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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS
Sumário MÓDULO 1: Lógica Proposicional, Estruturas Lógicas e Argumentação 1.
Estrutura Lógica de Relações Arbitrárias (Pessoas, Lugares e Eventos) 2. Processo Lógico Deduutivo e Validade de Conclusões 3. Raciocínio Verbal, Sequencial, Espacial e Temporal MÓDULO 2: Conjuntos Numéricos e Aritmética Fundamental 1. Números Inteiros e Racionais: Operações, Potenciação e Expressões Numéricas 2. Múltiplos, Divisores, MMC, MDC e Problemas Aplicados MÓDULO
Frações, Razões, Proporções e 1. Operações Avançadas com Frações e Resolução de Problemas 2. Razão, Proporção e Divisão em Partes Proporcionais 3. Regra de Três Simples e Composta, Porcentagem, Acréscimos e Descontos MÓDULO 4: Análise Combinatória e Contagem 1. Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo 2. Permutações Simples e Combinações Simples MÓDULO 5: Noções de Estatística 1. Medidas de Tendência Central: Média Simples, Média Ponderada, Moda e Mediana 2. Medidas de Dispersão: Amplitude, Desvio Médio, Variância e Desvio Padrão 3. Leitura e Interpretação de Gráficos (Histogramas, Setores) e Tabelas
Fundamentos Matemáticos e Raciocínio Lógico Raciocínio
Lógico-Dedutivo:
Análise rigorosa de premissas, dedução de regras, verificação formal de validade e construção de matrizes de associação binária.
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Matemática numéricas
Quantitativa e fundamentais, proporcionalidade simples e Aplicada: aritmética
Operações exata, composta, análise de contagem combinatória e inferência estatística descritiva.
MÓDULO 1: Lógica Proposicional, Estruturas Lógicas e Argumentação
1. Estrutura Lógica de Relações Arbitrárias (Pessoas, Lugares e Eventos)
A resolução de problemas de associação lógica exige correlacionar elementos de diferentes conjuntos (pessoas, profissões, cidades, objetos, horários) a partir de informações diretas e indiretas fornecidas pelas premissas. O objetivo é construir uma matriz binária que relacione cada elemento de forma biunívoca, respeitando a premissa de que cada indivíduo possui uma única atribuição exclusiva.
Tabelas de Associação Cruzada: Construção de matrizes onde as linhas e colunas representam os atributos. Preenche-se com "V" (Verdadeiro) ou "1" quando a relação é confirmada, e "X" (Falso) ou "0" para eliminações. Lembre-se: ao confirmar um "V" em uma célula, toda a linha e coluna correspondentes àquele subconjunto devem ser preenchidas com "X". Exemplo Resolvido Passo a Passo: Três auditores (Ana, Bruno e Carlos) trabalham em setores diferentes (Fiscalização, Arrecadação e TI) e utilizam meios de transporte distintos (Carro, Metrô e Moto). Sabendo que: 1) O encarregado da TI vai de Moto. 2) Bruno não trabalha na Arrecadação e não vai de Carro. 3) Ana trabalha na Fiscalização e não vai de Metrô. Descubra a relação completa. Passo 1 (Análise das Premissas Diretas): Pela premissa 3, Ana trabalha na Fiscalização (V). Logo, Bruno e Carlos não trabalham na Fiscalização. Como Bruno também não
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Apostilas Capixabas - silvana.nlojas.com.br trabalha na Arrecadação (premissa 2), conclui-se que Bruno trabalha no setor de TI (V). Resta para Carlos o setor de Arrecadação (V). Passo 2 (Associação com Meios de Transporte): Pela premissa 1, quem trabalha na TI vai de Moto. Como Bruno é da TI, Bruno vai de Moto (V). A premissa 3 afirma que Ana não vai de Metrô. Como Moto é de Bruno e Metrô não é de Ana, Ana só pode ir de Carro (V). Por eliminação, Carlos vai de Metrô (V). Conclusão: Ana = Fiscalização / Carro; Bruno = TI / Moto; Carlos = Arrecadação / Metrô.
