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© Copyright da edição 2026: Editora Interdisciplinar.
O Copyright do texto original: Olavo Garantizado e Claudênia Lemos.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia da Editora Interdisciplinar e dos autores, poderá ser publicada ou transmitida sejam quais forem os meios. empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros meios de comunicação.
Produção: Editora Interdisciplinar Diretor Geral: Júnior Pinho
Edição: Olavo Garantizado
Idealização e Coordenação do Projeto: Claudênia Lemos
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Projeto Consolidando Habilidades : matemática : 9° ano ensino fundamental : módulos 1 e 2 livro do aluno / Vandilberto Pereira Pinto. CE: Grupo de Educação Interdisciplinar e Fortaleza, Educacional, 2024.
Envidamos nossos melhores esforços para localizar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. Ficamos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de créditos e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele faz alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendações ou incentivo ao consumo.
Olá, estudante!
Você está pronto para uma incrível aventura de aprendizagem? Apresentamos o Projeto Consolidando Habilidades. Este material didático foi especialmente desenvolvido para auxiliar no seu desenvolvimento das habilidades essenciais, levando em consideração as habilidades prévias adquiridas em séries anteriores. Aqui, você encontrará atividades divertidas que poderão ser realizadas individualmente ou coletivamente.
A estrutura da coleção foi planejada para garantir um desenvolvimento progressivo e sistemático, começando pela revisão dos conhecimentos já adquiridos e avançando para a aplicação prática das habilidades por meio de atividades e itens-teste. O material também apresenta questões de múltipla escolha, elaboradas de acordo com as orientações do Saeb.
Você terá a oportunidade de realizar uma autoavaliação, refletindo sobre o processo de aprendizagem e trabalhando habilidades socioemocionais, principalmente nas atividades em equipe.
Desejamos que este material seja uma experiência enriquecedora, desafiadora e inspiradora, contribuindo para o seu crescimento.
Vamos nessa!
1.3 Multiplicação e divisão com Números Naturais e Inteiros
2 PROGREDINDO OS CONHECIMENTOS
2.1 O conjunto dos Números Racionais e Irracionais
2.2 Atividade extra: Testando os Conhecimentos 2.3 Conjuntos de Número Reais
1 REVISANDO CONHECIMENTOS PRÉVIOS
1.1 Releitura dos Conjuntos Numéricos_
1.2 Atividade extra: Testando os Conhecimentos_ 1.3 Potenciação de Números Inteiros na base
2 PROGREDINDO OS CONHECIMENTOS
2.1 Potências de base racional com expoente natural ou inteiro 2.2 Atividade extra: Testando os Conhecimentos
2.3 Potência com Números Reais e Propriedades das Potências
3 CONSOLIDANDO AS HABILIDADES
3.1 Desafio de Aprendizagem 3.2 Correção coletiva do teste
O conjunto dos Números Reais
(EF03MA01) Ler, escrever e comparar números naturais de até a ordem de unidade de milhar, estabelecendo relações entre os registros numéricos e em língua materna. (EF03MA05) Utilizar diferentes procedimentos de cálculo mental e escrito, inclusive os convencionais, para resolver problemas significativos envolvendo adição e subtração com números naturais.
► (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros. (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
► (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.
► (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
(EF03MA02) Identificar características do sistema de numeração decimal, utilizando a composição e a decomposição de número natural de até quatro ordens.
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias
► (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
► (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimula a localização de alguns deles na reta numérica.
Módulo 1
A matemática está presente em praticamente tudo o que fazemos.
Quando fazemos compras, controlamos o tempo, medimos distâncias ou verificamos a temperatura, estamos utilizando números e conceitos matemáticos mesmo sem perceber. Os números nos ajudam a organizar informações, comparar grandezas e tomar decisões. Eles aparecem nas contas de luz e de água, no relógio, nas placas de velocidade, nas receitas. culinárias e até nas estatísticas que vemos em jornais e redes sociais.
Aprender matemática é desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de resolver problemas de modo estruturado. Ao compreender como os números funcionam, tornamo-nos capazes de interpretar melhor o mundo, planejar ações e agir com segurança.
Reflexão:
Pense em três momentos do seu dia em que você utilizou números, mesmo que sem perceber.
Eles estão em todos os lugares: nos horários, nos valores, nas medidas e até nas escolhas que fazemos.
Entre os muitos tipos de números que usamos, um dos conjuntos mais importantes é o dos números reais. Esse conjunto reúne todos os números estudados até aqui: os naturais, os inteiros, os racionais, além dos irracionais, que não podem ser escritos na forma de fração.
Os números reais permitem representar medidas contínuas, como comprimento, temperatura, tempo e massa, e são a base de grande parte dos cálculos e conceitos matemáticos.
Como vimos anteriormente, os números reais aparecem constantemente em nosso cotidiano. Eles podem ser observados:
No registro da duração de uma atividade (1,75 h).
No controle da massa de alimentos (2,3 kg).
► Na contagem do tempo de um percurso (0,8 s).
► Na leitura do peso corporal em uma balança (68,4 kg).
Em todas essas situações, usamos números que pertencem ao conjunto dos números reais.
