (sen90°) = 20mN ou por ||7|=√(-20)² =
=20mN
Caso a força F seja invertida (Figura 3.12), ou seja, F=-10i (em newtons), o torque é dado por
1. Se u=3i-j-2k,v=2i+4j−k e w=−i+k, determinar a) |üxu| i) uxv+uxw e) (u-v)xw b) (2v)x(3v)
j) (uxv).v f) (uxv)xw k) (uxv).w c) (uxw)+(wxu)
3. Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) e C(2, −1, −3), determinar o ponto D tal que AD BCXAC.
4. Determinar o vetor & tal que x-(1,4,-3)=-7 e xx(4,-2,1)=(3,5,-2).
6. Dados os vetores ū=(3,1,1), v=(-4,1,3) e w=(1,2,0), determinar x de modo que xwe xxu=v.
7. Considerando a Figura 3.13, calcular a) OFXOD d) ECXEA e) OA (OCXOE)
b) ACXFA c) ABXAC f)
GBX AF
8. Sejam os vetores =(1,-2,1), (1,1,1) e w=(1,0,-1).
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
E a F y C a A B a Figura 3.13 b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
c) Mostrar que ü×(vxw)=0.
9. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ū+2v ev-u, sendo ü=(-3,2,0) e v=(0,-1,-2).
10. Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, −1, 1) e C(4, 1, −2).
11. Dado v₁ =(1,-2,1), determinar vetores V2 е V3 de modo que os três sejam mutua- mente ortogonais.
a) ABXAD b) BAXBC c) |ABXDC
12. Dados os vetores u=(1,1,0) e =(-1,1,2), determinar:
a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a ū e v;
b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a ū e v.
13. Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a u=(3,2,2) e a v=(0,1,1).
14. Com base na Figura 3.14, calcular d) ABXCD e) |BDXAC f) |BDXCD
Figura 3.14
15. Sendo |u|=2√2, |v|=4 e 45° o ângulo entre u e v, calcular
16. Determinar ü·v, sabendo que |ü×v|=12, |ū|=13 e v é unitário.
17. Dados os vetores =(3,-1,2) e v=(-2,2,1), calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v.
18. Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4, 1, 2), B(5, 0, 1), C(-1, 2, 2) e D (-2, 3, −1) é um paralelogramo e calcular sua área.
19. Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2, −4, 0) e B(1, -3, -1), e o ponto médio das diagonais é M (3, 2, −2). Calcular a área do paralelogramo.
20. Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinada por u=(m,-3,1) e v=(1,-2,2) seja igual a √26.
21. Sabendo que |ū|=6, |v|=4 e 30° o ângulo entre u e v, calcular:
a área do triângulo determinado por u e v;
a área do paralelogramo determinado por u e (-v);
a área do paralelogramo determinado por u+v eü-v.
22. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, sabendo que suas diagonais são u+=(-1,3,4) eü-v=(1,-1,2).
23. Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa por A(1, 2, −1) e B(3, 1, 1). 24. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, dado que:
a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0, -1, 3);
b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0).
25. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e Re calcular a área do triângulo PQR, dado que:
a) P(3, 0, 0), Q(0, 3, 0), R(0, 0, 2);
b) P(2, 3, 0), Q(0, 2, 1), R(2, 0, 2).
26. Calcular z, sabendo-se que A (2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices de um triângulo de área 6.
27. Dados os pontos A(2, 1, -1) e B(0, 2, 1), determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 u.a.
28. Sabendo que os pontos A(4, 0, 0), B(0, 0, 2), C(0, 3, 0) e D(4, 3, -2) são coplanares, calcular a área do quadrilátero ABCD.
29. Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Determinar a área do triângulo ABC.
Respostas de problemas propostos i) (8,-2, 13)
c) -6j k) ō g) 0 h) 0
6. Não existe x, pois ū não é ortogonal a v.
11. Uma das infinitas soluções: V₁ =(1,−2,1), №₂ =(1,1,1) e √3 =(−1,0,1)
14. a) 2√3 d) 0 b) 2√3 e) 4√√3 f) 2√3 c) 0
20. m0 ou m = 2 c) 24
25. a) t(2,2,3), te Re b) t(1,4,6), te Re
26. z 4 ou z = -4
DEFINIÇÃO
Chama-se produto misto dos vetores ū = x₁₁+y₁j+z₁k, v=x₂i+y₂j+z₂k e ŵ=x¸i+y3j+z¸k, tomados nesta ordem, ao número real ū·(vw).
O produto misto de u, v e ŵ também é indicado por (u,v, w).
Tendo em vista que vem e, portanto, Exemplo j
Calcular o produto misto dos vetores ū=2i+3j+5k, v=−ï+3j+3k e w=4i−3j+2k.
Solução
(u,v, w)=-1
As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes.
1) O produto misto (u,v, w) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.
■ Vetores e geometria analítica
Em relação ao exemplo anterior, em que (u,v, w)=27, teríamos
(v,u,w)=-27 (permuta de u e v)
(w,v,u)=-27 (permuta de u e w)
Se em qualquer um desses três últimos produtos efetuarmos nova permutação de dois vetores, o produto misto resultante volta a ser 27.
É o que acontece com (v,w,ū)=27, onde no primeiro deles permutamos u e w.
Então, se em relação ao produto misto (u,v,w) ocorrer a) uma permutação - haverá troca de sinal;
b) duas permutações não altera o valor.
Resulta dessa propriedade que os sinais ex podem ser permutados, ou seja, ü·(v×w)=(ü×v).w pois, (ü×v).ŵ=w.(ü×ỷ) = (ŵ,ü‚v) = (ü‚ñ‚w) = ū·(v×ŵ)
III) (au, v, w)=(ü, av, w)=(u,v,aw)=α(u,v, w)
IV) (u,v,w)=0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.
Admitindo-se que (u,v,w)=0, ou seja, u.(vxw)=0, conclui-se que (VW) Lū. Por outro lado, no estudo do produto vetorial vimos que o vetor vw é também ortogonal a v e w. Assim, como vxw é ortogonal aos três vetores ū, v ew, estes são coplanares (Figura 4.1).
Figura 4.1
Reciprocamente, admitindo-se que u, ve ŵ sejam coplanares, o vetor vxw, por ser ortogonal a v ew, é também ortogonal a u.
Ora, se u e vxw são ortogonais, o produto escalar deles é igual a zero, ou seja, Observação ü.(vxw)=(u,v, w)=0
■ Capítulo 4
Produto misto
A equivalência da propriedade IV continua válida em situações particulares, tais como:
a) se pelo menos um dos vetores for nulo (o determinante (1) é zero por ter uma fila de zeros e os três vetores são coplanares);
b) se dois deles forem paralelos (o determinante (1) é zero por apresentar duas filas de elementos proporcionais ou iguais e os três vetores são coplanares).
Exemplos
1. Verificar se são coplanares os vetores ū=(2,-1,1), v=(1,0,−1) e w=(2,-1,4).
Solução Como os vetores não são coplanares.
(u,v,w)=1
2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ū=(2,m,0), v=(1,-1,2) e w=(-1,3,−1) sejam coplanares?
Para que u, v e w sejam coplanares, deve-se ter (u,v, w)=0, ou seja, 1 2
■ Vetores e geometria analítica ou e, portanto, 2-2m 12+m=0 m=-10
3. Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2), C (0, 2, 2) e D(-2, 1, −3) estão no mesmo plano.
Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e AD (Figura 4.2), e, para tanto, deve-se ter
Figura 4.2 os pontos dados são coplanares.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO é |vxw|.
Geometricamente, o produto misto u.(vw) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determi- nadas pelos vetores não coplanares ū, v e w (Figura 4.3).
Seja o ângulo entre os vetores u e vxw. Sendo vxw um vetor orto- gonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, VXW h h =|u||cos0|
Figura 4.3
(É necessário considerar o valor absoluto | cos 0|, pois e pode ser um ângulo obtuso.) Então, o volume V do paralelepípedo é
|(MXA).n|= no qual a última igualdade decorre da relação (2) do Produto Escalar.
V =|(u,v, w)|
■ Capítulo 4
Sejam os vetores ū=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w = (2,-1,2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u,ve w seja 16 u.v. (unidades de volume).
O volume do paralelepípedo é dado por V =|(ü,v, w)| e, no caso presente, deve-se ter
|-2m-8=16 que, pela definição de módulo, implica duas hipóteses:
-2m-8=16 ou
-2m-8=-16 e, portanto, m=-12 m=4 ou
Sejam A, B, C e D pontos não coplanares. Portanto, os vetores AB, AC e AD também são não coplanares. Em consequência, esses vetores determinam um paralele- pípedo (Figura 4.4) cujo volume é
A O paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho (con- forme figura) e, portanto, o volume V, de cada prisma
Figura 4.4
P é a metade do volume V do paralelepípedo (Vp:
Por outro lado, da Geometria Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume V, do tetraedro é um terço do volume do prisma, ou seja, ou ou
Exemplo
V₁ = 3
Sejam A(1, 2, -1), B(5, 0, 1), C(2, −1, 1) e D(6, 1, −3) vértices de um tetraedro. Calcular: a) o volume do tetraedro;
b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.
Solução
a) O volume do tetraedro é dado por V. == |(AB, AC, AD) |
Produto misto b) Observemos na Figura 4.4 que a altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do paralelepípedo de base determinada por AB e AC. Como o volume V do paralelepípedo é dado por V (área da base) (altura)
1. Dados os vetores ū=(3,-1,1), v=(1,2,2) e w = (2,0,-3), calcular a) (u,v,w)
b) (w,u,v)
2. Sabendo que (u,v,w)=-5, calcular a) (w,v,ü)
3. Sabendo que u·(vxw)=2, calcular a) u.(wxv)
b) v.(wxu)
c) (vXw).ũ
4. Sabendo que (u,w,x)=2 e (v,w,x)=5, calcular a) (u,x,-w)
b) (3ū,3w,-2x)
5. Verificar se são coplanares os vetores a) =(1,-1,2), (2,2,1) e w=(-2,0,-4)
6. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores a) u=(2,-1,k), v=(1,0,2) e w = (k,3,k) b)=(2,k,1), v=(1,2,k) e ŵ=(3,0,-3)
7. Verificar se são coplanares os pontos a) A(1, 1, 0), B(-2, 1, −6), C(-1, 2, -1) e D(2, −1, −4)
b) A(2, 1, 2), B(0, 1, −2), C(1, 0, -3) e D(3, 1, −2)
8. Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2, -2) são coplanares?
9. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i,j e k?
10. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores =(3,-1,4), (2,0,1) e w=(-2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores ū e v.
11. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v₁ =(0,-1,2), №₂ =(−4,2,−1) e v₁ =(3,m,−2) seja igual a 33. Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por v₁ e №₂.
12. O ponto A(1, −2, 3) é um dos vértices de um paralelepípedo, e os três vértices adjacentes são B(2,-1,-4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1). Determinar o valor de m para que o volume desse paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume). 13. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(-1, 0, 1) e C(3, 2, -2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo determinado por AB, AC e AD seja 25 u. v.
14. Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A(1, 1, 0), B(6, 4, 1), C(2, 5, 0) e D(0, 3, 3).
15. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A (2, 0, 0), B (2, 4, 0), C(0, 3, 0) e P(2, -2, 9). Qual é a altura do tetraedro relativa ao vértice P?
16. Sabendo que os vetores AB = (2,1,-4), AC = (m,-1,3) e AD=(-3,1,-2) determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.
17. Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(-2, 4, -1), B(-3, 2, 3) e C(1, -2, -1). Determinar o quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
18. Calcular a distância do ponto D(2, 5, 2) ao plano determinado pelos pontos A(3, 0, 0), B(0, -3, 0) e C(0, 0, 3).
19. Sendo |u|=3, |v|=4 e 120° o ângulo entre os vetores ū e v, calcular a) u+v b) |üx(v-u)| o volume do paralelepípedo determinado por ū×v, ū e v.
20. Determinar me n para que se tenha a) (m,n,2) (4,−1,3)=−2 b) (m,n,2)x(4,-1,3)=(8,-1,-11)
3. a) -2 b) 2 c) 2 f)-2 e) -4 b) -36 c) 24
4. a) 2
5. a) Não b) Sim b) 2 ou -3
9. 1 c) (m,n,2) ((3,1,2)×(0,1,−1))=9 d) -5 d) -6 d) -10
12. m 6 ou m = 2
13. D(0, 0, -10) ou D(0, 0, 15)
15. V12 u.v. e h = 9 u.c.
17. D(0, 2, 0) ou D(0, -4, 0)
√3 19. a) √13 b) 6√√3 b) m3 en 2
20. a) n = 4m + 8
V = 108 u.v.
n m+1
A RETA para algum real t.
De (1), vem ou ou, em coordenadas, EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Consideremos um ponto A(x,,y₁,Z₁) e um vetor não nulo v = (a,b,c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P(x, y, z) pertence a r se, e so- mente se, o vetor AP é paralelo a v (Figura 5.1), ou seja, (1)
Qualquer uma das equações (1), (2) ou (3) é denominada equação vetorial de r.
O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
A reta r que passa por A(1, -1, 4) e tem a direção de =(2,3,2) tem equação vetorial, de acordo com (3):
r:(x,y,z)=(1,-1,4)+t(2,3,2)
em que (x, y, z) representa um ponto qualquer de r.
Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se (x, y, z) = (1, −1, 4) + 1(2, 3, 2) = (1, −1, 4) + (2, 3, 2) = (3, 2, 6) e, portanto, P, (3,2,6) Єr. De forma análoga, para t = 2, obtém-se (x, y, z) = (1, −1, 4) + 2(2, 3, 2) = (5, 5, 8) e, por- tanto, P₂(5,5,8)=r;
para t = 3, obtém-se o ponto P3 (7,8,10);
para t = 0, obtém-se o próprio ponto A(1, -1, 4);
para t = −1, obtém-se o ponto P₁ (-1,−4,2);
e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta. A Figura 5.2 mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros.
P₂ t=3 t=2 t = 1 t=0 t = 1 y Figura 5.2 a) Vimos que a cada real t corresponde um ponto P = r. A recíproca também é verdadeira, ou seja, a cada P = r corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r : (x, y, z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2)
Logo, o ponto (5, 5, 8) é um particular (x, y, z) na equação (4) e, portanto, é ver- dadeira a afirmação
(5, 5, 8) = (1,-1, 4) + t(2, 3, 2), para algum real t.
Dessa igualdade, vem ou e, portanto, t = 2.
(5, 5, 8) (1,-1, 4) = t(2, 3, 2)
(4, 6, 4) t(2, 3, 2)
b) A equação (4) não é a única equação vetorial de r. Existem, na verdade, infinitas equações vetoriais de r, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro vetor qualquer não nulo que seja múltiplo de v. Por exemplo, a equação
(x, y, z) = (1, −1, 4) + t(4, 6, 4)
■ Capítulo 5 é outra equação vetorial de r na qual se utilizou o vetor 24=(4,6,4) como vetor diretor, em vez de v=(2,3,2).
Da equação vetorial da reta ou, ainda, pela condição de igualdade, obtém-se
(x,y,z)=(x+at, y₁ +bt,z₁ +ct), x=x₁+at y=y₁+bt z=z₁+ct
As equações (5) são chamadas equações paramétricas da reta.
A reta
1. A reta r que passa pelo ponto A(3, -4, 2) e é paralela ao vetor =(2,1,-3) e, de acordo com (5), tem equações paramétricas x=3+2t r: y=-4+t z=2-3t
2. Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor =(1,-2,3), pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v.
b) Encontrar os pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente. c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
Verificar se os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem a r.
Determinar para que valores de men o ponto F(m, 5, n) pertence a r.
Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r.
g) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, −4) e é paralela a r.
Escrever equações paramétricas da reta s que passa por A e é paralela ao eixo dos y.
Soluções a) De acordo com (5), temos:
x=2+t r: y=3-2t z=-4+3t b) Das equações anteriores tem-se:
x=2+(1)=3 para t = 1, vem y=3-2(1)=1 .. B(3,1,-1) er
|z=−4+3(1)=-1 x=2+(4)=6 parat 4, vem y=3-2(4)=-5. C(6,-5,8) Er
|z=-4+3(4)=8 c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4), temos
4 = 2 + t (1ª equação de r) e, portanto, t = 2.
Como y=3-2(2)=-1 z=-4+3(2)=2 t=2⇒ o ponto procurado é (4, -1, 2).
d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r. Para D(4, -1, 2), as equações
se verificam para t = 2 e, portanto, D = r.
■ Capítulo 5 não são satisfeitas para o mesmo valor de t (t = 3 satisfaz a primeira equa- ção, mas não as duas outras). Logo, E = r.
e) Como Fer, as equações m=2+t 5=3-2t n=-4+3t
Da equação 5 = 3 - 2t, vem t = -1 e, portanto, m=2+(-1)=1 n=-4+3(-1)=-7 f) Tomando o ponto B(3, 1, −1) = r (item b) e o vetor diretor 2v=2(1,2,3)=(2,-4,6), tem-se x=3+2t r: y=1-4t z=-1+6t
Para o ponto C(6, -5, 8) e o vetor diretor -=(-1,2,-3), tem-se x=6-t r: y=-5+2t z=8-3t se verificam para algum real t.
A reta g) Como s // r, os vetores diretores de s são os mesmos de r. Para =(1,-2,3), tem-se x=5+t s: y=2-2t z=-4+3t h) Como a reta s é paralela ao eixo y, um de seus vetores diretores é j=(0,1,0).
Então, x=2+0⋅t=2 s: y=3+1 t=3+t ou
|z=-4+0⋅t=-4 x=2 y=3+t z=-4
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor v=AB.
■ Vetores e geometria analítica
Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, −1, −2) e B(1, 2, 4).
Solução
Escolhendo o ponto A e o vetor v=AB=B-A=(-2,3,6), tem-se x=3-2t r: y=-1+3t z=-2+6t
Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB (origem A e extremidade B) (Figura 5.3).