2. Processo Lógico Dedutivo e Validade de Conclusões
Um argumento dedutivo é constituído por um conjunto de premissas (P1, P2, Pn) e uma conclusão (C). O argumento é considerado válido quando a verdade das premissas garante obrigatoriamente a verdade da conclusão. Se for possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa, o argumento é inválido (falácia)
Regras Infalíveis de Inferência: • Modus Ponens (Afirmação do Antecedente): Se P → Q é verdadeiro e P é verdadeiro, então Q é obrigatoriamente verdadeiro. • Modus Tollens (Negação do Consequente): Se P → Q é verdadeiro e ~Q é verdadeiro (Q é falso), então ~P é obrigatoriamente verdadeiro (P é falso). • Silogismo Hipotético: Se P → Q e Q → R são verdadeiros, deduz-se que P → R é verdadeiro. Exemplo Resolvido de Validade: Considere as premissas: P1: Se o edital for publicado, então João estudará. P2: Se João estudar, ele será aprovado. P3: João não foi aprovado. O que se pode concluir? Resolução: P3 indica que "João foi aprovado" é Falso. Aplicando Modus Tollens em P2 (Se estudar → aprovado), como a conclusão é falsa, o antecedente deve ser falso: "João estudou" é Falso (João não estudou). Aplicando Modus Tollens em P1 (Se edital publicado → estudou), como "João estudou" é Falso, o antecedente também é falso: "O edital foi publicado" é Falso. Portanto, conclui-se validamente que o edital não foi publicado.
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Esta seção avalia a capacidade de identificar padrões lógicos subjacentes em diferentes representações de dados: Raciocínio Sequencial Numérico e Figurativo: Identificação de razões de progressões aritméticas ou geométricas, sequências de Fibonacci, números primos, diferenças de segunda ordem ou rotação de elementos visuais. • Raciocínio Temporal: Cálculos envolvendo ciclos calendários (resto da divisão por 7 para dias da semana) e anos bissextos (múltiplos de 4, exceto centenários não múltiplos de 400). Exemplo Resolvido (Temporal): Se o dia 15 de março de um determinado ano não bissexto caiu em uma terça-feira, em qual dia da semana caiu o dia 25 de dezembro do mesmo ano? Resolução: Calcula-se o total de dias transcorridos entre 15 de março e 25 de dezembro: Março (31 - 15 = 16 dias), Abril (30), Maio (31), Junho (30), Julho (31), Agosto (31), Setembro (30), Outubro (31), Novembro (30), Dezembro
(25). Soma total = 16 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 25 = 285 dias. Divide-se por 7: 285 ÷ 7 = 40 semanas completas e RESTO 5. Avança-se 5 dias a partir da terça-feira: Quarta (1), Quinta (2), Sexta (3), Sábado (4), Domingo (5). Portanto, 25 de dezembro caiu em um Domingo.
4. Tabela-Verdade e Tabela Resumo dos Conectivos Lógicos
Para fins de prova, dominar as condições de valoração exatas dos conectivos fundamentais é indispensável. A tabela a seguir sintetiza as regras lógicas essenciais:
Verdadeira apenas AMBAS se as Estudou e foi aprovado.
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Exemplo em Linguagem Natural proposições forem verdadeiras.
Verdadeira se PELO MENOS UMA proposição for verdadeira.
Canta ou toca violão.
Falsa APENAS se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa (V → F).
Se então chover, usarei guarda-chuva.
Verdadeira quando ambas tiverem o MESMO valor lógico (V-V ou F-F).
Verdadeira APENAS se exatamente UMA proposição for verdadeira.
Ou viaja trabalha.
O estudo estruturado dos conjuntos numéricos forma a base operacional indispensável para calcular grandezas, simplificar expressões e resolver equações em concursos.
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1. Operações em Z e Q, Potenciação e Expressões Numéricas
Conjunto dos Números Inteiros (Z) e Racionais (Q): Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Q abrange todos os números que podem ser escritos na forma a/b, com a, b
Z e b ≠ 0 (inclui inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas). Propriedades da Potenciação: 1) aⁿ · aᵐ = aⁿ ᵐ | 2) aⁿ / aᵐ = aⁿ ᵐ | 3) (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ | 4) a ⁿ = 1 / aⁿ | 5) (a/b) ⁿ = (b/a)ⁿ | 6) a⁰ = 1 (para a ≠ 0). Hierarquia Rigorosa das Expressões Numéricas: 1º Operadores de Radiciação e Potenciação; 2º Multiplicação e Divisão (na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita); 3º Adição e Subtração. Respeite os símbolos de prioridade: 1º Parênteses ( ), 2º Colchetes [ ], 3º Chaves {
Exemplo Resolvido de Expressão Completa: Calcule o valor de E = 5 - { -2 + 3 × [ 2⁴ - ( 12 ÷ 3 + 2³ ) ] }. Resolução: Resolve-se primeiramente a potência no parêntese: 2³ = 8. Parêntese: (12 ÷ 3 + 8) = (4 + 8) = 12. Resolve-se a potência dentro do colchete: 2⁴
Colchete: [16 - 12] = 4. Multiplicação na chave: 3 × 4 = 12. Chave: {-2 + 12} = 10. Final: E = 5 - 10 = -5.