Compreender os números reais é compreender uma das principais linguagens da matemática, uma linguagem que traduz o mundo de maneira exata, organizada e confiável.
Módulo 1
Os números ligados a uma contagem são os números naturais. Os números naturais. constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, representado por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Quando se exclui o zero do conjunto N, temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicado por N*: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Observação
Em atividades de contagem de objetos( ex.: alunos em sala), usamos N*.
O zero é importante para representar ausência de elementos (ex.: "0 vagas disponíveis").
Os números usados para indicar tanto ganhos quanto perdas, avanços quanto recuos, aumentos e diminuições, são chamados de números inteiros.
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z.
onde:
Observação
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
Composição do conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado por três subconjuntos:
Z = Z¯ U {0} U Z+
Z = {1, 2, 3, 4, 5, ...} são os inteiros positivos;
► Z = {-1, -2, -3, -4, -5, ...} são os inteiros negativos;
zero (0) é neutro, ou seja, não é positivo nem negativo.
Os números negativos surgiram da necessidade de representar situações de falta, dívida, temperaturas abaixo de zero e outras ideias de oposição ou direção contrária.
Exemplos do cotidiano:
Temperatura: -5 °C indica 5 graus abaixo de zero.
• Andares de um prédio: o 2º subsolo é representado por -2.
• Dinheiro: saldo de -30 reais significa uma dívida de R$ 30,00.
• Jogos: se uma equipe perde 3 pontos, representamos como -3.
Módulo 1
Agora, pense e responda:
1. Observe as situações abaixo e escreva o número inteiro que melhor representa cada uma delas.
a) A temperatura caiu para três graus abaixo de zero.
b) Um elevador encontra-se no 3º subsolo.
c) Um jogador perdeu 12 pontos num jogo.
d) O saldo de uma conta bancária está positivo em R$ 250.
2. Indique se cada número abaixo pertence ao conjunto dos inteiros positivos (Z+), negativos (Z-) ou se é o zero (0):
a) -18 b) 0 c) 47 d) -3 e) 5
Ordem:
3. Ordene os seguintes números inteiros do menor para o maior:
4. Complete as frases com "positivo", "negativo" ou "zero":
a) O número que representa uma dívida é sempre b) O número que representa um ganho é c) O número que não é positivo nem negativo é
5. Explique, com as suas palavras, uma situação do dia a dia em que seja necessário utilizar números inteiros.
Módulo 1
Agora, observe a tabela a seguir, de caráter ilustrativo, que representa o desempenho de alguns times do Campeonato Brasileiro de Futebol.
Pontuação por jogo: vitória vale 3 pontos, empate vale 1 ponto, derrota 0 ponto.
Legenda das Colunas
PTS (Pontos): total de pontos somados pelo time.
• GP (Gols Pró): total de gols marcados pelo time.
• GC (Gols Contra): total de gols sofridos pelo time.
• SG (Saldo de Gols): diferença entre gols marcados e gols sofridos (GP - GC).
O saldo é negativo, indicando que o time sofreu mais gols do que marcou.
Problemas com Números Naturais e Inteiros
(individual)
Objetivo: resolver problemas com números naturais e inteiros. Materiais necessários: papel, lápis e borracha.
1° PASSO: Leitura e interpretação de números naturais e inteiros
1. Explique com suas palavras o que são números naturais e dê dois exemplos retirados do seu cotidiano.
2. Os números inteiros incluem positivos, negativos e o zero. Cite duas situações do dia a dia em que aparecem números inteiros.
3. Observe os números: -7, 0, 5, 12, -3.
a) Quais são negativos?
b) Quais são naturais?
c) Ordene os números do menor para o maior.
4. Em uma cidade, a temperatura da manhã era de -2 °C e à tarde chegou a 5 ºC. • Qual foi a variação de temperatura?
5. O saldo de gols de um time pode ser positivo ou negativo. • O que significa um time ter saldo de gols negativo?
2° PASSO: Leitura de dados da tabela (Campeonato Brasileiro - Série A)
Tabela de Desempenho de Times - Campeonato Brasileiro (Série A)
1. Qual time possui maior número de vitórias?
2. Quantos pontos o Flamengo-RJ conquistou? Justifique sua resposta.
3. Compare os times Botafogo-RJ e Palmeiras-SP.
Qual marcou mais gols?
Qual sofreu menos gols?
4. O time Flamengo-RJ tem um saldo de gols igual a -7. Explique como esse saldo foi calculado usando GP e GC.
5. Qual time apresentou o melhor desempenho geral considerando vitórias, gols marcados e saldo? Use os cálculos para justificar a sua resposta.
Tabela de Desempenho de Times - Campeonato Brasileiro (Série A)
1. Quantos pontos o time ganharia se:
• O Palmeiras-SP possui 4 vitórias e 2 empates.
a) Vencesse mais 1 jogo?
b) Empatasse mais 1 jogo?
2. Qual é a média de gols marcados por jogo?
O Vasco da Gama-RJ jogou 6 partidas e marcou 6 gols.
3. Se sofrer mais 3 gols no próximo jogo, como ficará seu saldo de gols?
⚫ O Fluminense-RJ marcou 12 gols e sofreu 5.
4. Se cada derrota tivesse sido por pelo menos 1 gol, qual seria o mínimo possível de gols sofridos apenas nessas derrotas?