As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r, porém, com 0≤t≤ 1, ou seja, Observemos que x=3-2t
AB: y=-1+3t z=-2+6t, te[0,1]
para t = 0, obtém-se o ponto A;
para t = 1, obtém-se o ponto B;
e para t entre 0 e 1, obtém-se os pontos entre A e B.
Se considerássemos o segmento BA, a fim de manter o mesmo intervalo de variação de t, para ponto tomaríamos o B e para vetor diretor BA = A-B=(2,-3,-6). Então,
x=1+2t
BA: y=2-3t z=4-6t, te[0,1]
Notemos que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t≤ 1 são
PB+t(AB), e ■Capítulo 5 respectivamente, em que P(x, y, z) representa um ponto qualquer do segmento.
A equação P = A + t(B - A) pode também ser expressa por PtB+(1-t)A
Das equações paramétricas y=y₁+bt x=x₁+at z=z₁+ct supondo abc 0, vem y-Y₁ b t= t= t= a A reta
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades x-x₁ y-Y₁ b a с
As equações (6) são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto
A(x,y,z) e tem a direção do vetor v = (a,b,c).
A reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a direção do vetor =(2,2,-1) tem equações simétricas y
Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuirmos um valor qualquer a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, tem-se
Z+5 y =1= = 2
−1 em que y = 2 ez = −6 e, portanto, o ponto (5, 2, −6) pertence à reta.
Em vez de realizar um tratamento genérico, tomaremos um caso particular.
Seja a reta r definida pelo ponto A(2, -4, -3) e pelo vetor diretor =(1,2,-3), ela pode ser expressa pelas equações simétricas
■ Vetores e geometria analítica x-2_y+4_z+3 r:
A partir dessas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando-se primeiro as variáveis y ez, e expressando-as em função de x, obtém-se y+4 2 x-2 1
1(y+4)
2(x-2)
y+4=2x-4 y = 2x-8 x-2 1 z+3 -3
As duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x.
Observações a) É fácil verificar que todo ponto P = r é do tipo P(x, 2x - 8, -3x+3), em que x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3, tem-se o ponto P₁(3,−2, −6) ≤ r. b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma y=mx+n z=px+q c) Com procedimento idêntico, a partir das equações (7), podem-se obter as equações ou
d) A reta r das equações (7) pode ser representada pelas equações paramétricas x=2+t y=-4+2t z=-3-3t
Da primeira equação obtém-se t = x − 2 que, substituindo nas outras duas, trans- forma-as em que são as equações reduzidas de (8).
e) Para encontrar um vetor diretor da reta y=-4+2(x-2)=2x-8 z=-3-3(x-2)=-3x+3
Sy=2x-8 z=-3x+3 r:
uma das formas é determinar dois pontos A e B de re, posteriormente, encontrar o vetor AB B-A. Por exemplo, para x = 0, obtém-se o ponto A(0, -8, 3)
para x = 1, obtém-se o ponto B(1, −6, 0)
Logo, AB (1,2,-3) é um vetor diretor de r.
Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações, obtendo-se, desse modo, equações simétricas de r:
z-3
X y+8
na qual a leitura do vetor diretor (1, 2, -3) é imediata.
Uma reta é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yoz se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Nesse caso, uma das componentes do vetor é nula. A Figura 5.4 mostra a reta r (r // xOy) que passa pelo ponto A(-1, 2, 4) e tem vetor diretor = (2,3,0) (a 3ª componente é nula porque v||xOy).
Observação
Um sistema de equações paramétricas de ré x=-1+2t y=2+3t z=4 y Como todos os pontos de r são do tipo (x, y, 4), ou seja, são pontos de cota 4, todos eles distam 4 unidades do plano xOy e, por isso, r // xOy. Por outro lado, sendo P(x,y₁4) e P2(x2,y2, 4) pontos distintos de r, o vetor diretor PP2 = (x2-x₁₂-y₁,0) sempre terá a 3ª componente nula.
Comentário idêntico faríamos para os casos de uma reta ser paralela aos outros dois planos.
A Figura 5.5 mostra a reta r que passa por A(1, 5, 3) e é paralela ao vetor v = (-1,0,2) e, portanto,
x=1-t r: y=5 z=3+2t
Figura 5.5 y ■ Capítulo 5 A retal
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a =(1,0,0) ou a j =(0,1,0) ou, ainda, a k=(0,0,1). Nesse caso, duas das com- ponentes do vetor são nulas.
Seja a reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor v = (0,0,3). Como a direção de v é a mesma de k, pois v = 3k, a reta r é paralela ao eixo Oz (Figura 5.6).
A retar pode ser representada pelas K equações x=2 y=3 z=4+3t
Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se simplificar, e expressar as equações somente pelas constantes. Para o caso particular anterior, diz-se que as equações de r são
√x=2 ly=3 subentendendo-se z uma variável livre que assume todos os valores reais. Ou seja, todos os pontos de r são do tipo (2, 3, z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta.
As Figuras 5.7 e 5.8 apresentam retas que passam por A(x₁,y₁,z₁) e são paralelas aos eixos Oy e Ox, respectivamente. Logo, suas equações, já na forma simplificada, são x=x₁ z=Z₁ y=Y₁ respectivamente.
e z = z₁
Figura 5.8
Observação y Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todas passam pela origem O(0, 0, 0)
e têm a direção de i,j ou k, respectivamente. Logo suas equações são:
[y=0 [x=0 [z=0' [z=0 ly = x=0 nesta ordem.
e Ꮓ y=0
Sejam as retas rе ½ com as direções de v₁ e V2, respectivamente (Figura 5.9).
Figura 5.9 y
Chama-se ângulo de duas retas ₁₁e ½ o menor ângulo de um vetor diretor de ₁₁ e de um vetor diretor de Ę. Logo, sendo 0 este ângulo, tem-se
|V1-V2| V1 V2 π cose= com 0≤0≤
Exemplo
Calcular o ângulo entre as retas x=3+t
Ꮓ y=t e -2 z=-1-2t
Solução
Os vetores que definem as direções das retas г е ½ são, respectivamente, V₁ =(1,1,-2) e v₂ = (−2,1,1)
Pela fórmula (9):
|(1,1,-2)·(−2,1,1)| cose=
| V₁ || V₂| √1²+1² +(−2)² √(−2)² +1² +1²
|-2+1-2| |_| |--3|| 3 1 √1+1+4√4+1+1 √√√6 6 2 cose=
Logo, 9=arccos() ==+rad=60°
RETAS ORTOGONAIS
Sejam as retas r₁ e r₂ com as direções de v₁ e V2, respectivamente.
Então,
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na Figura 5.10, as retas r, e r₂ são ortogonais a r. Porém, r, e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são perpendiculares.
Sendo v₁ =(1,-2,4) e v₂ =(-2,1,1) vetores diretores de Ę e Ę e V₁₁₂ =1(−2)-2(1)+4(1)=0 as retas r₁ e r₂ são ortogonais.
RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Figura 5.10 são ortogonais.
Sejam as retas r₁ e r₂ não paralelas, com as direções de v₁ e v₂, respectivamente. Toda reta r ortogonal a r₁ e r₂ terá a direção de um vetor v tal que (10)
Em vez de tomarmos um vetor v±0 como uma solução particular do sistema (10), poderíamos utilizar o produto vetorial (Capítulo 3), ou seja, Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando um de seus pontos for conhecido.
Determinar equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, -1) e é ortogonal às retas
:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,−4) e x=5 2y=t z=1-t
As direções de r₁ e r₂ são definidas pelos vetores v₁ =(2,3,-4) e v₂ = (0,1,−1). Então, a reta r tem a direção do vetor i j k
Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r₁ е r₂:
x=3+h x=5+3t x=-t
Sy=2x-3 y=1+2h y=-3-2t e y=4-t e |Z==X z=2-h z=4+t z=2+2t
Se existe um ponto I(x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as equações de r₁ e r₂, ou seja, o ponto I é solução única do sistema for- mado pelas equações das duas retas.
1. Igualando as expressões em x, y e z nas equações de r₁ e r₂, tem-se
3+h=5+3t 1+2h=-3-2t ou |2-h=4+t h-3t=2
2h+2t=-4
-h-t=2 obtém-se sistema cuja solução é h = t = −1. Substituindo h = -1 nas equações de r₁, x=3+(-1)=2 y=1+2(-1)=-1 z=2-(-1)=3
Portanto, o ponto de interseção é I(2, −1, 3).
O mesmo ponto seria obtido substituindo-se t = −1 nas equações de г.
2. Substituindo x, y e z das equações de r₂ nas equações de r₁, resulta o sistema
■ Vetores e geometria analítica
[4-t=-2t-3 2+2t=t
Da primeira equação obtemos t = −7, e da segunda, t = −2. Como o sistema não tem solução, não existe ponto de interseção, ou seja, as retas r₁ e r₂ não são concorrentes.
3. Observando que v₁ =(1,−3,2) e v₂ =(2,-6,4) são vetores diretores de r₁ e r respectivamente, e que v₂ =2√₁, conclui-se que as retas são paralelas e não coincidentes (basta verificar que o ponto A, (0,2,-5) Єг е A₁ ≤r). Fica a car- go do leitor buscar a solução do sistema constituído pelas equações de r₁ e r₂ para concluir a não existência do ponto de interseção.
Observações e a) Se duas retas, como no exemplo (1), se interceptam, elas são coplanares, ou seja, estão situadas no mesmo plano (Figura 5.11). Também são coplanares as retas paralelas do exemplo (3) (Figura 5.12).
Figura 5.11 b) Se duas retas não são coplanares, elas são consideradas reversas. É o caso do exemplo (2) (Figura 5.13), pois as retas, além de não concorrentes, são não paralelas, e, portanto, não coplanares.
Figura 5.12
Figura 5.13
1. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -3, 4) e B(1, −1, 2) e verificar se os pontos C(-,-4,5) e D(−1, 3, 4) pertencem a r.
2. Dada a reta r:(x, y, z) = (−1, 2, 3) + t(2, −3, 0), escrever equações paramétricas de r.
3. Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, 3) e é paralela à reta r: (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1)
4. Dada a reta x=2+t determinar o ponto de r tal que r: y=3-t z=-4+2t a ordenada seja 6;
a abscissa seja igual à ordenada;
a cota seja o quádruplo da abscissa.
5. A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta x=1+3t s: y=2-4t z=3-t
Se P(m, n, -5) = r, determinar me n.
6. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
a) A(1,-1, 2) e B(2, 1, 0)
b) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2)
7. Com base na Figura 5.14, escrever equações paramétricas da reta por a) A e B d) Be C b) CeD e) De E c) Ae D f) Be D c)
A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2)
A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0)
8. O ponto P(m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, −1). Determinar P.
9. Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, −1, 4). Escrever equa- ções paramétricas da reta que passa pelo ponto médio de lado AB e pelo vértice oposto C.
10. Os pontos M₁ (2,-1,3), M₂(1,-3,0) e M3 (2,1,-5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M₁.
11. Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1, 1, 3), B(2, 1, 4) e C(3, −1, −1). Obter equações paramétricas dos lados AB, AC e BC, e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice B.
12. Verificar se os pontos P₁(5,-5,6) e P₂(4,-1,12) pertencem à reta x-3 y+1 −1 z-2 r:
y+3 Ꮓ x-1
13. Determinar o ponto da reta r:
14. Obter o ponto de abscissa 1 da reta r: diretor de r que tenha ordenada 2.
15. Obter equações reduzidas na variável x, da reta a) que passa por A(4, 0, -3) e tem a direção de v=(2,4,5);
b) pelos pontos A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1);
c) pelos pontos A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3);
x=2-t d) dada por y=3t z=4t-5.
16. Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1, 6, 3) e B(2, 2, 1).
b) abscissa igual ao dobro da cota;
c) ordenada igual ao triplo da cota.
determinar o ponto de
18. Representar graficamente as retas de equações x=1-t y=4 y=-1+2t a)
■ Capítulo 5 A reta x=3 g)
y=-4 x=-3 h)
z=3
19. Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por a) A(3, -2, 4) e é paralela ao eixo x;
b) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz;
c) A(-2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos x e y;
d) A(4, -1, 3) e tem a direção de 31 -2j;
e) A(3,-1, 3) e B(3, 3, 4).
20. Escrever as equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4, -5, 3) e são, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz.
21. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
x=-2-t y+6 z-1 a)
y=t e 2 11 z=3-2t y= -2x+3 z=x-2 z+1 e 12y= ; x=4 b)
-1 x=1+√2t x=3 c)
y=t e 12:
y=2 z=5-3t x=1 y z+1 x-4 d)
e ½ y z-2
22. Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas y=nx+5 x-2 y Ꮓ a)
23. Sabendo que as retas r₁ er, são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:
reta por A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m)
z=x-1
24. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às retas r₁ e r₂, nos casos:
(y=x-3 z=-2x+3 x=3 a) A(3,2,-1), 12:
e y=-1 x=3t y z-3
X y=-t+1 z=2 b) A(0,0,0), e 2 1 2
A é a interseção de r₁ e r₂ c)
25. Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r, e r₂:
y=2x-3 y=-3x+7 a)
e 12 z=-x+5 z=x+1 x=-1+t b) : rx-3y+1_2-2 e 2y=4-t
z=-8+3t y=2x-3 z=-x-10 y= y-4 z+1 c)
26. Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:
■ Capítulo 5 A reta encontrar equações reduzidas na variável x da reta que passa por A(0, 1, 0) e pelo ponto de interseção de r₁ com r₂.
x=2+t
28. Determinar na reta r: y=t z=-1+2t e B(1,0,-1).
29. Determinar os pontos da reta r:x=2+t, y=1+2t, z=3+2t que a) distam 6 unidades do ponto A(2, 1, 3);
b) distam 2 unidades do ponto B(1, -1, 3).
um ponto equidistante dos pontos A(2, -1, -2)
30. Escrever equações reduzidas da reta que passa por A(1, 3, 5) e intercepta o eixo z perpendicularmente.
31. Escrever equações reduzidas na variável z de cada uma das retas que satisfazem às condições dadas:
a) passa por A(4, -2, 2) e é paralela à reta r: x = 2y = = -2z;
b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas
-2 e 32. Determinar o ângulo que a reta que passa por A(3, -1, 4) e B(1, 3, 2) forma com a sua projeção sobre o plano xy.
33. Apresentar equações paramétricas da projeção da reta r:{ y=5x-7 z=-2x+6 sobre o plano xy.
34. Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta x=1+t r: y 2-t z=4+2t a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular
b) calcular a distância de A a r.
c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r.
1. (x, y, z) = (2, −3, 4) + t(−1, 2, −2), CЄre D ⁄ r.
y = 2-3t z = 3
2. x 12t y = 2 z = 3 + t
5. m 13, n = -15 x = 1 + t y = -1 + 2t
6. a)
z=2-2t x = 3 b)
y = 13t z = 4 - 2t c) x = 1 y = 2 + t z=3 t z = 0 (eixo Oy)
d) x = 0 y=t z = 4
9. x 2 t z = 4 + 2t y = −1 + 4t
10. x 2 + t z = 3-5t com t = [0,1]
11. AB: x = −1 + 3t y = 1 z = 3 + t y = 1 - 2t com t = [0,1]
AC: x1 + 4t z = 3 - 4t
z = 4-5t
BC: x = 2 + t y = 1 + t z = 4 + 3t r: x = 2 + t
14. (1, (1,131,-3) e V = (2,2,3)
y=2x-8 e z = -2x-13 c) y=x+lez=3
x 5 y= --- ez = -2x+5 22 d) y=-3x+6ez = -4x+3 b)
z=3 z=3 y=-5 b) 30° c) 30°
21. a) 60° d) 0=arccos(-)=48°11′ b) ±√√15
23. a) m=- b) m1 ou m =
y= 2-t
24. a) x = 3 + t z = -1 b) x = 2t c) x = 2 + t y = 6t z=-5t y = -1 - 5t z = 3t
29. a) (4, 5, 7) e (0, -3, -1)
30. y=3x, z = 5 x=-2z+8 x=5z
33. x = 1+t y = −2+ 5t z = 0 x=3-2h b) √20
Seja A(x,y,z) um ponto pertencente ao plano л eñ=(a,b,c), ñ0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (Figura 6.1).
Como ñiл, ñ é ortogonal a todo vetor represen- tado em л. Então, um ponto P(x, y, z) pertence a л sе, е somente se, o vetor AP é ortogonal a ñ, ou seja, ñ (P-A)=0 ou
(a,b,c) (x-x₁,y-y₁,z-z₁)=0 ou a(x-x)+b(y-y₁)+c(z-z₁)=0 ou, ainda, ax+by+cz-ax,-by₁ - cz₁ =0
Fazendo-ax₁-by₁-cz₁ =d, obtemos ax+by+cz+d=0
Esta é a equação geral do plano πл.
Observações n
A Figura 6.1
a) Assim como ñ=(a,b,c) é um vetor normal a л, qualquer vetor kñ, k±0, é também vetor normal ao plano.
b) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação (1) representam as componentes de um vetor normal ao plano.
Por exemplo, se um plano л é dado por
um de seus vetores normais é ñ=(3,2,-1).
π 3x+2yz+1=0 c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada.
Assim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x = 4 e y = −2, teremos:
12-4 z+1=0 z=9 e, portanto, o ponto A(4,-2,9) pertence a este plano.
1. Obter uma equação geral do plano л que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem ñ (3,2,-4) como um vetor normal.
Solução
Como ñ é normal a л, sua equação é do tipo
3x+2y4z+d=0 e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, ou seja, Observação
Logo, uma equação geral do plano л é
Esse exemplo, como outro qualquer que envolva determinação de equação do plano, pode ser resolvido de modo análogo à dedução da equação, pois um vetor nor- mal ao plano é suficiente para caracterizar sua direção. Em nosso estudo utilizaremos sempre a equação geral em vez de apelar para a sua dedução. O leitor poderá optar entre uma ou outra maneira.