Critérios de Aplicação Prática: Mínimo Múltiplo Comum (MMC): Utilizado quando o problema envolve eventos periódicos que ocorrem de forma simultânea e pergunta-se quando voltarão a coincidir no futuro. • Máximo Divisor Comum (MDC): Utilizado quando se deseja cortar, dividir ou distribuir grandezas distintas em partes iguais do maior tamanho possível sem deixar sobras. Exemplo Resolvido de MMC: Três linhas de ônibus passam pelo mesmo ponto inicial em intervalos de 15, 20 e 25 minutos. Se saíram juntas às 6h00, qual será o próximo horário de partida simultânea? Resolução: Fatoração simultânea de 15, 20, 25: por 2 → 15, 10, 25; por 2 → 15, 5, 25; por 3 → 5, 5, 25; por 5 → 1, 1, 5; por 5 → 1, 1, 1. MMC(15, 20, 25) = 2² × 3¹ × 5² = 4 ×
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3 × 25 = 300 minutos. Convertendo 300 minutos em horas: 300 ÷ 60 = 5 horas. Horário: 6h + 5h = 11h00.
MÓDULO
Porcentagem
Frações, Razões, Proporções e 1. Operações com Frações e Resolução de Problemas
Uma fração a/b representa a divisão da parte pelo todo. Operações fundamentais: Adição/Subtração: Exige denominadores iguais. Caso sejam diferentes, reduz-se ao mesmo denominador utilizando o MMC. Multiplicação: Multiplicam-se numeradores por numeradores e denominadores por denominadores: (a/b) × (c/d) = (a·c)/(b·d). • Divisão: Mantém-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c).
Exemplo Resolvido de Problema com Frações: Um funcionário gastou 1/3 do seu salário com aluguel e 2/5 do restante com alimentação, ficando ainda com R$ 1.800,00. Qual era o seu salário total? Resolução: Salário total = S. Após o aluguel (1/3), restou: 1 - 1/3 = 2/3 S. Com alimentação ele gastou 2/5 do restante, ou seja, gastou (2/5) × (2/3 S) = 4/15 S. A fração restante total após ambos os gastos é: (2/3 S) - (4/15 S) = (10/15 S) - (4/15 S) = 6/15 S = 2/5 S. Como a fração restante equivale a R$ 1.800,00: (2/5) S = 1800 9000
S = R$ 4.500,00.
2S =
2. Razão, Proporção e Divisão em Partes Proporcionais
Razão é o quociente entre duas grandezas a/b. Proporção é a igualdade a/b = c/d, onde a·d = b·c. Divisão Proporcional Direta e Inversa: Para dividir uma quantia N de forma diretamente proporcional aos números x, y, z, utiliza-se a constante de proporcionalidade k = N / (x + y + z), e cada parte será x·k, y·k e z·k. Para divisão inversamente proporcional aos números x, y, z, divide-se
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Apostilas Capixabas - silvana.nlojas.com.br de forma diretamente proporcional aos seus inversos: 1/x, 1/y, 1/z. Exemplo Resolvido (Divisão Inversamente Proporcional): Divida um prêmio de R$ 6.200,00 entre dois funcionários de forma inversamente proporcional ao número de faltas acumuladas por eles, que foram 2 e 3 faltas. Quanto receberá o funcionário com menos faltas? Resolução: A divisão será diretamente proporcional aos inversos: 1/2 e 1/3. Soma dos inversos: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Calcula-se a constante de proporcionalidade k = 6200 ÷ (5/6) = 6200 × (6/5) = 7440. O funcionário com menos faltas (2 faltas) receberá: (1/2) 3.720,00.
3. Regra de Três Composta, Porcentagem e Fatores de Multiplicação
A regra de três composta envolve três ou mais grandezas. O método seguro de resolução consiste em isolar a razão que contém a incógnita x e compará-la individualmente com cada uma das outras grandezas para determinar se são diretamente ou inversamente proporcionais. Exemplo Resolvido de Regra de Três Composta: Em uma gráfica, 8 impressoras idênticas imprimem 120.000 panfletos funcionando 6 horas por dia durante 5 dias. Quantas impressoras idênticas serão necessárias para imprimir 180.000 panfletos, funcionando 8 horas por dia durante 3 dias? Resolução: Monta-se a relação fixando a coluna das Impressoras (x): 8/x. Comparação: 1) Panfletos: Mais panfletos exigem mais impressoras
(Direta: 120.000/180.000 = 2/3). 2) Horas/dia: Mais horas por dia exigem menos impressoras (Inversa: inverte para 8/6 = 4/3). 3) Dias: Menos dias exigem mais impressoras (Inversa: inverte para 3/5). Equação: 8/x = (2/3) × (4/3) × (3/5)
8/x = 24 / 45
24x = 360 x = 15 impressoras. Regra de Três Simples: Método para descobrir um valor desconhecido a partir de três valores conhecidos. Deve-se identificar primeiramente se as grandezas são diretas ou inversas.