O Flamengo-RJ perdeu 4 jogos.
5. Verifique no dado GP se essa afirmação é verdadeira. Justifique com cálculos e
"O Palmeiras-SP está com o melhor ataque do campeonato."
1. Você foi contratado como olheiro de desempenho para uma equipe que pretende contratar um atacante e um zagueiro.
Para isso, observe cuidadosamente a Tabela de Desempenho dos Seis Times.
a) Escolha o time com o ataque mais eficiente (maior GP) e explique por que esse time seria o melhor lugar para observar um bom atacante.
b) Escolha o time com a defesa mais vulnerável (maior GC) e por que esse time seria o melhor lugar para observar um zagueiro que está enfrentando muita pressão durante os jogos?
c) Um diretor do clube comentou:
"Queremos um jogador que venha de um time equilibrado, com bom ataque e boa defesa."
Com base no saldo de gols (SG), qual time você indicaria como mais equilibrado? Justifique com base nos números da tabela.
2. "A Comissão Técnica em Ação"
Imagine que você faz parte da comissão técnica responsável por analisar os próximos adversários.
Usando os valores de GP, GC e SG da tabela, realize as análises abaixo:
a) Seu time enfrentará Botafogo-RJ na próxima rodada.
⚫O ataque do Botafogo é perigoso? Justifique analisando o GP.
Se sua equipe tem dificuldades defensivas, o que deve ser reforçado para esse confronto?
b) Duas rodadas depois, seu time enfrentará Fluminense-RJ.
• Esse adversário sofre muitos gols? Explique com base no GC.
⚫ O Fluminense oferece riscos ofensivos? Analise o GP para responder.
Módulo 1
c) Entre os seis times da tabela, escolha:
i) Um time que provavelmente joga de forma ofensiva.
ii) Um time que precisa melhorar a defesa urgentemente.
iii) Um time cujo desempenho geral sugere regularidade, com base no SG.
• Explique cada escolha usando os dados da tabela.
5° PASSO: Correção coletiva e reflexão final
1. Em dupla ou trio, comparem suas respostas das atividades anteriores.
Quais respostas vocês tiveram em comum?
• Em quais houve diferenças?
2. Escolha uma questão em que você errou ou ficou em dúvida e explique:
Qual foi a dificuldade?
Como você resolveu ou poderia resolver agora?
3. Com a mediação da professora, reescreva a resposta de uma questão que você acredita que agora pode melhorar.
Módulo 1
4. Após a correção coletiva, faça uma autoavaliação.
• O que você mais aprendeu?
• O que ainda precisa reforçar em leitura de tabelas e interpretação?
5. Por fim, escreva uma breve conclusão sobre como a análise de tabelas ajuda no entendimento de situações do cotidiano, como campeonatos esportivos.
Módulo 1
1. Reproduza a tabela abaixo.
Ela apresenta o desempenho parcial de alguns times do Campeonato Brasileiro - Série A.
Tabela de Desempenho dos Times – Dados da Autora
Preencha os espaços em branco da tabela, utilizando os seguintes dados complementares:
Botafogo empatou 0 partidas e marcou 13 gols, resultando em saldo 7.
► Palmeiras possui 14 pontos e saldo +10.
Fluminense venceu 4 partidas e sofreu 5 gols.
► Vasco disputou 6 jogos e tem saldo -1.
Corinthians venceu 1 partida e marcou 6 gols.
► Flamengo empatou 1 partida e sofreu 12 gols.
2. Após preencher, responda:
a) Qual time apresenta o melhor saldo de gols? Explique sua resposta.
b) Entre Palmeiras-SP e Botafogo-RJ, qual deles tem mais vitórias? E qual marcou mais gols?
Módulo 1
c) Compare Vasco da Gama-RJ e Corinthians-SP:
• Quem sofreu mais gols?
Quem tem saldo de gols melhor?
• O que isso revela sobre a defesa de cada equipe?
Antes de iniciar a atividade extra, Testando os Conhecimentos, é importante fazermos a correção da atividade da casa.
Agora chegou o momento de apresentar os resultados da atividade de casa para toda a turma!
Módulo 1
Agora, usando suas habilidades desenvolvidas, responda às questões a seguir. Elas são de múltipla escolha e vão permitir que você pratique os seus conhecimentos. Vamos testar?
Testando os Conhecimentos
Atividade Extra
Uma determinada equipe do Campeonato Brasileiro de Futebol Série A havia marcado 31 gols e sofrido 47 gols. Qual o saldo de gols dessa equipe?
a) 16 b) -16 c) 31 d) 78
Imagine que uma determinada cidade do Brasil, em um determinado dia, possui uma temperatura máxima 12°C e a temperatura mínima de -12°C. Qual a variação de temperatura dessa cidade?
a) 12°C b) -12°C c) 24°C d) 0°C
São necessários 4 baldes, totalmente cheios, para encher um reservatório de 30 litros. Quantos baldes iguais aos anteriores são necessários para encher um reservatório de 45 litros?