2. Escrever uma equação geral do plano л que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano
Solução π₁: 3x-4y-2z+5=0.
■ Capítulo 6
É imediato que “um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este".
Então, como л // л₁, o vetor n₁ =(3,-4,-2) normal a л, é também normal a ë. Logo, uma equação de л é da forma
3x-4y-2z+d=0
Tendo em vista que А Є л, suas coordenadas devem verificar a equação: 3(2) 4(1) 2(3) + d=0
3. A reta e d = 4; portanto, uma equação de л é
3x-4y-2z+4=0 x=5+3t r: y=-4+2t |z=1+t é ortogonal ao plano л que passa pelo ponto A(2, 1, −2). Determinar uma equação geral de π e representá-la graficamente.
Como rл, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo =(3,2,1) um desses vetores, uma equação de л é da forma
Como A E л, deve-se ter e d = −6; portanto, uma equação de л é
Para a representação gráfica do plano, obteremos três de seus pontos. Se nessa equação fizermos
0 e z=0, vem x=2 y= vem y = 3
O e z = 0, x =
Obtemos, assim, os pontos A₁ (2,0,0), A₂ (0,3,0) e A3 (0,0,6) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. A Fi- gura 6.2 mostra o referido plano.
Observação
Se um plano
Figura 6.2 intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r) com p q⋅r±0, então, л admite a equação y Z
P q r denominada equação segmentária do plano л.
Para o caso do problema anterior, em que os pontos são A₁ (2,0,0), A₂ (0,3,0) e A, (0,0,6), a equação segmentária do plano é y Z +=+==1 2 3 6
que é equivalente à equação 3x + 2y + z = 6 = 0, ao eliminarmos os denominadores e ordenarmos os termos.
Reciprocamente, se escrevermos esta última equação como 3x + 2y + z = 6 e divi- dirmos ambos os membros por 6, voltaremos a ter a equação segmentária (2).
Seja A(x,y,z) um ponto pertencente a um plano л e ū=(a₁,b₁,c₁) e v=(a₂, b₂,c₂) dois vetores paralelos a л (Figura 6.3), e ū e v não paralelos.
Para todo ponto P do plano, os vetores AP, ū e v são coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a л se, e somente se, existirem números reais het tais que ou ou, em coordenadas:
Essa equação é denominada equação vetorial do plano л. Os vetores ū e v são vetores diretores de л.
Da equação (3) obtém-se que, pela condição de igualdade, vem
(x,y,z)=(x,+a,h+a₁t, y₁+bh+b₂t, z₁+ch+c2t)
x=x+ah+at y=y+bh+b₂t
Essas equações são chamadas equações paramétricas de л, e h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros.
1. Seja o plano л que passa pelo ponto A(2, 2, -1) e é paralelo aos vetores ū = (2,-3,1) e v=(-1,5,-3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de л.
Solução a) Equação vetorial: (x, y, z) = (2, 2, −1) + h(2, −3, 1) + t(−1, 5, -3) b) Equações paramétricas:
Se quisermos algum ponto desse plano, basta arbitrar valores reais para h e t. Por exemplo, para h = 0 e t = 1, vem c) Equação geral
Como o vetor x=1, y= 7e z=-4 e, portanto, B(1, 7, −4) é um ponto do plano л.
é simultaneamente ortogonal a û e v, ele é um vetor ñ normal ao plano л (Fi- gura 6.4). Então, uma equação geral de л é da forma
4(2)+5(2)+7(−1) + d = 0 ed=-11; portanto, 4x+5y+7z - 11 = 0 é uma equação geral de л.
Observação n = u v
A Figura 6.4
Existe outra maneira de obter uma equação geral de л: como P(x, y, z) representa um ponto qualquer do plano, os vetores AP, ū e v são coplanares (Figura 6.5) e, portanto, o produto misto deles é nulo, ou seja,
Assim, obtém-se uma equação geral do plano desenvolvendo o 1° membro da igualdade x-2y-2 z+1
que é equivalente à equação 4x+5y + 7z - 11 = 0 π
Figura 6.5
■ Capítulo 6
2. Dado o plano л determinado pelos pontos A(1, −1, 2), B(2, 1, −3) e C(−1, −2, 6), obter um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de л.
Sabe-se que existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta. Os vetores não paralelos u=AB=(1,2,-5) e v=AC=(-2,-1,4)
são vetores diretores de л (Figura 6.6) e, portanto, as equações (utilizando o ponto A)
Como no problema anterior, sendo u e v vetores diretores de л, o vetor j
n=uxv=1
-2 -1 4 é um vetor normal a л (Figura 6.6). Então, uma equação geral é da forma
3x+6y+3z+d=0
Como A л (poderíamos tomar B ou C):
Vetores e geometria analítica e d = -3; portanto, uma equação geral de л é
3x+6y+3z3=0 ou, multiplicando ambos os membros da equação por x+2y+z-1=0
3. Dado o plano л de equação 2x-y-z+4=0, determinar um sistema de equações paramétricas de л.
Basta tomar três pontos A, B e C não alinhados de л e proceder como no pro- blema anterior.
Fazendo x=y=0, vem z = 4. A(0, 0, 4) Є π x=1e y = 0, vem z = 6 .. B(1, 0, 6) Є л x = 0 e y = 1, vem z = 3 .. C(0, 1, 3) ≤ л
Como AB=(1,0,2) e AC=(0,1,-1) são vetores diretores de л, as equações x=h x=0+1h+0-t y=0+0+h+1-t y=t ou
|z=4+2h-1.t z=4+2h-t são equações paramétricas de л.
Observações a) Como é possível encontrar infinitos ternos A, B e C de pontos não alinhados em л, existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano. b) É importante que os vetores diretores sejam não paralelos. Se ocorrer AB || AC, basta trocar um dos pontos de modo a garantir AB e AC não paralelos.
c) Outra maneira de obter equações paramétricas, a partir da equação geral, é subs- tituir duas das variáveis pelos parâmetros het e, posteriormente, isolar a terceira variável em função destes. Por exemplo, se na equação geral 2x - y − z + 4 = 0, 1 fizermos y=hez = t, teremos 2x - ht+4= 0. Isolando x, resulta x=-2+h+=t. 2 2
y=h z=t são equações paramétricas do plano.
De modo análogo obteríamos outros sistemas:
x=h x=h y=4+2h-t y=t e z=4+2h-t z=t
4. Determinar uma equação geral do plano л que contém as retas x=2t 12y=2t+3 y=x+1
1 : 3 e z=-3x-2 z=-6t+1
☐ Capítulo 6
Observemos que as direções das retas são dadas pelos vetores V₁ =(1,1,-3) e V2=(2,2,-6). Como V₂ =2₁, as retas г е ½ são paralelas e os vetores V₁ e V₂ não são vetores diretores do plano procurado. Tendo em vista que os pontos A₁ (0,1,-2) Єr e A₂(0,3,1) Єr também pertencem a л, o vetor A₁A₁ = (0,2,3) está representado neste plano. Então, V₁e A₁A2 (ou V₂ e A₁A2) são vetores diretores de e um de seus vetores normais (Figura 6.7) será i j k ñ=v₁×A₁A₂ = 1 1-3=(9,-3,2)
Portanto, uma equação geral de л é da forma
9x-3y+2z+d=0 е, como A, ε л, tem-se
9(0)3(1) + 2(-2)+d=0 e d = 7; logo, л: 9x-3y+2z+7=0 n r₁
Figura 6.7
Dados os pontos A, B e C não em li- nha reta, os vetores AB e AC determinam o paralelogramo (Figura 6.8) cuja equação vetorial é
■ Vetores e geometria analítica
P=A+h(AB)+t(AC)
PA+h(BA) + t(CA) com h, t = [0, 1]
em que P representa um ponto qualquer deste paralelogramo.
Figura 6.8 parate he[0,1], obtém-se o segmento MN, onde Me N são pontos médios de AC e BD, respectivamente, e assim por diante para het entre 0 e 1, obtêm-se todos os pontos do paralelogramo.
Caso um ou mais coeficientes da equação geral do plano ax + by + cz + d = 0 seja nulo, o plano ocupará uma posição particular em relação aos eixos ou planos coordenados.
Analisaremos os diversos casos a partir de uma equação completa ax+by+cz+d=0. Por exemplo
3x+4y+2z - 12 = 0
em que a = 3, b = 4, c = 2 ed = -12. O plano que essa equação representa intercepta os três eixos coordenados em (4, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 6) (Figura 6.9).
1º) Se d = 0, a equação (4) seria
3x+4y+2z = 0
e representaria um plano paralelo ao da Figura 6.9, porém, passando pela origem O(0, 0, 0), pois as coordenadas deste ponto verificam a equação:
Figura 6.9
2º) Se a = 0, a equação (4) seria
4y+2z - 12 = 0 (ou: 0x + 4y + 2z − 12 = 0)
e representaria um plano paralelo ao eixo x, inter- ceptando os outros dois eixos ainda em (0, 3, 0) e (0, 0, 6) (Figura 6.10).
Observemos, ainda, que nenhum ponto do tipo (x, 0, 0) satisfaz a equação (5), pois
0(x)+4(0) + 2(0) 120 é falso.
Ora, se nenhum ponto do eixo dos x verifica a equação (5), significa que o plano não tem ponto em comum com esse eixo e, portanto, só pode ser paralelo a ele.
Dessa análise ainda se conclui que o plano é paralelo ao eixo da variável ausente na equação. Se em (5) d = 0, a equação resultante
y Figura 6.10 representa um plano pela origem, e, portanto, contém o eixo Ox (Figura 6.11).
Comentários idênticos faríamos para os casos b = 0 ou c = 0, quando a equação (4) seria
3x+2z 120 (Figura 6.12)
30) Se a = b = 0, a equação (4) seria ou, simplesmente, Z y y Figura 6.12
Figura 6.13
2z-120 (ou: 0x + Oy + 2z - 12 = 0)
z=6
Observemos que todos os pontos do tipo (x, y, 6) verificam a equação (6). Ora, se todos os pontos deste plano têm cota 6, significa que todos estão 6 unidades afastados do plano xOy. Portanto, trata-se de um plano paralelo a xOy e que intercepta o eixo Oz perpendicularmente em (0, 0, 6).
Assim, concluímos que toda equação de forma z=k representa plano paralelo ao plano xOy e intercepta o eixo Oz em (0, 0, k).
Na Figura 6.14 estão representados os planos de equação z = 6 e z = 0 (plano xOy).
Raciocínio análogo leva-nos a concluir que y = k representa plano paralelo a xOz e x = k representa plano paralelo a yOz.
Na Figura 6.15 estão representados os planos de equação y = 3 e y = 0 (plano xOz), e na Figura 6.16 os planos de equação x = 4 e x = 0 (plano yOz).
Ꮓ x=0 x= 4 y Figura 6.16
■ Capítulo 6
O plano
Sejam os planos л₁ е л com vetores normais ñ₁ e ñ, respectivamente (Figura 6.17).
Chama-se ângulo de dois planos л₁ е лo menor ângulo que um vetor normal a forma com um vetor normal a л2. Sendo 0 esse ângulo, tem-se
Como cos 00 quando 0≤0≤, o numerador de (7) deve ser positivo, razão pela qual tomou-se o produto escalar em módulo, pois este poderá ser negativo quando o ângulo entre os vetores for o suplementar de 0.
Solução π2: x+y-4=0 e Sendo n₁ =(2,1,-1) e ñ₂ = (1,1,0) vetores normais a л₁ е л₂, de acordo com (7) tem-se cose=
Consideremos dois planos л₁ е л₁, e sejam ñ₁ е ñ vetores normais a л е л respectivamente. Pela Figura 6.18 conclui-se que:
Exemplo
Verificar se л₁ е л são planos perpendiculares:
a) л₁: 3x+y4z + 2 = 0 e π₁: 2x+6y+3z = 0 x=2-h+2t
Sendo n₁ =(3,1,-4) e ñ₂ =(2,6,3) vetores normais a л₁е л₂, respectivamente, e como ñ₁ñ₂ =3(2)+1(6)=4(3)=0, conclui-se que л₁ е л₂ são perpendiculares.
O vetor n₁ = (1,1,0) é um vetor normal a л₁. Teremos de encontrar um vetor ñ₂ normal a л. Como ū=(-1,1,0) e v=(2,1,1) são vetores diretores de podemos considerar b)
Tendo em vista que ñ₁ ·ñ₂ =(1,1,0)·(1,1,−3)=1(1)+1(1)+0(-3)=20 os planos ле л não são perpendiculares.
Seja uma reta r com a direção do vetor v e um plano л, sendo ñ um vetor normal a л. Pelas figuras conclui-se que:
■ Vetores e geometria analítica r||л↔vlñ↔v·ñ=0_Figura 6.19 (a)
A reta ry=-3t é paralela ao plano л: 5x + 2y - 4z - 1 = 0, pois o vetor diretor z=t
=(2,-3,1) de r é ortogonal ao vetor normal ñ=(5,2,-4) de л, ou seja, vn=(2,−3,1).(5,2,–4)=2(5)–3(2)+1(−4)=0
Essa mesma reta, por sua vez, é perpendicular ao plano л: 4x -
6y+2z5 = 0, pois o vetor diretor v = (2,-3,1) de r é paralelo ao vetor normal ñ₁ =(4,-6,2) de л₁, ou seja,
ou, de modo equivalente, v=-n₁
Uma reta r está contida no plano л (Fi- gura 6.20) se I) dois pontos A e B der forem também de л ou
II) vñ=0, em que v é um vetor diretor de r e ñ um vetor normal a л е A Є л, sendo A = r.
Determinar os valores de men para que a reta x=3+t r: y=-1-t z=-2-t esteja contida no plano л: 2x + my + nz - 5 = 0.
Utilizando o primeiro critério exposto anteriormente, sejam A(3, −1, −2) e B(4, -2, -3) os pontos de r. Como rπ, as coordenadas de A e B devem satis- fazer a equação de л, ou seja, 2(3)+m(-1)+n(-2)-5=0 2(4)+m(-2)+n(-3)-5=0
-m-2n+1=0 ou
-2m-3n+3=0 de onde m = 3 e n = -1.
2x+y+2z-7=0 e A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Para tanto, entre os vários procedimentos, apresentaremos dois.
1) Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x,y,z) = r devem satisfazer, simultaneamente, as equações dos dois planos. Logo, os pontos de r constituem a solução do sistema:
(5x-y+z-5=0 r:
(x+y+2z-7=0
O sistema tem infinitas soluções (são os infinitos pontos de r) e, em termos de x, sua solução é
■ Vetores e geometria analítica
Sy=3x-1 r:
z=-2x+4 que são equações reduzidas de r.
Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor.
Por exemplo, determinar o ponto A = r que tem abscissa zero. Então, fazendo x = 0 nas equações do sistema (8), resulta o sistema
-y+z-5=0 y+2z-7=0 cuja solução é y = −1 e z = 4. Logo, A(0,-1,4).
Como um vetor diretor v de r é simultaneamente ortogonal a ñ₁ = (5,-1,1) e n₂ =(1,1,2), normais aos planos л, е π₁, respectivamente (Figura 6.21), o vetor v pode ser dado por
ou também
Escrevendo equações paramétricas de r, temos x=t r: y=-1+3t z=4-2t
Figura 6.21
INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO
1. Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano л, em que Solução x=-1+2t r: y=5+3t e л:2x-у+3z-4=0 z=3-t
Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (−1 + 2t, 5 + 3t, 3 − t). Se um deles é comum com o plano л, suas coordenadas verificam a equação de 2(-1+2t) (5 + 3t) + 3(3 − t) −4=0 e daí resulta t = −1.
Substituindo esse valor nas equações de r obtém-se y=5+3(-1)=2 x=-1+2(-1) = -3 z=3(-1)=4
Logo, a interseção de re л é o ponto (-3, 2, 4).
2. Determinar a interseção da reta x-2y-2z+2=0 (2x+y=z=0 com o plano л: x+3y+z-2=0 r:
Se existir um ponto I(x, y, z) = r que também pertence a π, suas coordenadas devem verificar as equações dos três planos dados. Logo, I será a solução do sistema
[x-2y-2z+2=0 2x+y-z=0
(x+3y+z-2=0
Resolvendo o sistema, obtém-se x = 2, y = -1 ez = 3. Logo, I(2, −1, 3) é a inter- seção de re л, ou seja, é a interseção dos três planos.
Os Problemas 1 a 48 estão de acordo com a ordem do texto, e os demais se constituem ótimo reforço.
л: 3x+y-z-4=0 a) o ponto de л que tem abscissa 1 e ordenada 3;
o ponto de л que tem abscissa 0 e cota 2;
o valor de k para que o ponto P(k, 2, k − 1) pertença a î;
o ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
o valor de k para que o plano л₁: kx - 4y + 4z - 7 = 0 seja paralelo a л.
Nos Problemas 2 a 4, determinar uma equação geral do plano
2. Paralelo ao plano л: 2x-3y-z+5=0 e que contenha o ponto A(4,−2,1).
3. Perpendicular à reta e que contenha o ponto A(-1, 2, 3).
x=2+2t r: y=1-3t z=4t
4. Que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(5,-1,4) e B(-1,-7,1) e é perpendicular a ele.
5. Dada a equação geral do plano л: 3x - 2y - z - 6 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de л.
6. Sendo x=1+h-2t y=1-t z=4+2h-2t equações paramétricas de um plano л, obter uma equação geral.
Nos Problemas 7 a 11, escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:
7. A(1, 0, 2), B(-1, 2, -1) e C(1, 1, −1).
8. A(0, 0, 0), B(1, 1, 5) e C(−1, 1, 1).
9. A(2, 0, -1), B(-2, 6, 3) e C(0, 3, 4).
10. A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1).
11. A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3).
12. Determinar o valor de a para que os pontos A(α, 1, 9), B(2, 3, 4), C(-4, -1, 6) e D(0, 2, 4) sejam coplanares.
Nos Problemas 13 a 18, determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos:
13. O plano passa por A(2, 0, −2) e é paralelo aos vetores ü=i−j+k e v=2i+3j.
14. O plano passa pelos pontos A(-3, 1, −2) e B(−1, 2, 1) e é paralelo à reta
X Z r:-= 2
; y=4
15. O plano contém os pontos A(1, −2, 2) e B(-3, 1, −2) e é perpendicular ao plano
T:2x+y−z+8=0
16. O plano contém os pontos A(2, 1, 2) e B(1, −1, 4) e é perpendicular ao plano xOy. 17. O plano contém a reta x=2+t r: y=1-t z=3+2t e é perpendicular ao plano л₁: 2x + 2y - 3z = 0.