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Cálculo de Porcentagem: Razão cujo denominador é 100. Acréscimos (multiplica-se por 1 i) e Descontos
(multiplica-se por 1 - i).
MÓDULO 4: Análise Combinatória e Contagem
1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC) e Agrupamentos
Diferença Crucial entre Arranjo, Permutação e Combinação: • Permutação Simples: Utiliza todos os n elementos disponíveis em ordens distintas. P = n!. • Arranjo Simples: Escolhe-se k elementos de um total de n, onde a ORDEM dos elementos IMPORTA (ex: senhas, cargos diferenciados como Presidente e Vice). A , = n! / (n - k)!.
• Combinação Simples: Escolhe-se k elementos de um total de n, onde a ORDEM dos elementos NÃO IMPORTA (ex: comissões, equipes de trabalho, escolha de objetos). C , = n! / [k! · (n - k)!]. Princípio Multiplicativo (E): Se uma decisão atua em etapas sucessivas n1 e n2, o total de possibilidades é n1 × n2. Princípio Aditivo (OU): Se as opções forem mutuamente exclusivas, soma-se o total de possibilidades. Agrupamentos Combinatórios: Permutação Simples: Ordenação de todos os elementos de um conjunto. Pn = n!.
Exemplo
Resolvido
(Combinação com Restrição): Um órgão público dispõe de 6 advogados e 5 contadores. Pretende-se formar uma comissão de trabalho composta por 4 membros, contendo obrigatoriamente exatamente 2 advogados e 2 contadores. De quantas maneiras essa comissão pode ser formada? Resolução: A escolha dos advogados não depende da ordem: C6,2 = 6! / (2! · 4!) = (6 × 5) / 2 = 15 maneiras. A Apostilas Capixabas - silvana.nlojas.com.br
Apostilas Capixabas - silvana.nlojas.com.br escolha dos contadores não depende da ordem: C5,2 = 5! / (2! · 3!) = (5 × 4) / 2 = 10 maneiras. Pelo Princípio Multiplicativo (E), o total de comissões possíveis é: 15 × 10 = 150 maneiras distintas.
MÓDULO 5: Noções de Estatística Descritiva
1. Medidas de Tendência Central (Média, Moda e Mediana)
Medidas de Posição:
Média aritmética simples/ponderada, Mediana (elemento central com o rol ordenado) e Moda (valor de maior frequência).
2. Medidas de Dispersão e Análise Gráfica
Definição Rigorosa das Fórmulas de Dispersão:
• Amplitude Total (A): Diferença entre o maior e o menor valor do conjunto observado: A = X_máx - X_mín. • Variância Populacional (σ²): Média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média: σ² = Σ (xᵢ - x̄)² / N. Desvio Padrão (σ): Raiz quadrada positiva da variância: σ = √(σ²). Expressa a dispersão dos dados na mesma unidade da variável original. Exemplo Resolvido de Variância e Desvio Padrão: Considere os salários diários em reais de 4 estagiários: 100, 120, 140, 160. Calcule a média, a variância e o desvio padrão populacional. Resolução: 1) Média x̄ = (100 + 120 + 140 + 160) / 4 = 520 / 4 = R$ 130,00. 2) Desvios (xᵢ - x̄): -30, -10, +10, +30. 3) Quadrados dos desvios: (-30)² = 900; (-10)² = 100; (10)² = 100; (30)² = 900. 4) Variância σ² = (900 + 100 + 100 + 900) / 4 = 2000 / 4 = 500 R$². 5) Desvio Padrão σ = √500 = √(100 × 5) = 10√5 ≈ 22,36 reais.
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Interpretação de Dados: Análise visual rigorosa de histogramas, gráficos de setores (pizza), gráficos de barras, infográficos e tabelas de distribuição estatística.
Ana = Fiscalização / Carro; Brun Arrecadação / Metrô.
Problemas Frações de Aplicando Modus Tollens suc validamente que o edital não foi p
285 dias transcorridos (resto 5 Avançando a partir da terça-feira cai num Domingo.
E = 5 - { -2 + 3 × [ 2⁴ - ( 12 ÷ 3 +
MMC(15, 20, 25) = 300 minu horário de partida simultânea: 11h com Fração restante (2/5 S) = R$ 1.8 R$ 4.500,00.
Divisão proporcional aos inversos (1/2 e 1 com menos faltas recebe R$ 3.720,00.
Regra de Composta
Três 8/x = (2/3) × (4/3) × (3/5)
Combinação Restrição com C(6,2) × C(5,2) = 15 × 10 = 150 mane formar a comissão.
Variância e Desvio Média = R$ 130,00; Variância = 500 R$² Padrão
≈ R$ 22,36.
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