Em uma prova escolar, um estudante acertou 28 questões e errou 15. Considerando acertos como valores positivos (+1 ponto) e erros como valores negativos (-1 ponto), qual é a pontuação final do estudante nessa prova?
a) 13 b) -13 c) 28 d) 43
Módulo 1
Um mergulhador estava a -18 metros de profundidade. Durante uma subida controlada, ele subiu 7 metros, depois desceu 3 metros, e finalmente, subiu mais 12 metros. Em qual profundidade ele ficou ao final desse movimento?
a) 2 m b) -2 m c) -4 m d) 4 m
Antes de iniciar a próxima aula, é importante fazermos uma pequena revisão do que estudamos. Vamos nessa?
1. Qual o assunto que estudamos na aula?
2. Qual questão foi mais fácil de responder? Justifique.
3. Qual a questão que teve mais dificuldade em responder? Justifique.
Módulo 1
Atividade Guiada
Objetivo: resolver problemas usando multiplicação e divisão com números inteiros Materiais necessários: papel, lápis e borracha.
1º PASSO: Leitura do texto
A multiplicação é a operação que representa a soma repetida de um número natural a, b vezes:
Exemplos:
Propriedades da multiplicação:
Divisão de Números Naturais a b = a + a +
A divisão é a operação que distribui igualmente uma quantidade em partes, produzindo quociente e, eventualmente, resto r:
Exemplos:
•12 34 (divisão exata, resto 0)
•14 3 4 resto 2, pois 14 = (3.4) +2
Observações:
A divisão por zero é indefinida.
Quando a divisão é exata, o resto é zero.
Módulo 1
1. A cantina vai montar kits nutritivos para distribuir no recreio. Cada kit contém 6 itens. A escola comprou 7 caixas e cada caixa contém exatamente 6 kits completos. Antes da distribuição, o coordenador decidiu retirar 5 kits para guardar como reserva e recebeu mais 8 kits de doação.
a) Usando a ideia de multiplicação como formação de grupos iguais, determine quantos kits a escola tem agora após todas as entradas e saídas.
b) Os kits serão organizados em mesas que comportam 4 kits por mesa. Quantas mesas completas poderão ser montadas?
Módulo 1
2. O centro comunitário recebeu 115 materiais escolares: lápis, borrachas e apontadores misturados. O diretor do centro quer dividir tudo, de forma igual para 4 turmas. Após a primeira tentativa, perceberam que era necessário montar novos kits. Momentos depois, o diretor chega com mais 27 materiais, que recebeu de doação. Agora, pretendem organizar os kits para 5 turmas.
a) Calcule quantos materiais cada turma recebe na primeira divisão e quantos sobram.
b) Com os novos 27 materiais adicionados, quantos materiais cada turma receberá na nova divisão para 5 turmas? Quantos materiais ficam sem serem distribuídos?
c) Descreva um modo eficiente de organizar os materiais restantes das duas divisões, explicando como evitar desperdício e garantir distribuição mais justa.
Módulo 1
Organize-se para completar as tabelas de multiplicação e divisão apresentadas, preenchendo os resultados solicitados diretamente nos espaços, conforme os exemplos abaixo.
4º PASSO: Trabalhando com Jogos de Sinais.
A ilustração a seguir deixa claro o Jogo de Sinais na multiplicação e na divisão.
a) (-4) x 2 = b) 8 × (-2) = c) (-2) × (−2) × (−2) = d) (-3) × (−3) × (-3) =
Módulo 1
Sinais
• Sinais iguais: o resultado será sempre positivo (+); • Sinais diferentes: o resultado será sempre negativo (-).
Agora que já entendemos o jogo de sinais, que tal praticar?
Resultado (+)
e) (-3) x (-3) x (-3) × (-3)
f) 10 ÷ (-2) = g) (-16)÷ 2 =
1. Uma pequena empresa de desenvolvimento de aplicativos (Empresa AppDev) precisa pagar mensalmente uma taxa de manutenção de servidor. No último trimestre (3 meses), o saldo total da conta bancária da empresa referente a essas cobranças era de R$ 1.350,00 (indicando um débito acumulado).
Sabe-se que, devido a um erro no sistema, o banco efetuou a cobrança mensal da manutenção por um valor duas vezes maior que o correto.
a) Qual foi o valor total (débito acumulado) da cobrança em cada um dos 3 meses? Use a divisão e o Jogo de Sinais para encontrar esse valor negativo.
b) Se o valor cobrado em cada mês foi o dobro do correto, qual é o valor real da taxa de manutenção mensal que a empresa AppDev deveria ter pago?
Agora chegou o momento de saber o que acertamos e o que erramos. Acompanhe a correção coletiva que o professor realizará e participe desse momento fazendo comentários e tirando suas dúvidas sobre multiplicação e divisão com números inteiros.
Módulo 1
Olá, alunos! Após nossa aula de consolidação da multiplicação e divisão com números inteiros e racionais, é hora de aplicar o Jogo de Sinais na resolução de problemas complexos.
Resolva os dois problemas abaixo, mostrando todos os passos do seu raciocínio.
Uma empresa de serviços de internet auditou sua conta bancária e identificou um débito total (saldo negativo) de R$ 2.100,00 nos últimos 7 meses, decorrente de uma cobrança mensal automática de manutenção.
Sabe-se que:
A cobrança mensal (representada por um número negativo) foi constante durante os 7 meses.