18. O plano contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos л₁: 2x + y − 3z = 0 е л2: xу2z-3 = 0.
Nos Problemas 19 a 22, os pares de retas r₁ e r₂ são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém.
Nos Problemas 23 e 24, determinar uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
24. A(1, 1, 2) e o eixo dos z
Nos Problemas 25 a 30, obter uma equação geral do plano:
25. paralelo ao eixo z e que contenha os pontos A(0, 3, 4) e B(2, 0, −2). 26. paralelo ao eixo x e que contenha os pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1). 27. paralelo ao eixo y e que contenha os pontos A(2, 3, 0) e B(0, 4, 1). 28. paralelo ao plano xOy e que contenha o ponto A(5, -2, 3). 29. perpendicular ao eixo y e que contenha o ponto A(3, 4, -1).
30. que contenha o ponto A(1, -2, 1) e o eixo x.
31. Representar graficamente os planos de equações:
e) 3y+4z12 = 0 a) 3x+4y+2z12 = 0 b) 6x+4y3z - 12 = 0 c) x+y 3 = 0 f)
2z 50 g) y+4=0 h) 2x-y=0 d) 2x + 3y 6 = 0
32. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
а) л₁ x 2у+z-6=0 π₂: 2x y z +3=0 e b) лxy+4=0 л2: 2x y z 0 e c) л₁ x+2y6=0 π₂: y = 0 e x=2+t x=1+h-t
T₂y=-2h d)
T₁y=h+2t e z=h+t z=h
33. Determinar o valor de m para que seja de 30° o ângulo entre os planos
T₁: x+my+2z-7=0 e π2: 4x+5y+3z+2=0
34. Determinar m de modo que os planos л, е л, sejam perpendiculares:
π₁ mx + y 3z-1=0 e л2: 2x 3my+4z + 1 = 0
35. Dados a reta r e o plano л, determinar o valor de m para que se tenha г//л е гл, nos casos:
r: x=-3+t y = -1 + 2t a)
z = 4t e r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, m, −1)
e 36. Verificar se a reta r está contida no plano ë:
[y=4x+1 л: 2x+y-3z-4=0 a) r:
e z=2x-1 x=h+t y+2 2 r:x-2= π: y=-1+2h-3t b)
-=z+3 e z=-3+h-t л: mx-y-2z - 3 = 0 π: 3x + 2y + mz = 0
Nos Problemas 37 a 39, calcular os valores de m en para que a reta r esteja contida no plano π:
x=-2+t
37. r: y 3-2t e л: mx+2y3z + n = 0 z=2t y=2x-1
38. r:
e л: 5x ny+z+2=0 z=-x+m x=1+3t
Nos Problemas 40 a 42, estabelecer equações reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos:
40. π₁: 3xy + 2z-1=0
41. л: 3x-2y-z-1=0
42. ₁xy z+2=0 e e e π2: x+2y3z-4=0 π2: x+2y-z-7=0 π2x+y+2z-1 = 0
Nos Problemas 43 e 44, encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos:
43. π₁: 3x+y-3z - 5 = 0
44. л₁: 2x+y-4=0
45. r: x=3t, y = 1 - 2t, z = -t π2: xyz-3=0 e e Nos Problemas 45 a 47, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π.
л: 2x + 3y-2z - 7 = 0 e
46. r:
л: 2xу+3z - 9 = 0 e z=-x+1 x=2+h+2t x=4+k л: y=-3-h-t z=1+3h-3t
47. r: y=3+2k e z=-2-3k
48. Sejam a reta r e o plano л dado por Sy=2x-3 *(z = −x+2 e л: 2x+4y-z-4 = 0 r:
Determinar:
o ponto de interseção de r com o plano xOz;
o ponto de interseção de r com л;
c) equações da reta interseção de л com o plano xOy.
49. Dado o ponto P(5, 2, 3) e o plano л: 2x + y + z − 3 = 0, determinar:
a) equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a ï;
a projeção ortogonal de P sobre o plano л;
o ponto P' simétrico de P em relação a л;
a distância de P ao plano л.
50. Determinar equações reduzidas na variável x da reta que passa pelo ponto A(3, −2, 4)
e é perpendicular ao plano л: x-3y+ 2z - 5 = 0.
51. Obter equações paramétricas das retas nos casos em que a reta passa por A(-1, 0, 2) e é paralela a cada um dos planos л₁: 2x + y + z + 1 = 0 e π₂: x-3y - z -5 = 0;
a reta passa pela origem, é ortogonal à reta r: 2x = y = 3z e paralela ao plano л: x y z + 2 = 0.
52. Escrever uma equação geral do plano que passa por A(-1, 2, -1) e é paralelo a cada uma das retas r₁: y = x, z = 1 - 3x e r₂: 2x = y = 3z.
53. Encontrar equações paramétricas da reta r que passa por A, é paralela ao plano л е concorrente com a reta s, nos casos:
a) A(2, 1, −4), л: x − y + 3z - 5=0, b) A(3, -2, -4), л: 3x - 2y - 3z + 5 = 0, s: x = 2 + t, Determinar ainda o ponto de interseção entre res.
s: x13t, y = 3 - t, z=-2-2t y=-42t, z = 1 + 3t
54. Dada a reta r: x = 3 + t, y = 1 - 2t e z = −1 + 2t, determinar equações reduzidas das projeções de r sobre os planos xOy e xOz.
55. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A(3, 6, 4), intercepta o eixo Oz e é paralela ao plano л: x-3y+ 5z - 6 = 0.
Nos problemas 56 a 62 apresentar uma equação geral dos planos em que ☐ Capítulo 6
56. O plano passa por A(-1, 2, −4) e é perpendicular aos planos л₁ : x + z = 2 e π₂y-z=0.
57. O plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos de abscissa, ordenada e cota iguais a -3, 6 e -5, respectivamente.
58. O plano passa por A(1,-3,4) e intercepta os três semi-eixos de mesmo sinal a igual distância à origem do sistema.
59. O plano paralelo ao eixo z que intercepta o eixo x em -3 e o y em 4.
60. O plano paralelo ao plano xOz e que intercepta o eixo y em -7.
61. O plano passa pela origem e é paralelo às retas r₁: y = −x, z = 2 e r2: (x, y, z) = (2, -1, 4) + t(1, 3, -3).
62. O plano passa por A(-1, 2, 5) e é perpendicular à interseção dos planos л₁: 2x y + 3z- 4 = 0 е л₂: x + 2y - 4z + 1 = 0.
63. Estabelecer equações dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos xOz e yOz.
64. Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano л:
r: x=22t, y = -1 t, z = 3 ел: 2mx-ny - z+4=0 r: (x, y, z) = t(2, m, n) + (n, 2, 0) е л : x − 3у + z = 1
65. Calcular k de modo que a reta determinada por A(1, -1, 0) e B(k, 1, 2) seja paralela ao plano л: x = 1 + 3h, y = 1 + 2h+t, z = 3 + 3t.
Nos Problemas 66 e 67, obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
x+2y+z-1=0 (2x+y-z+7=0
66. A(3, -2, -1) e r:
67. A(1, 2, 1) e a reta interseção do plano x - 2y + z- 3 = 0 com o plano yOz.
68. Mostrar que as retas
3x-y-z=0 8x-2y-3z+1=0 x-3y+z+3=0 3x-y-z+5=0
e são paralelas e encontrar uma equação geral do plano determinado por essas retas. 69. Determinar o ponto P de interseção dos planos 2x - y + z-8=0,x+2y-2z+6=0 e 3x - z - 3 = 0 e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta r: x = y, z = 2y.
70. Dadas as retas r₁: y = -2x, z = x e r₂: x = 2 t, y = −1 +t, z = 4 - 2t, determinar:
a) o ponto P' simétrico de P(1, 0, 5) em relação à reta r₁;
o ponto O' simétrico de O(0, 0, 0) em relação à reta r₂.
71. Encontrar o ponto N, projeção ortogonal do ponto P(3, −1, −4) no plano de- terminado pelos pontos A(2, -2, 3), B(4, -3, -2) e C(0, -4, 5). Qual é o ponto simétrico de P em relação a esse plano?
72. O plano л: 3x + 2y + 4z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular:
■ Vetores e geometria analítica a)
a área do triângulo ABC;
a altura desse triângulo relativa à base que está no plano xOz;
o volume do tetraedro limitado pelo plano л e pelos planos coordenados.
5. Um deles é: x = t, y = h, z = -6 + 3h - 2t. Existem infinitos.
15. x 12y 10z - 5 = 0
23. x 9y5z + 33 = 0
34. a) m = -12 m = 2 b)
35. a)
m 10 e m =-- m = -6 e não existe valor para m b)
b) sim
36. a) sim
37. m 10 e n = 14
49. a) x=5+2t, y = 2+t, z=3+t d) 2√6 b) (1, 0, 1)
50. y=-3x+7, z=2x-2
51. a) x=2t-1, y = 3t, z=-7t + 2 b) x=4t, y = -5t, z = 9t
52. 20x1ly + 3z + 45 = 0
x=2+7t, y = 1 + t, z = −4 − 2t a)
b) x=32t, y = −2 + 3t, z = -4 - 4t
e 54. a) y=-2x+7,z=0 ez=2x-7,y=0
55. x=3+t, y = 6 + 2t, z = 4+t
56. x-y-z-1 = 0
57. 10x5y+ 6z + 30 = 0
66. 2x + 3y+ z + 1 = 0
67. 6x-2y+z - 3 = 0
68. 4x+2y3z + 5 = 0
69. P(2, 1, 3) e 5x + y − 3z = 0
70. a) P'(1,-4,-3)
71. N(5, -2, -3) e (7, -3, -2)
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados os pontos P₁(x,,Y,Z₁) e P2(X2,Y,Z), a distância d entre eles é |P,P2|.
Como tem-se
Exemplo
Calcular a distância entre P (2,-1,3) e P2(1,1,5).
Solução d(P₁, P₂) = √(x − x₁ )² + (y2 − y₁ )² + (z2 − z₁ )²
Como PPP-P₁ = (1,1,5)-(2,−1,3)=(-1,2,2), de acordo com (1), tem-se d(P,,P₂)=√(−1)² +2² +2² = √9=3 u.c. (unidades de comprimento)
Dado um ponto P do espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(P, r) de P a r. Consideremos na reta r um ponto A e um vetor diretor v. Os vetores ve AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(P, r) (Figura 7.1).
A área A do paralelogramo é dada por a) A=(base) (altura) =|v|·d ou também por b) A=AP| (Capítulo 3)
Figura 7.1
Comparando a) eb), vem
Exemplo
Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta
Solução d=d(P,r)= x=-1+2t r: y=2-t z=3-2t
A reta r passa pelo ponto A(−1, 2, 3) e tem direção do vetor v=(2,-1,-2). Seja ainda o vetor AP=P-A=(3,-1, 1). Calculemos k vxAP=|2
De acordo com (2), temos
||(−3,-8,1)||_√(-3)² +(−8)² +1² _ √74¸ ||(2,-1,-2)| √√2²+(-1)²+(-2)² 3 d(P,r)=
Observação
Outra forma de calcular essa distância consiste em:
encontrar uma equação geral do pla- no л que passa por P e é perpendi- cular à reta r (um vetor normal a π é um vetor diretor de r); determinar o ponto I de interseção de л е г;
calcular a distância por d(P,r) =|PI|. A Figura 7.2 ilustra esse procedimento.
Figura 7.2
Dado um ponto Po e um plano л, calcular a distância d(P,л) de Paл. Seja A um ponto qualquer de л e ñ um vetor normal a л. A Figura 7.3 esclarece que a distância d(P₁,л) é o módulo da projeção de APo na direção de ñ.
De acordo com o Capítulo 2, ■ Capítulo 7
A Figura 7.3 d(P,7) = | proj, AP |= AP n
Admitindo-se, então, que P(xo, Yo, Zo), π: ax + by + cz + d=0е A(x₁,у₁,z₁) Єл, como e Logo, n (a,b,c)
pela fórmula (3) vem
(a, b, c) Va²+b²+c² d(P, )=(x-x₁, Yo-Y₁, Zo z₁).
a(x-x₁)+b(yo-y₁) + C(zo − Z₁) √√a² +b²+c²
+by+czo-ax₁-by₁-cz₁ | axo
√a²+b²+c²
Como A = л, suas coordenadas satisfazem a equação de л, ou seja, ax₁+by₁+cz₁+d=0 d=-ax₁-by₁-cz₁ ax+by+czo+d| d(P₁,л)=
Observemos que a expressão axo +by+czo+d se obtém substituindo x, y e z no primeiro membro da equação geral de л pelas coordenadas do ponto Po.
■ Vetores e geometria analítica
Calcular a distância do ponto P (4,2,-3) ao plano л: 2x + 3y - 6z + 3 = 0.
Solução d(P₁,л)=
Observações a) Outra forma de calcular essa distância consiste em:
=5 encontrar equações da reta r que passa por Po e é perpendicular ao plano л (um vetor diretor de r é um vetor normal a л);
determinar o ponto I de interseção de reл;
calcular a distância por d(P,л)=|PI|.
A Figura 7.4 ilustra este procedimento.
b) A fórmula (4) é também aplicada se tiver- mos dados:
b₁) dois planos ₁ е л₂ paralelos.
Neste caso:
d(л₁₂)=d(P,л₂), com Pεπ₁ ou b₂) uma reta r e um plano л paralelos.
Neste caso: d(r, л) = d(P, ), com Per
Exemplo
Calcular a distância da reta y=2x+3 r:
Observemos primeiro que r // π, pois vn=(1,2,2).(4,-4,2)=4-8+4=0
■ Capítulo 7 Distâncias sendo v vetor diretor de re ñ um vetor normal a л. Então, tomando P(0, 3, 1) = r, por (4) tem-se
_|4(0)−4(3)+2(1)−7|_|-−12+2−7|_17 d(г,л)=d(Р,л)=!
Dadas as retas à e ½, quer-se calcular a distância d(½). Podemos ter os seguintes casos:
A Figura 7.5 ilustra a situação, que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta.
3) гe são reversas
Figura 7.5
Sejar, a reta definida pelo ponto A₁ e pelo vetor diretor v₁ e a reta г pelo ponto A₂ e pelo vetor diretor v2.
Os vetores V₁, V₂ e A₁A₂, por serem não coplanares, determinam um paralelepípedo (Figura 7.6) cuja altura é a distância d(r,r) que se quer calcular (a reta ½ é paralela ao plano da base do paralelepípedo definida por v₁ е v₂).
O volume V do paralelepípedo é dado por a) V=(área da base)·(altura)=|v₁ ×ỹ₂ |·d ou também por b) V=|(v₁,√2,A,A₂)| (Capítulo 4)
Comparando a) e b) vem d=d(₁₁₁₂)=
Exemplo
Calcular a distância entre as retas x=-1+t y=x-3 y=3-2t z=-1-t e z=-x+1
Solução
A reta Ę passa pelo ponto A₁(-1,3,-1) e tem a direção de v₁ =(1,−2,−1) e a reta ½ pelo ponto A₂(0,-3,1) e tem a direção de v₂ =(1,1,-1).
Então, A₁A₂ = A₂ - A₁ =(1,-6,2) e -1=9
Outra forma de calcular esta distância consiste em:
encontrar uma equação geral do plano л definido pelo ponto A₁ e pelos vetores diretores V₁e v₂ (o vetor normal a d
Figura 7.7 л é dado por ñ = v₁ ×V₂).
Como v₂ é vetor diretor de л, a reta ₂ é paralela a л (Figura 7.7). 12 calcular a distância por 2)
d(₁₁₁₂)=d(₁₂,л)=d(P,л), PЄг₂ aplicando a fórmula (4).
Problemas propostos
Achar a distância de P₁ a P₂ nos casos:
1. P(-2,0,1) e P₂ (1,−3,2)
2. P(1,0,1) e P2(2,-1,0)
Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:
3. P(2, 3, -1)
z = 1-2t r:x=3+t y = -2t y = 0
r : (x, y, z) = (2, 3, −1) + t(1, −4, 2)
Achar a distância do ponto P ao plano nos casos:
16. Calcular a distância entre os planos paralelos л₁x+y+z=4 е л₂2:2x+2y+2z=5
Achar a distância da reta r ao plano л nos casos:
л: x у 2z+ 4 = 0 r: x 43t y=-1+t z = t e x=3 πx+у 12 = 0
Achar a distância entre r₁ e r₂ nos casos:
Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendicu- lares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360° em torno de e mantendo constante o ângulo entre as retas. Nessas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O (Figura 8.1).
A reta gé chamada geratriz da superfície cônica, e a reta e, eixo da superfície.
Chama-se seção cônica, ou simplesmente cônica, o conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com a super- fície cônica.
Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano л qualquer que não passa pelo vértice O, a cônica será:
a) uma parábola, se л for paralelo a uma geratriz da superfície (Figura 8.2(a));
Figura 8.1 b) uma elipse, se л não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfície (Figura 8.2(b)) (ou uma circunferência, se л for perpendicular ao eixo).
c) uma hipérbole, se л não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície (Figura 8.2(c)). A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um em cada folha da superfície.