Devido a um erro, a taxa cobrada era o dobro do valor real que deveria ter sido pago.
a) Qual foi o valor exato cobrado em cada um dos 7 meses? Utilize a divisão com o Jogo de Sinais para encontrar esse valor negativo.
b) Se o valor cobrado em cada mês era o dobro do valor real, qual é o valor real da taxa de manutenção mensal que a empresa deveria ter pago? Se a empresa tivesse pago a taxa real por 12 meses, qual seria o débito total acumulado?
Módulo 1
Dois robôs perfuradores, Alfa e Beta, estão sendo testados em um solo. A profundidade (abaixo do nível do solo) é sempre representada por um número negativo.
4 horas a) Calcule a taxa de aprofundamento (em metros por hora) para cada robô. A taxa deve ser representada por um número negativo, pois indica um deslocamento para baixo. Utilize a divisão com o Jogo de Sinais. (Dica: Converta a profundidade de Beta para decimal ou a de Alfa para fração antes de dividir).
b) Qual dos robôs (Alfa ou Beta) possui a menor taxa de aprofundamento (ou seja, qual é o mais lento)? Se o robô mais lento precisar aprofundar um total de -75 metros, quanto tempo (em horas) ele levará?
Antes de ir para a Autoavaliação, vamos realizar a correção da atividade de casa. Agora chegou o momento de apresentarem os resultados da atividade de casa para toda a turma.
Módulo 1
Como foi minha aprendizagem hoje?
Refletir sobre o próprio desempenho é uma etapa essencial para o desenvolvimento acadêmico e pessoal. Reserve alguns minutos para analisar como você participou das atividades, quais estratégias utilizou e o que pode ser aprimorado nas próximas aulas.
1. Marque a alternativa que melhor representa como você se sentiu durante a aula.
( ) Consegui aprender bem o conteúdo e participei com segurança.
( ) Entendi parte da explicação, mas ainda tenho dúvidas.
( ) Tive dificuldade em acompanhar e preciso reforçar o conteúdo.
2. Complete a frase a seguir:
•Hoje, um ponto positivo do meu desempenho foi:
• Mas algo que eu ainda preciso melhorar é:
3. Autoanálise rápida! Assinale uma opção em cada linha.
Aspecto avaliado
Participei das atividades propostas
Consegui aplicar o jogo de sinais corretamente
Consegui resolver operações de multiplicação e divisão com inteiros
Pedi ajuda quando tive dificuldade
Consegui ajudar colegas ou contribuir na aula
4. Defina uma meta para a próxima aula.
Habilidades:
(EF03MA02) Identificar características do sistema de numeração decimal, utilizando a composição e a decomposição de número natural de até quatro ordens.
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimula a localização de alguns deles na reta numérica. 2.1 O conjunto dos Números Racionais e Irracionais
Aprenda uma receita muito prática de bolo de cenoura que dispensa batedeira. Veja os ingredientes para fazer bolo de cenoura cremoso de liquidificador.
Ingredientes
■ 2 ovos
■ 3 xícaras de farinha de trigo
■ 2 colheres de fermento em pó
■ Cobertura: Barra de chocolate derretida ou brigadeiro mole
Módulo 1
Modo de preparo
1. Bata no liquidificador os ovos, a cenoura, o açúcar e o óleo.
2. Depois coloque em uma vasilha acrescente o trigo e o fermento, misturando bem.
3. Coloque para assar em forno pré-aquecido por 35 min.
4. Depois, derreta o chocolate ou faça um brigadeiro mole para a cobertura no bolo.
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
(EF06MA04) Construir regras de multiplicação de potências de mesma base através de padrões.
► (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais (decimais), incluindo potenciação, usando estratégias diversas e estimativas.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
► (EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.
Habilidades trabalhadas de forma progressiva
► (EF06MA04) Construir regras de multiplicação de potências de mesma base através de padrões.
► (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais (decimais), incluindo potenciação, usando estratégias diversas e estimativas.
► (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números. inteiros.
► (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
► (EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.
► (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
► (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Módulo 2
Antes de avançar no estudo da potenciação, vamos retomar rapidamente os conjuntos. numéricos já estudados no módulo anterior. Essa releitura é importante porque a potenciação será aplicada em todos eles ao longo do ano.
São os números usados para contar: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Quando excluímos o zero, temos os naturais não nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Incluem os naturais, seus opostos e o zero: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Eles aparecem quando representamos ganhos, perdas, temperaturas, níveis, entre outros.
Números Racionais (Q)
São todos os números que podem ser escritos na forma:
Q={ |aebЄZ, b = 0}
Incluem números inteiros, frações, decimais finitos ou periódicos.
Esse conjunto será muito importante quando avançarmos para a potenciação com bases fracionárias.
O conjunto dos reais é indicado por R e inclui todos os números racionais e irracionais. Formalmente:
R = QUI
São todos os números que podem ser representados em uma reta numérica contínua.
Agora, vamos estudar uma operação muito importante que aparece em áreas como crescimento populacional, tecnologia, finanças, química e física: a potenciação.
A potenciação permite repetir multiplicações de uma forma mais rápida e organizada.
Para entender a ideia de potência, vamos começar observando uma situação concreta: A dobra sucessiva de uma folha de papel.