Figura 8.2
As superfícies cônicas apresentadas nas Figuras 8.2 e 8.3 devem ser e consideradas como ilimitadas, ou seja, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos.
■ Vetores e geometria analítica
Se cada um dos planos secantes da Figura 8.2 forem transladados paralelamente até chegarem ao vértice O, obteremos as respectivas cônicas “degeneradas" da Figura 8.3:
uma reta b) um ponto c) duas retas
As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astro- nomia, sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga, um geômetra grego.
Mais tarde, Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais, como nas trajetórias de um projétil ou de um planeta. No final deste capítulo estão descritas as propriedades de reflexão para cada uma das cônicas, com algumas de suas aplicações.
No Museu de Ciências e Tecnologia da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul encontra-se um experimento que diz respeito às propriedades da reflexão anteriormente referidas, chamado reflexão sonora. Trata-se das parábolas acústicas. Na verdade, são paraboloides constituídas por duas antenas parabólicas metálicas (Figura 8.4). Essas antenas de mesmo tamanho estão perfeitamente alinhadas e dispostas uma diante da outra e separadas por aproximadamente 20 m (para melhor visualização foram necessárias duas fotos, razão pela qual a ideia dessa distância não foi possível passar). O anel metálico em determinado ponto representa o foco da antena. Quando uma pessoa fala, emitindo som próximo do anel (foto da esquerda), as ondas sono- ras refletidas na superfície da antena produzem um feixe de ondas paralelas que, ao
incidirem na outra antena, refletem-se convergindo para o foco (anel) desta. Então, outra pessoa com o ouvido próximo do anel (foto da direita) ouve nitidamente a primeira.
A Figura 8.4(a) esquematiza o experimento descrito anteriormente.
foco eixo foco
20 metros
É importante observar que as cônicas são curvas planas e, portanto, tudo o que dissermos sobre parábola, elipse e hipérbole se passa em um plano.
Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.
Na Figura 8.5 estão assinalados cinco pontos (P1, P2, V, P3 e P) que são equidistantes do ponto F e da reta d.
Então, um ponto P qualquer pertence à parábola se e somente se d(P,F) = d(P,d)
ou, de modo equivalente, sendo P' o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d.
é a reta e que passa por F e é perpendicular a d. É fácil ver pela própria definição de parábola que essa curva é simétrica em relação ao seu eixo.
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.
1) O eixo da parábola é o eixo dos y Seja a parábola de vértice V(0,0). Consideremos dois casos:
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola (Figura 8.6) de foco F(0,) e diretriz
de equação y=-=
A definição de parábola expressa pela igualdade (1) é equivalente a ■ Capítulo 8 y F(0, 1)
ou simplesmente x²=2py
que é a equação reduzida para este caso.
Observações
平木 a) O número real p#0 é cha- mado parâmetro da parábola.
b) Da equação (2) conclui-se: como py≥0, o parâmetro pe a orde- nada y de P têm sinais iguais y<0 y> 0
P<0
(py=0 se y = 0) e, consequentemente, se p > 0, a parábola tem abertura para cima, e, se p< 0, para baixo (Figura 8.7).
c) O gráfico da equação (2) é simétrico em relação ao eixo dos y, pois, substituindo-se x por -x, a equação não se altera, ou seja, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico, o ponto (-x, y) também pertence.
2) O eixo da parábola é o eixo dos x
Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola (Figura 8.8) de foco F(2,0) e diretriz x =- mos, de forma análoga ao 1º caso, a equação reduzida y² = 2px
Da análise da equação (3) conclui-se imedia- tamente: se p > 0, a parábola tem abertura para a direita, e, se p <0, para a esquerda (Figura 8.9).
1. Para cada uma das parábolas x² = 8y e x=-—-—-— y², construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.
Observemos que nesta equação, a cada valor de y, por exemplo, 2, cor- respondem dois valores de x simétri- cos, no caso, 4 e -4. Logo, os pontos (4, 2) e (-4, 2) pertencem à parábola (Figura 8.10).
Como a equação é da forma x² = 2py, tem-se
b) A equação reduzida de x=- ———² y² = -2x é
Observemos que nesta equação, a cada valor de x, por exemplo, -2, correspon- dem dois valores de y simétricos, no caso, 2 e -2. Logo, os pontos (-2, 2) e (-2,-2) pertencem à parábola (Figura 8.11).
Como a equação é da forma y² = 2px, tem-se
2. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições:
a) vértice V(0, 0) e foco F(1, 0)
vértice V(0, 0) e diretriz y = 3 vértice V(0, 0), passa pelo ponto P(-2, 5) e concavidade voltada para cima.
Solução a) A equação é da forma y²=2px (Figura 8.12 - o eixo da parábola é Ox)
Substituindo este valor de 2p na equação anterior, obtemos y² = 4x y P>0
F(1,0)
Figura 8.12
■ Vetores e geometria analítica b) A equação é da forma x²=2py (Figura 8.13 – o eixo da parábola é Oy)
Mas
P=-3 ou 2p = -12
Logo, a equação é x²=-12y c) A equação é da forma x²=2py (Figura 8.14 - o eixo da parábola é Oy)
P<0
Figura 8.13 y
Como P pertence à parábola, o ponto (−2, 5) é uma solução da equação, ou seja, a afirmação
é verdadeira. Daí vem e, portanto, a equação desejada é ou
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O'(h,k) arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, todo ponto P do plano tem duas representações: P(x,y) no sistema xOy e P(x', y') no sistema x'O'y' (Figura 8.15). Da figura obtém-se h
H x=x+ he y=y'+k x'=x-h e y'=y-k
Figura 8.15 que são as fórmulas de translação.
Seja uma parábola de vértice V(h,k) (0,0). Consideraremos somente os casos de o eixo da pa- rábola ser paralelo a um dos eixos coordenados.
1) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y Com origem no ponto V, trace- mos o sistema x'O'y' (O' =V) nas con- dições do item anterior (Figura 8.16).
A parábola em relação a este sistema tem vértice na origem e, portanto, sua equação reduzida é h
Figura 8.16
Como para todo ponto P da parábola, por (4) temos x'=x-h e y'=y-k e pela substituição em (5) resulta a equação
(x−h) =2p(y−k)
que é a forma padrão para este caso, e referida ao sistema xOy.
As observações já feitas com relação ao parâmetro p continuam válidas: se p > 0, a parábola está voltada para cima, e, se p <0, estará para baixo.
■ Vetores e geometria analítica
2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x
De modo análogo, temos
(y−k)=2p(x-h)
Outras formas da equação da parábola serão apresentadas no próximo exemplo.
1. Determinar uma equação da parábola de vértice V(3, -2), eixo paralelo ao dos y e parâmetro p = 1.
Como o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y, sua equação é da forma e, neste caso, temos ou cujo gráfico é o da Figura 8.17.
A equação (6) ainda pode receber a forma x²-6x+9=2y+4 ou x²-6x-2y+5=0 que é a equação geral dessa parábola. Assim, qualquer parábola cujo eixo coincide ou é paralelo a um dos eixos coordenados, sempre pode ser representada pela equação geral que terá uma das formas ou
Cônicas que é a equação explícita da parábola deste exemplo.
Então, sempre que explicitarmos y em uma equação do tipo (8) ou x em uma equação do tipo (9), obteremos a respectiva equação explícita na forma ou y=ax²+bx+c a0 x=ay²+by+c a#0
2. Seja a parábola de vértice V(4, 2) e foco F(1, 2). Traçar um esboço do gráfico e determinar sua equação geral.
Solução a) Um esboço do gráfico: Figura 8.18. b) Tendo em vista que o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma padrão é y P<0
e como k h=4, k=2, -3 .. 2p=-12
Efetuando as operações indicadas e ordenando, vem y²-4y+4=-12x+48 ou y²+12x-4y-44=0 que é uma equação geral desta parábola.
Solução
3. Determinar uma equação da parábola da Figura 8.19.
y eixo
Entre a equação na forma padrão e a explícita, a segunda é mais simples para o problema. Então, como o eixo da parábola é paralelo ao dos y, sua equação é da forma y=ax² + bx+c
Ora, sendo (0, -1), (1, 0) e (3,0) pontos da parábola, suas coordenadas devem satisfazer esta equação, ou seja, −1=a(0)²+b(0)+c
sistema cuja solução é a=--- b= e c=-1.
4. Dada a parábola de equação y²+6y-8x+17=0, determinar sua equação reduzida;
o foco e uma equação da diretriz;
uma equação do eixo.
Como adicionamos 9 ao primeiro membro, devemos fazer o mesmo com o membro da direita. A última equação pode ser escrita
(y+3)²=8(x-1)
que é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x. Então, se em (10) utilizarmos as fórmulas de translação obteremos x'=xley' = y +3 y₁² = 8x' que é a equação reduzida desta parábola referida ao sistema x'O'y', na qual O'-V (vértice), O'x'//Ox e O'y'//Oy.
b) Como a equação (10) é da forma padrão
(y−k) =2p(x-h)
em que he k são as coordenadas do vértice, vem imediatamente: V(1, −3).
c) Um esboço do gráfico: Figura 8.20.
diretriz: x = -1 e) Eixo: y = -3
Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y:
Nessa equação, x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x = t (t é chamado
■ Vetores e geometria analítica
1 2p parâmetro), teremos y=- t².
Então, equações paramétricas da parábola são, neste caso, dadas por x=t
De igual forma, se na equação y² = 2px fizermos y = t, o sistema x=
2p y=t, tЄR constitui equações paramétricas da parábola com vértice V(0,0) e eixo Ox.
Com procedimento semelhante, obtém-se equações paramétricas no caso de o vértice da parábola não ser a origem do sistema, conforme exemplo a seguir.
Exemplo
Obter equações paramétricas da parábola de equação:
1) Se fizermos x = t, teremos y=4t² e, portanto, o sistema x=t
=4t² constitui equações paramétricas da parábola.
2) Fazendo y 3 = t, vem y = t + 3. Então, t² =2(x+2)
ou e Assim, o sistema t² =2x+4 t²-4 2 x= t²-4 x=
Por outro lado, de y = t + 3, vem t = y - 3, que substituindo na primeira equação resulta
(y-3)2-4 x=
(y-3)²=2(x+2)
que é a equação cartesiana dada inicialmente.
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.
Nos Problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas.
■ Vetores e geometria analítica
11. vértice: V(0, 0); diretriz d: y = -2
12. foco: F(2, 0); diretriz d: x + 2 = 0
13. vértice: V(0, 0); foco: F(0, -3)
14. vértice: V(0, 0); foco: F(-- F(1,0
16. vértice: V(0, 0); simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P(2,-3)
17. vértice: V(0, 0); eixo y = 0; passa por (4,5)
18. vértice: V(-2, 3); foco: F(-2, 1)
19. vértice: V(2, -1); foco: F(5, -1)
20. vértice: V(4, 1); diretriz d: y + 3 = 0
21. vértice: V(0, -2); diretriz: 2x - 3 = 0 22. foco: F(4, -5); diretriz: y = 1
23. foco: F(-7, 3); diretriz: x + 3 = 0
24. foco: F(3,-1); diretriz: 2x - 1 = 0
25. vértice: V(4, -3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(2, 1)
26. vértice: V(-2, 3); eixo: x + 2 = 0, passando pelo ponto P(2, 0)
Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.
Nos Problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condições:
37. eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(-2, 0), B(0, 4)
e C(4, 0).
38. eixo de simetria paralelo a x = 0 e passando pelos pontos A(0, 0), B(1, -1) e C(3, −1).
39. eixo paralelo a y = 0 e passando por A(-2, 4), B(-3, 2) e C(-6, 0).
40. Dada a parábola de equação y=-x²+4x+5, determinar:
a) o vértice;
b) as interseções com os eixos coordenados;
Nos Problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada.
Nos Problemas 45 e 46, obter uma equação geral da parábola dada por equações paramétricas.
x=t+1
+2 x= +4 4
47. Em que pontos a parábola de vértice V(-2, 0) e foco F(0, 0) intercepta o eixo dos y?
48. Encontrar sobre a parábola y² = 4x um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 3.
49. Utilizar a definição para encontrar uma equação da parábola de foco e diretriz dados:
a) F(-3, 4);
d: y = 2 b) F(0, 3);
d: x-2=0
50. Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto A(-1, 3) seja igual à sua distância à reta y + 3 = 0.
51. Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
a) foco: F(0, 0), eixo: y = 0 e passa por A(3, 4);
b) foco: F(0, -1), eixo: x = 0 e passa por A(4, 2).
52. Na Figura 8.21, o arco DC é parabólico e o segmento AB está dividido em 8 partes iguais. Sabendo que d = 10 m e AB = 80 m, determinar h₁ e h₂.
53. Uma família de parábolas tem equação y=ax² +bx+8. Sabendo que uma delas passa pelos pontos (1,3) e (3,-1), determinar:
os pontos de interseção com o eixo dos x;
os pontos de ordenada 15;
c) equações paramétricas desta parábola.
54. Dados os sistemas de equações paramétricas x=-t x=√2t [y=t+3, te[0,8]
e y= -+3, t=[−4,0]
mostrar que eles representam parte de uma mesma parábola, esboçando o gráfico.
33. x² = y', V(2,-2), F(2,-———), 1
31 x² =½y', V(3,−4), F(3,−³¹¹), 8y+33=0, x=3
52. h₁ =20m e h₂ = 32,5m
Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
a com 2a 2c.
Consideremos no plano dois pontos distintos, F₁ e F₂, tal que a distância d(Ę,F)=2c, e um número real positivo
Chamando de 2a a constante da definição, um ponto P pertence à elipse (Figura 8.22) se, e somente se, d(P,F)+d(P,F₂)=2a
Para construir uma elipse no papel, pode-se proceder conforme sugere a Figura 8.23: fixam-se dois pregos em pontos arbitrários F₁ e F2 amarrando-se neles as extremidades de um fio não esticado. Um lápis que deixa o fio distendido marca o ponto P. Se fizermos o lápis deslizar sobre o papel, mantendo o fio sempre distendido, a ponta descreverá a elipse e, portanto, para todo o ponto P da elipse, a soma das distâncias d(P,F) e d(P,Ę) será sempre igual ao comprimento do fio, ou seja, um valor constante, que, na definição, foi denominado 2a.
Figura 8.22
Figura 8.23
Se variarmos as posições de F₁ e F2 mantendo fixo o comprimento do fio, a forma da elipse variará. Assim, quanto mais afastados um do outro estiverem os pontos F₁ e F₂, tanto mais "achatada” é a forma da elipse. Por outro lado, se d(F,F) está próximo de zero, a elipse é quase circular, e no caso de F₁ = F₂, temos a circunferência de centro F₁ e raio a.
Focos: são os pontos F₁ e F2.
Distância focal: é a distância 2c entre os
Centro: é o ponto médio C do segmento
Eixo maior: é o segmento A₁A₂ de com- primento 2a (este segmento contém os focos).
Eixo menor: é o segmento B₁B₂ de comprimento 2b e perpendicular a A₁A, no seu ponto médio.
Vértices: são os pontos A₁,A2, B₁ е B₂.
Pela Figura 8.24, é imediato que B₂F₂ =a, pois B₂F +B₂F₁₂ = 2a (definição de elipse) e B₂Ę₁ =B₂Ę. Logo, do triângulo retângulo B₂CĘ₂ vem a² = b²+c²
A igualdade mostra que b<a e c<a.
Excentricidade da elipse é o número real e=
(0 <e<1)
a (2)
A excentricidade é responsável pela "forma" da elipse: elipses com excentricidade perto de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto elipses com excentrici- dade próxima de 1 são “achatadas”. Por outro lado, fixada uma excentricidade, por
exemplo, e=- todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem apeñas pelo tamanho).
A 1° lei do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) é expressa por: "qual- quer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos". A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que
Sol significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Júpiter, 0,05, a de Marte, 0,09, para mencionar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, res- pectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O "campeão" de excen- tricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com e 0,967 (quase 1) e ele leva apro- ximadamente 76 anos (período de revolução)
para dar uma volta em torno do Sol. A Figura
■ Vetores e geometria analítica
Figura 8.25
8.25 dá uma ideia das trajetórias da Terra e de Halley com o Sol em um dos focos.
Com a finalidade de obtermos uma equação de elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples.
Equações reduzidas
1) O eixo maior está sobre o eixo dos x
Seja a elipse de centro C(0, 0). Consideraremos dois casos:
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse (Figura 8.26) de focos Ę(-c,0) e Ę₁₂ (c,0).
+ y²+2cx+c² = 2a - √x² + y² −2cx+c²
(√x² + y²+2cx+c²)² = (2a-. x²+1 2+ y²-2cx+c²)² x²+ y²+2cx+c²=4a²-4a√ √x² + y²-2cx+c² +x² + y²-2cx+c² a√x² + y² −2cx+c² = a² −cx
a² (x² + y²-2cx+c²) = a -2a²cx+c²x² a²x²+a2y2-2a2cx+a²c² = a -2a²cx+c²x² a²x² −c²x² +a²y² = a+ − a²c²
(a² −c²)x² +a²y² = a² (a² — c²)
Como por (2) tem-se a²-c² = b², resulta b²x²+a²y² = a²b²
Dividindo ambos os membros da equação por a²b², vem que é a equação reduzida para este caso.
2) O eixo maior está sobre o eixo dos y Observando a Figura 8.27, com procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida
+—=1 a² b²
Como em toda elipse tem-se a >b (ou a² >b²), para saber se a elipse tem seu eixo maior sobre Ox ou sobre Oy, basta observar onde está o maior denominador (a²) na sua equação reduzida. Se esse for denominador de x², o eixo maior está sobre Ox. Caso contrário, estará sobre Oy.
o maior denominador é 9. Como ele é denominar de y², o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos y (Figura 8.28). No caso, temos a29a3 b²=4. b=2
Figura 8.28 e, portanto, as interseções com os eixos são os quatro pontos (0,±3) e (±2,0).
Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos x = 0, vem y = ±3 e para y = 0, vem x = ±2, o que confirma as interseções com os eixos em (0,±3) e (±2,0).
■ Vetores e geometria analítica
Exemplos
Nos Problemas de 1 a 3, para cada uma das elipses, determinar:
Solução a) Para expressar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os membros da equação por 225:
9x² 25y² 225
Maior denominador: 25. Logo, a² = 25 e o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos x, porque 25 é denominador de x².
Então, b) Gráfico: Figura 8.29 c) a² = b²+c²
25=9+c² c² = 16..c=4
Logo, os focos são F(-4,0) e Ę₂(4,0).
C 4 d) e=-=- a 5 a²=25a=5 b29b=3 y
Figura 8.29
2. 4x²+y2-16=0
Solução a) Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem x² y2 + =1 16
a=4 b² = 4 b=2 b) Gráfico: Figura 8.30.
c) a² = b²+c²
16=4+c² c² = 12 e c=√12
Logo, os focos são Ę(0,-√12) e Ę(0,√12).
√12 2√3 √3 d) e= a 4
3. x² + y²-9=0
Solução a) A forma reduzida desta equação é
Neste caso, tem-se a² = b²=9 e, portanto, a = b = 3.
Trata-se de uma circunferência de raio 3.
Portanto, os dois focos coincidem com o centro da circunferência.
C 0 d) e=====0 a 3 y F₂
A circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula.
4. Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação.
■ Vetores e geometria analítica
Como o foco é ponto do eixo x, a equação desta elipse é da forma x²
+ =1 a² b²
Precisamos determinar a e b. Como o eixo maior mede 8, ou seja, 2a8a4
Tendo em vista que o centro da elipse é (0, 0) e um dos focos é (3, 0), conclui-
Seja uma elipse de centro C(h, k) (0,0). Consideraremos somente os casos de os eixos da elipse serem paralelos aos eixos coordenados.
1) O eixo maior é paralelo ao eixo dos x
Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema x'O'y' (Figura 8.32) em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo O'x'. Logo, sua equação reduzida é
X,2 y2
=1 b² a²
Para expressá-la em relação ao sistema original xOy, utilizamos as fórmulas de translação x'=x-h e y'=y-k que, substituídas em (3), resultam que é a forma padrão para este caso.
2) O eixo maior é paralelo ao eixo dos y De modo análogo ao 1º caso, temos
Outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.
1. Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4,-2), excen-
1 2 tricidade e- e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse.
Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos y, sua equação é da forma com h4 ek = -2.
Logo, a equação da elipse é a² = 3² +(-)² a² a²=9+, em que a² =12 4
(x-4)² (y+2)²
Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenar- mos os termos, obteremos outra forma da equação da elipse:
ou ou que é uma equação geral desta elipse.
Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma ax² + by²+cx+dy+f=0 com a e b de mesmo sinal. Em particular, quando a = b, esta equação poderá representar uma circunferência.
2. Dada a elipse de equação 4x²+9y²-8x-36y+4=0, determinar:
(4x²-8x)+(9y² - 36y)=-4
4(x²-2x)+9(y²-4y)=-4
■ Capítulo 8 Cônicas na qual agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 4 e 9 para facilitar a construção dos trinômios quadrados nestes dois parên- teses. Então, temos
4(x² -2x+1)+9(y² −4y+4)=-4+4(1)+9(4)
4(x-1)²+9(y-2)² = 36 e dividindo ambos os membros por 36, resulta
que é a forma padrão da elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos x. Utili- zando em (4) as fórmulas de translação x'=x-1 e y'=y-2 obtemos y'2 + =1
que é a equação reduzida desta elipse.
b) Como a equação (4) é da forma padrão
em que he k são coordenadas do centro, vem imediatamente: C(1, 2).
■ Vetores e geometria analítica ou e pelo gráfico tem-se:
A₁(-2,2) e A₂(4,2)
B₁(1,0) e B₂ (1,4)
e) Para determinar os focos precisamos do valor de c.
De a² = b²+c² ou 9=4+c², vem c=√5 e, portanto, os focos são:
Tracemos a circunferência de centro O e raio igual ao semieixo maior a da elipse (Figura 8.34).
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A reta, que passa por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta a circunferência em A, e o raio AO determina com o eixo dos x um ângulo 0.
Do triângulo A'OA vem
AO' OA cose x = acos
Como x é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada y do mesmo ponto é cal- culada substituindo o valor de x na equação da elipse:
Observemos que, para cada valor de O corresponde apenas um ponto P da elipse e, quando e varia de 0 a 2л, o ponto P parte de (a, 0) e “descreve” a elipse no sentido anti-horário. Então, 0 é o parâmetro e o sistema x = acos
=bsen 0 constitui equações paramétricas dessa elipse.
Observações x²
Y -= cos² 0 e -= sen²0. b² a) Das equações (6) vem ==cos e -=sen e, portanto, a² b a Somando membro a membro, resulta x² y²
(1= cos 20+ sen20)
a² b² que é a equação da elipse dada inicialmente.
x² b) No caso da elipse ser
-=1 (eixo maior sobre Oy), suas equações paramétricas são b² a² x=bcose y=asen 0
Cônicas c) Quando o centro da elipse for C(h, k), pela translação de eixos obtemos x-h=acose x=h+acose
(eixo maior paralelo a Ox)
\y-k=bsen 0 y=k+bsen e x=h+bcose y=k+asen 0
(eixo maior paralelo a Oy)
0 < Ꮎ < 21 y = bcos descreve de outra forma a mesma elipse dada pelo sistema (6), porém, neste caso, o ponto P parte de (0,b) e “descreve" a elipse no sentido horário.
Exemplos
Obter equações paramétricas da elipse de equação:
1) A forma reduzida de equação 16x²+25y² = 400 é
25 16 e, portanto, a = 5 e b = 4. Logo, x=5cos0 y=4sen0 são equações paramétricas desta elipse.
2) A forma padrão de 9x² +4y² −54x+16y+61=0 é
e, portanto, o centro da elipse é (3, -2), sendo a = 3 e b = 2. Logo, x=3+2cos0 y=-2+3sen 0 são equações paramétricas desta elipse.
Por outro lado, das equações (7) vem y+2 x-3 2
E Elevando ao quadrado ambos os membros das duas equações, temos
que é a equação da elipse na forma padrão dada anteriormente.
Em cada um dos Problemas de 1 a 10, esboçar o gráfico e determinar os vértices A, e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas.
11. Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade b)
Em cada um dos Problemas de 12 a 19, determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
12. focos F₁(-4, 0) e F₂(4, 0), eixo maior igual a 10;
13. focos F₁(0, -5) e F₂(0, 5), eixo menor igual a 10;
14. focos F(±3, 0) e vértices A(±4, 0);
15. focos F(0, ±3) e excentricidade ;
17. centro C(0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo ponto (2√√5,2);
18. vértices A(0, ±6) e passando por P(3, 2);
19. centro C(0, 0), focos no eixo dos x, e== e passando por P(2,--).
Em cada um dos Problemas de 20 a 27, obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.
20. centro C(1, 4), um foco F(5, 4) e excentricidade 21. eixo maior igual a 10 e focos F₁(2, −1) e F₂(2, 5); 22. focos F₁(-1, −3) e F₂(−1, 5) e excentricidade:
23. focos F₁(-3, 2) e F₂(3, 2) e excentricidade
24. vértices A₁(-7,2) e A₂ (-1,2) e eixo menor igual a 2;
25. centro C(0,1), um vértice A(0,3) e excentricidade
26. centro C(-3, 0), um foco F(-1, 0) e tangente ao eixo dos y;
27. centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados.
Em cada um dos Problemas de 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A₁ e A₂, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Nos Problemas de 34 a 39, obter equações paramétricas da elipse de equação dada.
Nos Problemas de 40 a 43, obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas.
44. Determinar os focos da elipse de equações x=4+3 cost e y=-2+5sent. 45. Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que a soma de suas distâncias aos pontos (4, -1) e (4, 7) seja sempre 12.
46. Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A(3, -2) seja igual à metade de sua distância à reta y-2=0.
47. Determinar uma equação da elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre o eixo dos y, sabendo que passa pelos pontos P(1, √14) e Q(2,-2√2).
48. Encontrar uma equação da elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre Ox, excen- tricidade e que passa pelo ponto (2, 3).
49. Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação dada.
a) 16x² + y²-16=0 b) 4x²+9y2-32x+36y+64=0
50. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade viaja ao redor de um planeta situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 km, calcular a maior distância.
5. A(±5,0), F(±2√6,0), 10. A(12,0), F(±1,0), e= e=
11. a) Existem infinitas, todas elas com a = 2ce b=c√3
-=1, C(−1,−2), A₁(−1, −7), A₂(−1,3), F(-1,-5), Ę₂(−1,1), e=-
√5 y'
-=1, C(3,−1), A₁(6,−1), A₂(0,-1), F(3±√5,-1), e 30.
^2=1, C(−2,2), A₁(−2,—2), A, (−2,6), F(-2,2± √15), e = √15 y'2
1 y=-sen 0 4 x=1+5 cos 0 y=-1+3sen 0
+ -=1, C(3,—4), A₁(3,−8), A₂(3,0), F(3,-4±√7), e e=
-=1, C(1,2), A₁(−2,2), A₂ (4,2), F(1±√5,2), e=
49. a) x² + y²=1 e x² + y² = 16 b) x²+ y²-8x+4y+16=0 e x² + y²-8x+4y+11=0
Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distân- cias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.
F₁ e F₂ tal que a distância d(F,F)=2c e um número real positivo a de modo que 2a < 2c.
Chamando de 2a a constante da definição, um ponto P pertence à hipérbole (Figura 8.35) se, e somente se, |d(P,F)-d(P,F)|=2a
Como se vê, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Na verdade, pela equa- ção (1), um ponto P está na hipérbole se, e somente se, d(P,F)−d(P,F)=±2a
Para possibilitar um traçado bem melhor da hipérbole e tecermos consi- derações a respeito de seus elementos, faremos a construção da Figura 8.36 a seguir explanada.
Consideremos no plano dois pontos quaisquer F₁ e F₂ com d(F,F₂)=2c. Chamando de C o ponto médio do segmento F,F2, tracemos uma circunferência de centro Ce raio c. Tomemos um valor arbitrário a, a < c, e marquemos sobre F,F2, a partir de C, os pontos A₁ e A, tais que d(C,A₁) = d(C, A₂)=a. Por esses pontos, tracemos cordas perpendiculares ao diâmetro F₁F2. As quatro extremidades dessas cordas são os vértices de um retângulo MNPQ inscrito nesta circunferência. Tracemos as retas res que contêm as diagonais do referido retângulo e, por fim, a hipérbole con- forme a figura.
Com base nesta figura temos os elementos da hipérbole.
é a distância 2c entre os focos.
é o ponto médio C do segmento F₁F2.
são os pontos A₁ е A₂.
é o segmento A₁A, de comprimento 2a.
Observemos que os pontos A, e A₂ são pontos da hipérbole, porque satisfazem a definição (1). Na verdade, para A₁, tem-se e d(A,,F₁)=c-a d(A₁,Ę₁₂)=a+c e |d(A,F)-d(A,,F₂)|=|−2a|=2a
Eixo imaginário ou não transverso: é o segmento B₁B2 de comprimento 2b, com B₁B₂ LA₁A2 em C.
Observemos que o retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b, sendo a a medida do semieixo real e b a medida do semieixo imaginário. Ainda, do triângulo CA₂M obtemos a relação
■ Vetores e geometria analítica de larga aplicação nos problemas de hipérbole.
Assíntotas: são as retas res.
c² = a²+b²
As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos vértices. Essa aproximação é “contínua” e “lenta" de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Naturalmente, essa particularidade das assíntotas constitui um excelente guia para traçar o esboço do gráfico.
Com o que já vimos na construção da hipérbole, esta fica determinada quando se conhece o centro C e os valores a e b (ou a ecoube c). De fato, a partir desses elementos, constrói-se o retângulo MNPQ e, consequentemente, as assíntotas res, e daí, os dois ramos da hipérbole.
O ângulo assinalado na figura é chamado abertura da hipérbole. Denomina-se excentricidade da hipérbole o número e por ser c> a, tem-se e> 1.
e= a A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com a sua abertura. De fato: se na Figura 8.36 tivéssemos tomado um valor para "a" menor do que o anterior, o novo retângulo MNPQ seria mais “estreito” e, em consequência, a abertura O seria maior.
a Ora, diminuir o valor de "a" (mantendo c fixo) signifca aumentar o valor de e=. Assim, quanto maior a excentricidade, maior será a abertura, ou seja, mais "aber- tos" estarão os ramos da hipérbole.
Quando a = b, o retângulo MNPQ se transforma em um quadrado e as assínto- tas serão perpendiculares (0 = 90°). A hipérbole, neste caso, é denominada hipérbole equilátera.
Seja a hipérbole de centro C(0, 0). Consideraremos dois casos:
1) O eixo real está sobre o eixo dos x.
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole (Figura 8.37) de focos Ę(-c,0) e Ę₁₂(c,0).
Pela definição em (1), tem-se
|d(P,F)-d(P,F)|=2a ou, em coordenadas, |√(x+c)²+(y−0)² = √(x−c)² +(y-
Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação da elipse, e lembrando que c² = a² +b², chegamos à equação
b² que é a equação reduzida para este caso.
2) O eixo real está sobre o eixo dos y Observando a Figura 8.38, com procedimento análogo ao 1º caso, obtemos a equação reduzida
A partir de um caso particular, serão feitas algumas observações. Seja a hipérbole da Figura 8.39.
Sua equação reduzida é em que a² = 32=9 e b² = 2² = 4.
Observações y
X a) É imediato que os vértices são A₁ (-3,0) e A₂(3,0). Eles também seriam obtidos fazendo y = 0 na equação (2), de onde resulta dos vértices.
-=1 ou x=±3, que são as abscissas y² 4
-=1 ou y²=-4, Por outro lado, se na equação (2) fizermos x = 0, obteremos que é uma equação impossível no conjunto dos reais. Isto significa que a hipérbole não corta o eixo dos y.
b) Como a equação apresenta somente potências pares de xe y, a hipérbole é simétrica em relação ao eixos coordenados e em relação à origem.
Por exemplo, o ponto P₁(6,√12) pertence a esta hipérbole por ser verdadeira a afirmação
e, da mesma forma, também pertencem os pontos P2 (6,-√12) (simétrico de P₁ em relação a Ox), P3(-6, √12) (simétrico de P₁ em relação a Oy) e P₁ (-6,-√12) (simétrico de P₁ em relação à origem).
c) As assíntotas res são retas que passam pelo centro da hipérbole, no caso, a origem do sistema. Logo, suas equações são do tipo y = mx, sendo m a declividade.
A assíntota rtem declividade m₁ =- e a assíntota s tem declividade m₂ =-
a a Portanto, as assíntotas têm equações
y=--x 3 y=-x 3 e y² x²
=1, as declividades das assín-
Quando a equação da hipérbole é da forma a² b² a totas serão m=±-.
Nos Problemas 1 e 2, determinar, para cada uma das hipérboles:
Solução a) Passando esta equação para forma reduzida, obtém-se y² x² x²-4y²=-16 ou
4 16 que representa uma hipérbole com eixo real sobre Oy.
Então, a²=4a=2 b²=16. b=4 b) O gráfico com assíntotas: Fi- gura 8.40.
c) Vértices: A₁ (0,-2) e A₂ (0,2) ou
A(0, ±2).
d) Para determinar os focos, precisamos do valor de c:
c² = a²+b² c² = 4+16 c=√√20=2√5
Focos: F(0,-2√√5) e Ę(0,2√√5).
C2√5 e) Excentricidade: e=-= a 2 y=+x (pois, 1_2_1).
2. x²-y²=4
Solução a) Passando para a forma reduzida, obtém-se x² y²
4 4 que representa uma hipérbole com eixo real sobre Ox.
a=b=2 (hipérbole equilátera)
Então, a²b² = 4 b) O gráfico com assíntotas: Figura 8.41.
Figura 8.41 c) Vértices: A₁(-2,0) e A₂ (2,0).
d) c² a²+b² c² = 4+4 c=√8=2√2
Focos: F(-2√2,0) e Ę (2√2,0).
e) Excentricidade: e==== a 2 b 2 ===1).
f) Assíntotas: y =±x (pois a 2 sempre
Observemos que, em toda hipérbole equilátera, a excentricidade é : igual a √2 e as equações das assíntotas são sempre iguais a y = ± x.
3. Uma hipérbole tem focos em F(-5,0) e Ę (5,0) e a medida do eixo real é 6. Deter- minar sua equação reduzida.
Tendo em vista que os focos são pontos do eixo dos x, a equação desta hipér- bole é da forma x² y²
=1 a² b?
na qual precisamos determinar a e b.
De F(±5, 0), vem c = 5 (distância de cada foco ao centro).
O eixo real mede 6, ou seja, 2a = 6. Logo, a = 3.
De c² a²+b² ou 25=9+b², vem b² = 16.
Portanto, a equação procurada é x²
■ Capítulo 8 Cônicas
Seja uma hipérbole de centro C(h, k) = (0, 0). Consideraremos somente os casos de os eixos da hipérbole serem paralelos aos eixos coordenados.
1º) O eixo real é paralelo ao eixo dos x
Com procedimento análogo ao que foi visto para a elipse, resulta a equação
(x-h)² (y-k)²
=1 a² b² que é a forma padrão para este caso (Figura 8.42).
2º) O eixo real é paralelo ao eixo dos y De igual modo ao 1° caso, temos
A CA, k a h+c h-c h
1. Determinar uma equação da hipérbole de vértices A₁ (1,-2) e A₂ (5,-2), sabendo que F(6,-2) é um de seus focos.
Solução
Em função dos dados do problema, esboçamos o grá- fico desta hipérbole (Figura 8.43).