Pegue uma folha de papel sulfite ou uma folha do próprio caderno.
Figura 17.
Fonte: Elaboração própria.
Você realizará sucessivas dobras na metade do papel, sempre ao longo da maior dimensão. 1. Dobre a folha ao meio.
2. Dobre-a ao meio pela segunda vez.
3. Dobre-a ao meio pela terceira vez.
Anote na tabela abaixo o número de retângulos obtidos cada vez que dobrou a folha como mostra a figura anterior.
N° de dobraduras
Observe que existe uma relação entre a quantidade de dobraduras e o número de retângulos. A cada dobra, o número de retângulos duplica.
Após 2 dobras: 4 retângulos (2 × 2).
• Após 3 dobras: 8 retângulos (2 × 2 × 2) .
Perceba que podemos usar o conceito de potenciação, pois temos sucessivas multiplicações do número 2.
• Três dobras: 8 retângulos
Agora que você já entendeu o conceito de potenciação, complete a tabela da potência com base 2 e complete com o cálculo das potências.
Seja a um número real (base) en um número natural (expoente), define-se a potência de base a e expoente n como:
a) Para n >1:
an = a xa x ха, n vezes b) Para n = 1:
a1 = a c) Para n = 0, com a # 0:
a = 1
O caso 0° é uma indeterminação e não é estudado neste nível.
25 é a potência e 32 é o resultado da potenciação.
Leitura: dois elevado à quinta potência.
Cuidado com a escrita: parênteses importam!
A potência muda completamente quando o sinal negativo está dentro ou fora dos parênteses:
(-3)² = 9 → o sinal faz parte da base (-3) (-3) = 9
• −3² = −9 → só o 3 é elevado ao quadrado - (3·3) = − 9
Regrinha para lembrar:
Se o sinal estiver dentro do parêntese, sobe junto.
Se estiver fora, espera o resultado lá embaixo.
Exemplos importantes
Exemplo 1: potência com base natural
Exemplo 2: potência com base inteira negativa
Módulo 2
Agora que você já entendeu o conceito de potenciação, preencha a tabela da potência com base 2 e complete o cálculo das potências.
Base: é o fator que se repete de acordo com o expoente. Expoente: indica o número de vezes que a base se repete.
Potências de base 10 (individual)
Objetivo: compreender e aplicar potências de base 10. Materiais necessários: papel, lápis e borracha.
1º PASSO: Cálculo de Potência de base 10
Complete as tabelas das potências com base 10.
2º PASSO: Transformação dos resultados em representações visuais
Agora que você completou a tabela, transforme cada potência em uma representação visual de crescimento.
Desenhe barras, círculos ou outro tipo de representação que aumente conforme a quantidade de zeros do resultado.
Módulo 2
Compare visualmente. Como a potência cresce?
Registre uma frase explicando o padrão que você percebeu.
3º PASSO: Desafio das situações do cotidiano aplicando Potências de base 10
Leia as situações abaixo e resolva usando as potências de base 10, conforme você estudou.
1. Uma formiga tem comprimento aproximado de 1 cm e a largura de uma quadra de esportes mede cerca de 103 cm.
• Quantas vezes a largura da quadra é maior que o comprimento da formiga?
2. A população de uma cidade pequena é de 104 habitantes.
• Escreva esse número por extenso e explique como a potência ajuda na leitura.
3. Seu celular tem 106 bytes livres na memória.
• Converta esse valor para forma decimal (número escrito normalmente).
Agora chegou o momento de saber o que acertamos e o que erramos. Acompanhe a correção coletiva que o professor realizará e participe desse momento fazendo comentários e tirando suas dúvidas sobre o cálculo das potências.
Chegou a hora de exercitar o que você aprendeu na aula. Responda às atividades a seguir. Caso seja necessário, peça ajuda aos seus pais ou a algum responsável.
Antes de iniciar a atividade extra, Testando os Conhecimentos, é importante fazermos a correção da atividade da casa.
Agora chegou o momento de apresentar os resultados da atividade de casa para toda a turma!
Módulo 2
Agora, usando suas habilidades desenvolvidas, responda às questões a seguir. Elas são de múltipla escolha e vão permitir que você pratique os seus conhecimentos. Vamos testar?
Testando os Conhecimentos
As questões a seguir são de múltipla escolha. Elas permitem que você pratique os seus conhecimentos sobre as habilidades desenvolvidas até aqui. Vamos testar?
Um ex-jogador do Campeonato Brasileiro de Futebol marcou 28 em toda sua carreira. Qual o total de gols marcado por esse jogador?
a) 32 b) 64 c) 128 d) 256
A cantina da escola vendeu 23 salgados na segunda-feira, 32 na terça-feira, 10¹ na quarta-feira, 42 na quinta-feira e 71 na sexta-feira. Qual a média de salgados que a cantina vendeu?
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15
A diretora da escola fez uma pesquisa sobre a modalidade esportiva preferida: vôlei, futebol ou natação. Verificou-se que 24 dos alunos preferem vôlei e 43 preferem futebol e 5² preferem natação. Qual o total de alunos que responderam à pesquisa?
a) 16 b) 64 c) 25 d) 105
Módulo 2
Durante uma campanha solidária, três turmas arrecadaram brinquedos.
A turma A arrecadou 33, A turma B arrecadou 24, • e a turma C arrecadou 51.
a) 27 b) 48 c) 44 d) 59
QUESTÃO 5 (EF07MA35)
Qual foi o total de brinquedos arrecadados pelas três turmas?
Um professor registrou o número de páginas lidas pelos alunos em quatro dias:
Dia 4: 32 a) 12 b) 15 c) 18 d) 20
Qual foi a média, em páginas, lidas por dia?
Antes de iniciar a próxima aula, é importante fazermos uma pequena revisão do que estudamos. Vamos nessa?
1. Qual o assunto que estudamos na aula?
2. Qual questão foi mais fácil de responder? Justifique.
3. Qual a questão que teve mais dificuldade em responder? Justifique.
Módulo 2
Atividade Guiada
Potenciação de Números Inteiros (individual)
Objetivo: efetuar operações com potênciação de números inteiros. Materiais necessários: lápis, caderno e borracha.
1º PASSO: Trabalhando com Jogos de Sinais na multiplicação
A ilustração a seguir, deixa claro o jogo de sinais na multiplicação.
Sinais iguais: o resultado será sempre positivo ( + ).
Sinais diferentes: o resultado será sempre negativo (-).
Sinais
Agora que já lembramos o Jogo de Sinais, que tal praticar? Efetue as seguintes operações:
a) 2 x 2 = b) (-2) × (-2) =
Módulo 2
72 Módulo 2
Leia o texto abaixo silenciosamente.
Agora podemos ampliar a ideia da potenciação para as bases com números inteiros. Você ainda lembra como é definido o conjunto dos Números Inteiros?
O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado conjunto dos Números Inteiros e é representado pela letra Z.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
A figura a seguir representa inteiros na reta. Observa-se que usamos o ponto de origem (zero) como referência. À direita, os números são positivos e, à esquerda, os números são negativos.
Agora que já lembramos o conjunto dos Números Inteiros, podemos ampliar a ideia da potenciação para as bases com números inteiros.
Leitura: menos dois elevado à quinta potência.
Expoente
(−2)5 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (-2) = −32 5 vezes
Resultado
3º PASSO: Reprodução de tabelas e cálculo das potências com expoente par
1. Complete as tabelas das potências com (base 2) e (base -2) quando o expoente for um número par. Em seguida, complete as tabelas com o cálculo das potências.
Potência
2. Você deve verificar o que aconteceu com o resultado da potência quando o expoente for um número par ou ímpar. Complete as frases a seguir:
a) Quando o expoente for um número par, o resultado da potência será sempre um número:
b) Quando a base for negativa e o expoente for um número ímpar, o resultado da potência será sempre um número:
3. Observe as potências a seguir:
Com base nos resultados, qual afirmativa descreve corretamente o comportamento do sinal nas potências com base negativa?
a) Sempre que a base for negativa, o resultado será negativo.
b) Sempre que o expoente for par, o resultado será positivo.
c) Sempre que o expoente for ímpar, o resultado será positivo.
d) O resultado será positivo somente quando a base for maior que 5.
4º PASSO: Reprodução de tabelas e cálculo das potências com expoente ímpar
1) Complete as tabelas das potências com (base 2) e (base -2) quando o expoente for um número ímpar. Em seguida, complete as tabelas com o cálculo das potências.
Potência
2) Você deve verificar o que aconteceu como resultado da potência quando o expoente for um número par ou ímpar e completa as frases a seguir:
a) Quando a base for negativa e o expoente for um número ímpar, a potência será sempre um número:
b) Quando a base for negativa e o expoente for um número par, a potência será sempre um número:
Agora chegou o momento de saber o que acertamos e o que erramos. Acompanhe a correção coletiva que o professor realizará e participe desse momento fazendo comentários e tirando suas dúvidas sobre potência de Números Inteiros na base.
Módulo 2 75
Olá, alunos! Após nossa atividade com potenciação de números inteiros na base, é hora de colocar suas habilidades em ação de forma prática. Caso seja necessário, peça ajuda aos seus pais ou a algum responsável.
1. Efetue as potenciações a seguir:
a) (-3)2 b) -(3)² c) (-2)4 d) -(2)4 e) (-10)³ f) -(10)² g) (-4)³ h) 43 i) 3² + 4² j) (−3)³ + (−2)4.
Antes de ir para a Autoavaliação. Vamos realizar a correção da atividade de casa. Agora chegou o momento de apresentarem os resultados da Atividade de Casa para toda a turma.
Módulo 2
Como foi minha aprendizagem hoje?
Refletir sobre o próprio desempenho é uma etapa essencial para o desenvolvimento acadêmico e pessoal. Reserve alguns minutos para analisar como você participou das atividades, quais estratégias utilizou e o que pode ser aprimorado nas próximas aulas.
1. Marque a alternativa que melhor representa como você se sentiu durante a aula.
( ) Consegui aprender bem o conteúdo e participei com segurança.
( ) Entendi parte da explicação, mas ainda tenho dúvidas.
( ) Tive dificuldade em acompanhar e preciso reforçar o conteúdo.