Sendo o eixo real A,A₂ paralelo a Ox, a equação da hipérbole é da forma
AC A F a O centro é o ponto médio de A₁A₂ : C(3,-2).
É imediato que: a=d(C,A₁)=2 e c=d(C,F)=3. Da relação c²=a² +b² ou 9=4+b², vem b² =5. Logo, uma equação da hipérbole é
Eliminando os denominadores, desenvolvendo os quadrados e ordenando os termos, encontramos
5(x²-6x+9)-4(y²+4y+4)=20
5x²-30x+45-4y²-16y-16-20=0
5x²-4y²-30x-16y+9=0 que é uma equação geral desta hipérbole.
Assim, qualquer hipérbole cujos eixos estejam sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma com a e b de sinais contrários.
ax²+by+cx+dy+f=0
2. Dada a hipérbole de equação 9x²-4y²-54x+8y+113=0, determinar a) sua equação reduzida;
(9x2-54x)-(4y² -8y)=-113 ou
9(x²-6x)-4(y²-2y)=-113
■ Capítulo 8 em que agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores
9 e 4 para facilitar a construção dos trinômios quadrados nestes dois parên- teses. Então, temos
9(x²-6x+9)-4(y² −2y+1)=-113+9(9) −4(1) ou 9(x-3)²-4(y-1)² = −36
Dividindo ambos os membros por -36, tem-se
Cônicas que é a forma padrão da hipérbole de eixo real paralelo ao eixo dos y. Utili- zando em (3) as fórmulas de translação teremos x'=x-3 e y'=y-1
que é a equação reduzida desta hipérbole.
b) Como a equação (3) é da forma padrão
(y-k)² (x-h)²
=1 a² b²
em que he k são as coordenadas do centro, vem imediatamente: C(3, 1). c) Um esboço do gráfico: Figura 8.44.
d) Confrontando (3) e (4), concluímos:
a² = 9 a=3 b² = 4 b=2 e pelo gráfico tem-se:
A₁ (3,-2) e A₂(3,4)
e) Para determinar os focos precisamos do valor de c.
Da relação c²=a²+b² c² = 9+4 ou vem c=√13 e, portanto, os focos são
Ę (3,1−√√13) e Ę (3,1+ √13)
C √13 f) Excentricidade: e=-=- a 3
Equações paramétricas
✗² y² a² b²
=1 x y b são números reais cuja diferença de seus quadrados é sempre igual a 1.
significa dizer que e a Se na identidade sen20+cos20=1 cos²00, obtemos dividirmos ambos os membros por sen20 cos Ꮎ
-=tan 0 e cos e cos Ꮎ sec20-tan20=1
-=1. Escrevendo esta equação como
Portanto, confrontando esta equação com a equação da hipérbole em (5), pode- mos fazer
=tan e == sec0 b a 3π π
, o sistema 2 e daí concluir que para o parâmetro 0,0≤0≤2л, excluídos e
x=asec
| y=btan constitui equações paramétricas dessa hipérbole.
ππ será descrito o ramo direito da hipérbole
Quando percorre o intervalo
(플 π 3π
(x≥ a) e, quando percorre o intervalo
,o ramo esquerdo (x < -a).
Observações a) No caso da hipérbole ser tricas são y² x² a² b²
[x=btan y=asec
-=1 (eixo real sobre Oy), suas equações paramé-
Cônicas b) Quando o centro da hipérbole for C(h, k), aplicando a translação de eixos, as equações paramétricas são
[x=h+asec x=h+btan ou y=k+btan y=k+asec conforme o eixo real seja paralelo a Ox ou Oy, respectivamente.
Exemplos
Obter equações paramétricas da hipérbole de equação:
1) A forma reduzida da equação 4x² -9y² −36=0 é x² y²
e, portanto, a = 3 e b = 2. Logo, [x=3 sec 0 y=2tan 0 são equações paramétricas desta hipérbole.
A Figura 8.45 apenas indica pontos da tabela para alguns ângulos no intervalo ππ
2) A forma padrão de x²-3y²+8x+12y-13=0 é
e, portanto, o centro da hipérbole é (-4, 2), sendo a = 3 e b=√3. Logo, x=-4+3sec
\y = 2+ √3 tan são equações paramétricas dessa hipérbole.
Em cada um dos problemas de 1 a 12, esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentrici- dade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.
13. Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro (0, 0), eixo real sobre Ox e excentricidade
5 3 a)
c) 2
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
14. focos F(±5,0), vértices A(±3,0);
15. focos F(0, ±3), vértices A(0, ±2);
16. focos F(0, ±4), eixo real de medida 2;
17. focos F(±8, 0), excentricidade
18. vértices A(0, ±5), excentricidade 2;
19. vértices A(0, ±2), distância focal 2√√11;
20. focos F(±4, 0) e que seja hipérbole equilátera;
21. focos F(±5, 0), eixo imaginário medindo 4;
22. centro C(0, 0), eixo real sobre Oy, b = 8, excentricidade 23. vértices A(±4, 0) e passando por P(8,2);
24. vértices A(±3, 0) e equações das assíntotas y = ±2x;
25. vértices A(0, ±2) e equações das assíntotas y=+=x;
26. focos F(±3, 0) e equações das assíntotas y = +x;
27. centro C(3, 2), um vértice A(1,2) e um foco F(-1, 2); 28. vértices em (3, −2) e (5,-2) e um foco em (7,-2);
29. vértices em (2, −4) e (2, 0) e um foco em (2,-2+ √13);
30. vértices em (5, -1) e (5, 5) e excentricidade 2;
31. focos F(3,-2) e F, (3,4) e excentricidade 2;
32. focos F(-6,1) e F2 (0,1) e eixo real medindo 4;
Cônicas
33. centro C(5, 1), um foco F(9, 1) e eixo imaginário medindo 4√2;
34. vértices A₁(-3,-4) e A₂(-3,4) e que seja hipérbole equilátera;
35. focos F(-1,-5) e F₂(5,-5) e que seja hipérbole equilátera;
36. centro C(2, −3), eixo real paralelo a Oy e passando por (3, −1) e (−1, 0);
37. centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox e passando por (0, 2) e (−5, 6).
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada.
Nos problemas 50 a 53, obter uma equação geral da hipérbole dada por equações paramétricas. Esboçar o gráfico.
x=4 sec0
y=2tan 0 x=tan 0
y = 3 sec0 x=2+3tan e 52.
y=1+4 sec0 x=2 sec 0
y=4+√3tan 0
54. Determinar os focos da hipérbole de equações x=4+√5 tai
5 tan 0 e y=-5+2 sec.
55. Encontrar uma equação de hipérbole com focos nos vértices da elipse +—=1 e vértices nos focos dessa elipse.
25 9 y² x²
56. Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole e vértices nos focos dessa hipérbole.
57. Encontrar uma equação da hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes x² y² 25 9 com os focos da elipse +
58. Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move, de modo b)
que sua distância ao ponto A(-1, 3) seja a) igual a sua distância à reta x = 3;
a metade de sua distância à reta x = 3;
o dobro de sua distância à reta x = 3.
e=√5, F(0,±2√5), 7. A(0,±2), e=√2, F(±√2,0), 8. A(±1,0), 9. A(0,±√2,), F(0,±2), 10. A(0,±1), F(0,±- e=
-=1, C(1,−2), A₁(−1,−2), A₂(3,−2), F(1±√√13,-2), e=- 4 9
√5 x²² y^2=1, C(-3,3), A₁ (-5,3), A₂(−1,3), F(−3±√5,3), e=-
-=1, C(3,1), A₁(3,−2), A₂(3,4), F(3,1± √13), 40.
-=1, C(4,2), A₁(1,2), A₂ (7,2), F(4±3√5,2), e=√5
−−1, C(2,−1), A₁(2,-5), A₂(2,3), F(2,—6), F₂(2,4) e=-
y=tan e x=3tan 0
ly = √√3 sec 0 x = sec0 y=tan 0
Para encerrar o estudo das cônicas, vejamos, a título de ilustração, a propriedade da reflexão de cada uma delas.
Na prática, esta curva tem uma série de apli- cações. Ouve-se dizer que antenas de TV e os es- pelhos dos faróis dos automóveis são parabólicos. Mas isso tem alguma coisa a ver com a curva que estudamos? Tem tudo.
Na verdade não se trata de “uma” só parábola e sim de um paraboloide (Figu- ra 8.46), que é a superfície de revolução obtida girando-se a parábola em torno do seu eixo. Todas as infinitas parábolas que possamos imaginar formando o paraboloide têm o mesmo foco F.
Admitindo espelhada a parte interna deste para- boloide (pode ser um farol de automóvel, ou holofote, ou outros refletores em geral), se uma fonte de luz for colocada em F, os raios que esta fonte irradia serão re- fletidos ao longo de retas paralelas ao eixo (Figura 8.47).
Esta propriedade, chamada reflexão, está baseada no fato de que, sendo tuma reta tangente a uma pa- rábola no ponto P (Figura 8.48) o ângulo a (ângulo de incidência) é igual ao ângulo ß (ângulo de reflexão).
Este mesmo princípio é utilizado na fabricação de an- tenas parabólicas e espelhos de telescópios. Como os sinais (ondas de rádio ou raios de luz) são muito fracos, há a neces- sidade de captá-los utilizando uma superfície ampla e con- centrá-los em um único ponto (que é o foco F) a fim de serem amplificados (Figura 8.49).
Entende-se agora por que as antenas e os espelhos teles- cópicos precisam ser parabólicos.
O experimento da foto (Figura 8.50) encontra-se no Museu de Ciências e Tecnologia da PUC-RS e traduz de uma forma particular a propriedade da reflexão da parábola. A mesa é dotada de um anteparo curvo de forma parabóli- ca. O orifício na mesa está exatamente na posição do foco desta parábola. Então, um objeto (na foto é um botão) ao ser lançado paralelamente ao eixo da curva, após chocar- -se contra o anteparo, retorna e cai sempre no orifício. O menino da foto deve estar achando esta “proeza" resultado de sua habilidade.
A propriedade da reflexão na elipse é análoga à da parábola. Se té a tangente no ponto P de uma elipse de focos F₁ e F₂, são iguais os ângulos a e ẞ formados pela reta tangente e os raios focais ĘP e ĘP, respectivamente (Figura 8.51).
Imaginando uma superfície obtida girando-se a elipse em torno do eixo maior (a superfície é um elipsoide), e admitindo espelhada a parte interna, se uma fonte de luz for colocada em um dos focos, digamos F₁, todos os raios que esta fonte irradia serão refletidos no outro foco F₂ (Figura 8.52).
Se ao invés de uma fonte luminosa tivéssemos uma fonte sonora, o som emitido de F, se refletiria nas paredes do elipsoide, convergindo em F2.
Figura 8.51
Figura 8.52
A propriedade da reflexão na hipérbole é análoga à da elipse: a reta tangente tem um ponto P da hipérbole é bissetriz do ângulo formado pelos raios focais F₁P e FP, ou seja, α = ẞ (Figura 8.53(a)).
Seja a superfície obtida girando-se uma hipérbole em torno da reta que contém seu eixo real (a superfície é um hiperboloide de duas folhas), e admitindo-se espelhada a parte externa da superfície, todo raio de luz incidente à superfície na direção de um dos focos é refletido na direção do outro foco (Figura 8.53(b)).
A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z ax²+by+cz² +2dxy +2exz+2fyz+mx+ny+pz+q=0
onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero (a fim de assegurar o segundo grau da equação), representa uma superfície quádrica, ou simplesmente uma quádrica.
Observemos que, se a superfície quádrica dada pela equação (1) for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano.
Por exemplo, o traço da superfície quádrica (1) no plano z = 0 é a cônica ax² + by²+2dxy +mx+ny+q=0
contida no plano z = 0, isto é, no plano xOy, e representa uma elipse, uma hipérbole ou uma pa- rábola, pois suas equações gerais são desse tipo. Em casos particulares, no entanto, a equação (2) pode também representar uma reta (3x²=0⇒x=0), ou duas retas (xy=0⇒x=0 ou y=0), ou um ponto (3x²+4y²=0⇒x=y=0) ou o conjunto vazio (x² + y²+3=0). Estes casos constituem as cônicas degeneradas.
A redução da equação geral (1) das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos, o que não é objeto deste texto. Daremos ênfase ao estudo das quádricas represen- tadas por equações denominadas canônicas e intimamente relacionadas às formas reduzidas das cônicas.
Superfície de revolução é a superfície gerada por uma curva plana (chamada geratriz) que gira 360° em torno de uma reta (chamada eixo) situada no plano da curva. Neste caso, o traço da superfície em um plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida pela equação da geratriz.
Seja a superfície gerada pela revolução da parábola z² = 2y x=0 em torno do eixo dos y (Figura 9.1).
Q(0,y,z₁)
P(x,y,z)
Figura 9.1 y Seja P(x,y,z) um ponto qualquer da superfície e C(0,y,0) o centro da circunferência que é o traço da superfície no plano que passa por P e é perpendicular ao eixo dos y (eixo de revolução). A interseção dessa circunferência com a parábola é o ponto Q(0,y,z₁).
Seja R o pé da perpendicular traçada de P ao plano xy. Ainda, CP = CQ = r, por serem raios da mesma circunferência.
Como o triângulo CRP é retângulo em R, vem CP = √(CR)² + (RP)² = √x² + z². Mas = √2y, pois Q é ponto da parábola. Portanto, ou é a equação desta superfície.
que √x²+z² = √2y x²+z² = 2y
Observemos que essa equação (3) pode ser obtida imediatamente pela substituição, na equação z² = 2y (geratriz), de z por√x² + z². Utilizaremos este procedimento para todos os casos de superfície de revolução.
Então, se a geratriz estiver contida em um dos planos coordenados e girar 360° em torno de um dos eixos desse plano, a equação da superfície assim gerada será obtida da seguinte maneira: se a curva gira em torno:
a) do eixo dos x, substitui-se y ou z na equação da curva por √y²+z²; b) do eixo dos y, substitui-se x ou z na equação da curva por √x² +z²;
c) do eixo dos z, substitui-se x ou y na equação da curva por +y
A seguir estudaremos as superfícies quádricas denominadas elipsoides, hiperbo- loides e paraboloides.
Quando da substituição de z por √x²+z² na equação z² = 2y para resultar x² +z² = 2y, considerou-se z≥0. Para ter a superfície completa, devemos substituir z por ±√x²+z², o que não vai alterar em nada a equação (3) da superfície. A mesma observação vale também para as outras substituições anteriormente descritas.
ELIPSOIDES
Consideremos no plano yz a elipse de equações x²+21=1,x=0 (Figura 9.2)
Ao girarmos essa elipse em torno do eixo Oy, obtemos o elipsoide de revolução (Figu- ra 9.3), cuja equação será obtida da equação da elipse, substituindo-se z por ±√x²+z² :
De maneira análoga, obtém-se o elipsoide de revolução em torno de Oz. Neste caso, sua equação é obtida da equação da elipse, subs- tituindo-se y por ±√x² + y²:
=1 c² b² b²
O elipsoide da maneira mais geral (Figura 9.4) é representado pela equação y² z² x²
onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semieixos do elipsoide. Observemos, ainda, que os pontos (±a,0,0), (0,±b,0) e (0,0,±c) são soluções da equação (4), cha- mada forma canônica do elipsoide.
■ Vetores e geometria analítica x² v²
O traço no plano xy é a elipse a² b² x² + z² z²
=1, x=0, respectivamente.
as elipses
=1, y=0 e + b² c² a²
+=1, z=0 e os traços nos planos xz e yz são
Observemos também que as interseções do elipsoide com planos x = k, y = k ou z = k (k = constante), resultam em uma elipse, em um ponto ou no conjunto vazio. No caso de a = b = c, a equação (4) toma a forma ou x² v2 z²
+ + a² a² a =1
² + y²+z² = a²
e representa uma superfície esférica de centro (0, 0, 0) e raio a.
Observemos que essa superfície também é de revolução e obtida pela revolução de uma circunferência em torno de um de seus diâmetros.
Se o centro do elipsoide é o ponto (h, k, l) e seus eixos forem paralelos coordenados, a equação (4) assume a forma obtida por uma translação de eixos.
Exemplos
(x−h)²¸ (y−k)²¸ (z−1)²
1. Determinar uma equação da superfície esférica de centro C e raio r, nos casos:
C(0, 0, 0), r = 4 a)
b) C(2, 4, -1), r = 3
Solução a) Da equação (5), vem imediatamente b)
x² + y²+z² = 4² ou x²+ y²+z²-16=0
Se o centro da superfície esférica é C(h, k, l), por simples translação de eixos a equação (5) assume a forma
(x-h)²+(y-k)²+(z−1)² = r²
(x-2)²+(y-4)²+(z+1)² = 3² x²-4x+4+y2-8y+16+z²+2z+1=9 x²+ y²+z²-4x-8y+2z+12=0
2. Dada a equação da superfície esférica x² + y²+z²+6x-4y-12=0, determinar o centro e o raio.
Solução
Comecemos escrevendo a equação na forma e completemos os quadrados
(x²+6x)+(y²4y)+z²=12
(x²+6x+9)+(y² −4y+4)+(z²)=12+9+4 não esquecendo de somar 9 e 4 ao segundo membro para “equilibrar” a soma feita no primeiro membro.
Logo, a equação fica e, portanto, C(-3, 2, 0) er = 5.
Observação
(x+3)²+(y-2)²+(z-0)²=5²
É fácil ver que uma equação de superfície esférica do tipo (6) representará um ponto se r²=0 (é o próprio centro).
3. Obter uma equação geral do plano л tangente à superfície esférica x² + y²+z²-4x+6y+2z-35=0 no ponto P(4, 3, 2).
Um plano л é tangente a uma superfície esférica de centro Ce raio r se a distância d(C,л) = r, e sendo P o ponto de tangência, o vetor CP é um vetor normal a л. Então, precisamos determinar o ponto C.
Utilizando o método do problema anterior, a equação da superfície esférica será
(x-2)²+(y+3)²+(z+1)² = 49
C e, portanto, C(2, -3, -1).
Como CP=P-C=(2,6,3) é um vetor normal a л, uma equação geral de л é 2x+6y+3z+d=0, e, pelo fato de que P(4,3,2) εл, tem-se 2(4)+6(3)+3(2)+d=0 e d=-32. Logo, uma equação de л é 2x+6y+3z-32=0.
Figura 9.5
HIPERBOLOIDES
Consideremos no plano yz a hipérbole de equações
(Figura 9.6)
==1, x=0 b² c²
Os hiperboloides de revolução serão obtidos por rotações em torno de um de seus eixos.
A rotação dessa hipérbole em torno do eixo Oz resulta no hiperboloide de uma folha (Figura 9.7), cuja equação será obtida da equação da hipérbole substituindo-se y por ±√ √x² + y²:
=1 b?
Um hiperboloide de uma folha, de maneira mais geral, é representado pela equação
a² b² c² chamada forma canônica do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são
■ Capítulo 9 Superfícies quádricas e representam hiperboloides de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente.
A equação (7) mostra que o traço do hiperboloide no plano xy é a elipse respectivamente.
-=1, z=0 b² a² e os traços nos planos xz e yz são as hipérboles z² x² a² z²
=1, y=0 e =1, x=0 b² que o Um traço no plano z = k é uma elipse que aumenta de tamanho à medida plano se afasta do plano xy. Os traços nos planos x = key = k são hipérboles.
É importante assinalar que, embora a Figura 9.7 mostre uma hiperboloide limitada ao longo do eixo Oz, a figura se prolonga indefinidamente ao longo desse eixo (a menos que se restrinja o valor de z a um intervalo limitado). Esta observação estende-se para todas as superfícies a serem apresentadas.
A rotação da hipérbole da Figura 9.6 em torno do eixo Oy resulta no hiperboloi- de de duas folhas (Figura 9.8) cuja equação será obtida da equação dessa hipérbole, substituindo-se z por ±√√x² +z²:
■ Vetores e geometria analítica y² x²+z²
=1 ou c² b²
=1 y Um hiperboloide de duas folhas da maneira mais geral é representado pela equação x² y² z²
=1 a² b² c² chamada forma canônica do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas são x² y² z² a² b² c²
=1 e x² y² z² + =1 a² b² c² e representam hiperboloides de duas folhas ao longo dos eixos Ox e Oz, respectivamente.
Observemos, ainda, que os traços desses hiperboloides nos planos x = k, y = k ou z = k (k = constante) resultam em hipérboles, elipses, um ponto ou o conjunto vazio.
Resumo
As equações dos elipsoides e hiperboloides podem ser reunidas em
z² a² b² e conforme os sinais dos termos do 1º membro, apresentados nesta ordem, temos o seguinte quadro:
Consideremos no plano yz a parábola de equações
, x=0
A rotação dessa parábola em torno do eixo Oz resulta no paraboloide de revolução (Figura 9.10) cuja equação será obtida da equação da parábola, substituindo-se y por ±√x² + y²:
x² y2 z= b² b²
Um paraboloide mais geral, denominado para- boloide elíptico, é representado pela equação
z= b² chamada forma canônica do paraboloide elíptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são x² z² y==+= y² z² e x= a² c² b² c² e representam paraboloides elípticos ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente.
■ Capítulo 9 Superfícies quádricas ao longo do eixo
Oz y Figura 9.9
Ꮓ y Figura 9.10
A equação (8) mostra que o traço do paraboloide no plano xy (z = 0) é a origem (0, 0, 0), os traços nos planos z=k>0 são elipses, nos planos z=k<0 são vazios e nos planos x = key = k são parábolas.
■ Vetores e geometria analítica
A Figura 9.11 representa o paraboloide elíptico de equação y=4x²+z² ou x² y= z² ao longo do eixo Oy.
-1 y
Observemos que no plano y = 4 está a elipse x² +- -=1, e as parábolas, nos planos
x = 0 e z = 0 são y = z², x = 0 e y = 4x², z = 0, respectivamente.
A superfície dada por uma equação do tipo x² z= b² a² é denominada paraboloide hiperbóli- co e esta equação é chamada forma canônica do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo Oz (Figura 9.12). As outras formas são
Z z² x² c² y= x= c² b² e representam paraboloides hiper- bólicos ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente.
Figura 9.12
A equação (9) e a própria Figura 9.12 mostram que os traços nos planos x = ke y = k são parábolas, ao passo que em z = k são hipérboles que se degeneram em duas retas quando z = 0. Na verdade, fazendo z = 0 na equação (9), resulta ou o que implica y² x² -=0 a² b²
=0 a a + b a ou b
■ Capítulo 9 Superfícies quádricas e representam as duas retas anteriormente referidas, podendo ser visualizadas na Figura 9.12. Ainda com relação à equação (9), observemos que quando z=k>0, os traços nesses planos são hipérboles com eixo real paralelo a Oy, enquanto que para z=k<0, os traços são hipérboles de eixo real paralelo a Ox.
SUPERFÍCIES CÔNICAS
Ꮓ g y Figura 9.13 g y Figura 9.14
Consideremos no plano yz a reta g de equações z=my, x=0 (Figura 9.13).
A rotação desta reta em torno do eixo Oz resulta na superfície cônica circular (Figura 9.14) cuja equação será obtida da equação da reta substituindo-se y por ±√x² + y²:
z=m(±√x² + y²)
z² = m² (x² + y²)
A reta gé chamada geratriz da superfície, e o ponto O, que separa as duas folhas, ■ Vetores e geometria analítica é o vértice da superfície.
Uma superfície cônica mais geral, denominada superfície cônica elíptica, é repre- sentada pela equação
chamada forma canônica da superfície cônica ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são x² + a c² z²
e b2 e representam superfícies cônicas elípticas ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. A equação (10) mostra que o traço da superfície no plano xy (z = 0) é o ponto O(0, 0, 0) e, em z = k, são elipses. Os traços nos planos x = k ou y = k são hipérboles que se degeneram em duas retas no caso de x = 0 ou y = 0.
Se a reta z = 2y, x = 0, do plano yz é girada em torno de Oz, a superfície de revo- lução resultante é a superfície cônica circular de vértice na origem e eixo coincidindo com Oz, e cuja equação se obtém de z = 2y substituindo y por ±√x² + y²:
Observação z = ±2√x² + y² z²=4(x² + y²)
No caso dos hiperboloides, paraboloides e superfícies cônicas de centro ou vértice no ponto (h, k, l) e eixo paralelo a um eixo coordenado, de forma análoga ao que foi feito para o elipsoide, as equações serão obtidas das correspondentes formas canônicas substituindo-se x por x - h, y por y - ke z por z - 1.
Seja C uma curva plana e r uma reta fixa não paralela ao plano de C.
Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g que se move paralelamente à reta fixa r em contato permanente com a curva plana C.
A reta g que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica (Figura 9.15).
Esta superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz.
Em nosso estudo consideraremos apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra em um dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular ao plano da diretriz.
Para exemplificar, consideremos a parábola no plano xy dada por x² = 2y
■ Capítulo 9 Superfícies quádricas
(na verdade a parábola tem equações x²=2y, z=0).
Como a geratriz é uma reta paralela ao eixo Oz, a superfície cilíndrica está ao longo deste eixo (Figura 9.16).
Figura 9.15
Figura 9.16 y É importante observar que se tomarmos um ponto da diretriz, por exemplo A(2, 2, 0), todo ponto do tipo (2, 2, z), para z real qualquer, também satisfaz a equa- ção (11), pois esta pode ser vista como x² = 2y+0z. Em outras palavras, a superfície contém o ponto A e toda reta por A paralela ao eixo Oz. Significa dizer: o valor de z não influencia no fato de um ponto P(x, y, z) pertencer ou não à superfície. Então, como para o ponto só interessam as variáveis x e y, a própria equação da diretriz é a equação da superfície cilíndrica, ou seja, x² = 2y
A ausência da variável z para este caso permite concluir de modo geral: o gráfico em três dimensões de uma equação que não apresenta uma determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. E, ainda, conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. Portanto, a Figura 9.16 apresenta uma superfície cilíndrica parabólica ao longo do eixo Oz.
representa uma superfície cilíndrica elíptica (a diretriz é uma elipse) ao longo do eixo Oy (y é a variável ausente) (Figura 9.17).
1. Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.
a) Centro C(2, -3, 1) e raio 4.
b) Centro C(4, -1, -2) e passando por P(2, 3, -1).
c) O segmento de extremos A(-1, 3, -5) e B(5, −1, −3) é um de seus diâmetros.
d) Centro C(-2, 3, 4) e tangente ao eixo Oz.
e) Centro C(0, -4, 3) e tangente ao plano л:x+2y2z2=0.
2. Determinar uma equação da superfície esférica de centro C(2, -3, 4) e a) tangente ao plano xOy.
b) tangente ao plano xOz.
c) tangente ao plano yOz.
3. Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P.
4. Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado.
c) x² + y² = 9, z = 0; eixo Ox.
-y² = 1, x = 0; eixo Oy.
-y² = 1, x = 0; eixo Oz.
f) y=4x², z = 0; eixo Oy.
g) z=-2y2, x = 0; eixo Oz.
h) z=2y, x = 0; eixo Oz.
i) z=2y, x = 0; eixo Oy.
j) y=x, z = 0; eixo Oy.
5. Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico.
a) x² + y²+z²=25 b) 2x²+4y²+z²-16=0 c) 36x²+16y²+9z²-144=0 d) 36x²+16y²-9z²-144=0 e) 4x²-y²+4z²-4=0 f) z²-4x²-4y²=4 g) 4x²-y²+2z² +4=0 h) 4x²+z2-y=0 i) 9x²+4y²+9z=0 j) y²+4z2-x=0 k) z=y²-x²
1) 36x²-4y²+9z² =0 m) 4x²+4y² z² = 0 n) z = x² + y²
0) z=2+x² + y² p) z=-x²-y² q) z=6-x²-y² r) y=-2+x²+z² s) x² + y² = 9 t) x²+z=0 u) z=4-x² x² v)
6. Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
b) 3x²-y²+2z²=0, -6≤y≤6 c) z²x²+ y²+1, −3≤z≤3 d) z²x² + y²-1, -3≤z≤3 z² e) y=-2+x²+3 f) y=6-x²-z², -3≤y≤6 g) x²=2z, -3≤y≤5 h) x²-y²+z20, -4≤y≤4 x=-4+ 4+-+2²-45x55 i)
k) y²+4z²=x, 0≤x≤4
1) y²+4z²-4=0, -4≤x≤6 m) y²x²=16, 0≤z≤4 n) z=9-y², -4≤x≤4 que eixo
7. Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de elas ocorrem, conforme o caso.
■ Vetores e geometria analítica a) 25x2 +100y²+36z²-900=0
= √9-x² - y² z=-√√16-x²-y² b)
d) y=√16x²+4z² e) z² = x² + y² f) 12x²+4y2-3z2 +12=0 g)
8. Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano л dado. Representar
graficamente esta interseção no plano л.
a) S: y²-4z2-2x=0ел:x-2=0 b) S: 4x²+4y²-z²=0 ел:z=4 v2 c) S:z=-
9. Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
a) x²+ y²+z²-6x+4y+9=0 b) x²+4y²+8x-8y-4z+28=0 c) 4x²-2y²+z2-24x-4y+8z+42=0 d) 2x² + y²-4z² +2y+5=0 e) x² + y²-2y=0 f) y²-4z²-4x-6y-24z-31=0 g) 6x²+3y²+2z² +24x-6y-12z+39=0 h) x²-4x-z+6=0 i) 2x²-6y²-3z²-24y+6z-27=0 j) x²+ y²-4x-6y-z+12=0 x² y² z² 4 8 16 d) S:
e) S: x²+y+z²=0ел:у+4=0
S: 18x²+9y2-2z²-18=0 еπ: z=3
10. O traço de um elipsoide (centro na origem) no plano xy é a elipse x²+12=1, z=0. Determinar a equação do elipsoide, sabendo que contém o ponto (0,1,√6).
11. Deduzir uma equação do paraboloide de vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano z = 4 é a circunferência de centro (0, 0, 4) e raio 3.
12. Determinar os vértices e os focos da elipse
=1, z=3.
1. a) x² + y²+z²-4x+6y-2z-2=0 b) x²+ y²+z²-8x+2y+4z=0 c) x²+ y²+z²-4x-2y+8z+7=0 d) x² + y²+z+4x-6y-8z+16=0 e) 9x²+9y²+9z² +72y-54z-31=0
2. a) x² + y²+z²-4x+6y-8z+13=0 b) x²+ y²+z²-4x+6y-8z+20=0 c) x² + y²+z²-4x+6y-8z+25=0
+ -=1, superfície esférica de raio 5
-+z², paraboloide elíptico h) y= paraboloide elíptico i)
i) x = y²+2², paraboloide elíptico k) paraboloide hiperbólico x² z²
0) paraboloide circular p) paraboloide circular q) paraboloide circular r) paraboloide circular s) superfície cilíndrica circular t) superfície cilíndrica parabólica u) superfície cilíndrica parabólica v) superfície cilíndrica hiperbólica
6. a) paraboloide elíptico b) superfície cônica c) hiperboloide de duas folhas d) hiperboloide de uma folha
e) paraboloide elíptico f) paraboloide circular g) superfície cilíndrica parabólica h) superfície cônica circular i) paraboloide elíptico j) paraboloide elíptico k) paraboloide elíptico
1) superfície cilíndrica elíptica m) superfície cilíndrica hiperbólica n) superfície cilíndrica parabólica
7. a) elipsoide b) semissuperfície esférica superior de raio 3 c) semissuperfície esférica inferior de raio 4 d) semissuperfície cônica ao longo de Oy e) superfície cônica circular ao longo de Oz f) hiperboloide de duas folhas ao longo de Oz g) semi-hiperboloide de uma folha ao longo de Oz h) semi-hiperboloide de duas folhas ao longo de Oz i) semissuperfície cônica inferior ao longo de Oz j) semissuperfície cônica ao longo de Oz k) superfície cilíndrica parabólica ao longo de Oy 1) plano que contém o eixo Oz
8. a) paraboloide hiperbólico e hipérbole b) superfície cônica e circunferência c) paraboloide hiperbólico e hipérbole d) hiperboloide de duas folhas e ponto (2, 0, 0)
e) paraboloide elíptico e circunferência f) hiperboloide de uma folha e elipse
9. a) superfície esférica, centro (3, -2, 0) e raio 2 b) paraboloide elíptico, vértice (-4, 1, 2), eixo paralelo a Oz c) hiperboloide de uma folha, centro (3, −1, −4), eixo paralelo a Oy d) hiperboloide de duas folhas, centro (0, -1, 0), eixo paralelo a Oz e) superfície cilíndrica circular, geratriz paralela a Oz
paraboloide hiperbólico, centro (−1, 3, -3), ao longo de Ox elipsoide, centro (−2, 1, 3), eixo maior paralelo a Oz superfície cilíndrica parabólica, geratriz paralela a Oy superfície cônica, vértice (0, -2, 1), eixo paralelo a Ox j) paraboloide circular, vértice (2, 3, −1), eixo paralelo a Oz
10. x²+ y² z²
11. 4x²+4y²-9z=0
12. vértices: (0,±4,3) e (±2,0,3), focos: (0,±2√3,3).
AYRES, Jr. Frank. Geometria analítica plana e sólida. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1973.
BOULUS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
CAROLI, Alésio João de; CALLIOLI, Carlos Alberto; FEITOSA, Miguel Oliva. Vetores, geometria analítica: teoria e exercícios. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1968.
KINDLE, J. H. Geometria analítica. Coleção Schaum. México: McGraw-Hill, 1970.
KLETENIK, D. Problemas de geometria analítica. Moscou: Editorial Mir, 1968.
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática, 1993.
MARSDEN, Jerrold E.; TROMBA, Anthony J. Vector calculus. 4. ed. Nova York: W. H. Freeman and Company, 1996.
REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Lima da. Geometria analítica. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1984.
RIGHETTO, Armando. Vetores e geometria analítica. São Paulo: IBLC - Instituto Brasileiro do Livro Científico Ltda., 1988.
SHENK, Al. Cálculo e geometria analítica. Rio de Janeiro: Campus Ltda., 1984.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. v. 2. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda., 1994.
VENTURI, Jaci J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 3. ed. Curitiba: Scientia et Labor - Editora da UFPR, 1990.
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
2ª edição
Vetores e Geometria Analítica, em sua segunda edição, revista e aprimorada, por conta de sua abordagem eminentemente didática e rica em exemplos, com figuras e exercí- cios resolvidos e propostos, pode ser utilizado em cursos de diferentes estruturas e indicado para várias etapas de aprendizado.
A obra apresenta de forma acessível conteúdos concernentes aos cursos de matemá- tica, física, química, ciência da computação e às várias áreas da engenharia, abordando: vetores; produto escalar, vetorial e misto; a reta e o plano; distâncias; cônicas e super- fícies quádricas. Trata-se de obra de referência conhecida por inúmeros professores e estudantes e adotada em diversas instituições de ensino.
Bacharel e licenciado em matemática pela PUC-RS, Paulo Winterle atuou como professor de matemática desde 1959 em diferentes níveis – alfabetização, ensino fundamental e médio, cursos pré-vestibulares e ensino superior. Foi pro- fessor universitário da UFRGS por 26 anos e da PUC-RS por 42 anos, em diversos cursos de graduação. Além disso, participou de comissões de concursos públicos e integrou equipes de elaboração de provas de vestibular dessas uni- versidades. É autor de obras didáticas de matemática para o ensino médio e fez quatro livros de geometria analítica e álgebra linear para o ensino superior, oriundos de sua experiência e estudos incessantes na área.
ISBN 978-85-430-0239-2