2. Complete a frase a seguir:
• Hoje, um ponto positivo do meu desempenho foi:
• Mas algo que eu ainda preciso melhorar é:
3. Autoanálise rápida: Assinale uma opção em cada linha.
Aspecto avaliado
Participei das atividades propostas
Consegui realizar os cálculos de potências corretamente
Consegui tabelas de potências de base
Pedi ajuda quando tive dificuldade
Consegui ajudar colegas ou contribuir na aula
4. Defina uma meta para a próxima aula.
Habilidades:
► (EF06MA04) Construir regras de multiplicação de potências de mesma base através de padrões.
► (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais (decimais), incluindo potenciação, usando estratégias diversas e estimativas.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
► (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
2.1 Potências de base racional com expoente natural ou inteiro
Agora, podemos ampliar a ideia da potenciação para as bases com números racionais. Você ainda lembra o que é um número racional?
Nas ilustrações a seguir, estão representadas algumas situações do uso dos números. racionais em nosso cotidiano.
Comprei três quartos de quilo de biscoitos.
Hoje já bebi meio litro de leite.
Falta um quarto de hora para começar a aula.
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração, ou seja, como a, onde a e b são números inteiros e b + 0.
Incluem as frações, os números inteiros e os decimais que são exatos ou periódicos.
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, e definido por:
Vejamos alguns exemplos:
Q = { a | aebЄZ, b ± 0}
• O número 5,1 é racional, pois pode ser escrito na forma fracionária 51/10. • O número -2,5 é racional, pois pode ser escrito na forma fracionária - 5/2.
• O número 1,5 é racional, pois pode ser escrito na forma fracionária 3/2.
Agora que já lembramos o que é número racional, podemos ampliar a ideia da potenciação para as bases com números racionais.
Leitura: um terço elevado à terceira potência.
Módulo 2
► BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher.
► BRASIL, Base Nacional Comum Curricular - BNCC. Ministério da Educação, 2018.
► BRASIL, Guia do PNLD - Programa Nacional do Livro Didático. Ministério da Educação.
► BRASIL, Matrizes de Referência do SAEB - Matemática. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP, 2022.
► COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O Que é Matemática? Rio de Janeiro: LTC.
▶ DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. 9º ano. São Paulo: Ática.
► EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Unesp.
►IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, José Roberto. Matemática. São Paulo: Saraiva.
► INEP. Relatórios Pedagógicos SAEB (2019-2023). Disponível em: https://www.gov.br/inep.
► KHAN ACADEMY BRASIL. Matemática https://pt.khanacademy.org.
Ensino Fundamental II. Disponível em:
MALBA, Tahan. O Homem que Calculava. Rio de Janeiro: Record.
▶ OBMEP - Banco de Questões. Disponível em: https://www.obmep.org.br.
► OBSERVATÓRIO DO PNE. Disponível em: https://www.observatoriodopne.org.br (Utili- zado para análises e leituras de gráficos e tabelas - competências cobradas no SAEB).
► STEWART, James. Pré-Cálculo: Fundamentos do Pensamento Algébrico. São Paulo: Cengage Learning.
Módulo 2 105
As questões apresentadas neste anexo possuem caráter exclu- sivamente pedagógico e educacional, sendo utilizadas como re- ferência de práticas avaliativas públicas. Os itens foram selecio- nados, organizados e, quando necessário, adaptados para fins didáticos, sem finalidade comercial direta sobre os instrumentos avaliativos originais, respeitando a autoria institucional das ava- liações externas desenvolvidas por órgãos públicos educacionais, como o Saeb, coordenado pelo INEP, bem como avaliações apli- cadas por secretarias estaduais e municipais de educação.
BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacio- nais Anísio Teixeira. Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB). Brasília: INEP. Disponível em: https://www.gov.br/inep. Acesso em: 07 jan. 2026.
CEARÁ. Secretaria da Educação do Estado. Avaliação educacio- nal da rede estadual. Fortaleza: SEDUC, 2021.
FORTALEZA. Secretaria Municipal da Educação. Avaliações diagnósticas da rede municipal de ensino. Fortaleza: SME, 2022.
Estudante, você já ouviu falar no Saeb? O Saeb é o Sistema de Avaliação da Educação Básica, e ele tem dois objetivos muito importantes: avaliar o que você aprendeu ao longo da sua vida escolar e melhorar a qualidade da educação no Brasil.
Por isso, preparamos um simulado baseado no que foi estudado nos módulos 1 e 2. Dessa forma, você mesmo vai poder analisar seu próprio aprendizado.
Preparado(a)?
Qual é o resultado correto da expressão numérica que envolve multiplicação e divisão de números inteiros e decimais:
a) 15 b) 10 c) -10 d) -15
► Questão 2 (EF07MA12)
Um professor propôs o cálculo do produto P:
P(-4)x2x (-1) x (-10) × (-0,5)
Ao aplicar o Jogo de Sinais, qual é o sinal do resultado P e qual o seu valor numérico?
Uma empresa de aluguel de equipamentos registrou um prejuízo total (saldo negativo) de R$ 3.120,00 devido a avarias não cobertas pelo seguro, ocorridas ao longo do último semestre (6 meses). Se a perda média por mês foi constante, qual número inteiro representa essa perda mensal?
Simulado