Convite

More in this magazine

• CoverEAD EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
• Estatística IndutivaCaracterizada pelo uso de técnicas que possibilitam avaliar características de uma população por meio do estudo de uma amostra dela. Ela nasce da ideia de que nem sempre uma amostra grande é uma amostra boa.
• Bases da Estatística Indutiva■ Ao trabalharmos com estatística indutiva, de modo geral, chamamos de X a variável aleatória que representa a característica que queremos estudar em dada população. ■ Dessa população, retiramos uma amostra de tamanho n, representada por (X1, X2,..., Xi, ..., Xn).
• ParâmetroÉ a quantidade da característica da população que estamos estudando. ■ Na maioria das vezes, não conhecemos tal valor.
• EstimadorRepresenta o resultado da amostra usado para estimar determinado parâmetro populacional. É uma variável aleatória que depende dos componentes X1, X2, ..., Xi, ..., Xn da amostra. Exemplo ■ X é o símbolo do estimador usado para estimar o parâmetro peso médio das pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil.
• EstimadorUm bom estimador deve ser: ■ não viciado (seu valor esperado é o valor do parâmetro em foco);
• Estimativa■ Uma estimativa é um valor "específico" de um estimador quando usamos valores "específicos" de determinada amostra. Exemplo: Imagine que, para determinada amostra de 12 pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil, tenhamos observado os valores a seguir de pesos, em kg. (X₁, X21 X3 X4 X5 X6 X7, X1 X1 X101 X₁₁1 X₁2) = (58, 67, 76, 57, 69, 77, 72, 63, 65, 54, 51, 66)
• Teorema central do limite (TCL)Amostra aleatória simples de tamanho "n" de uma população cujos parâmetros são μ e o². Considere os seus estimadores média amostral X e variância amostral S² calculadas por: n
• Importância do TCL■ O TCL é extremamente importante para a estatística indutiva, porque assegura que a média amostral de uma amostra aleatória simples é um estimador não viciado para a média populacional. ■ Isso significa que, se extraíssemos muitas amostras aleatórias simples de uma mesma população e calculássemos a média das médias amostrais, ela seria muito próxima da média populacional verdadeira.
• Estimadores pontuais x Estimadores intervalares■ Os estimadores apresentados até agora são chamados de estimadores pontuais, pois estimam, por meio de “números fixos", os valores (parâmetros) da média populacional µ e da μ variância populacional σ². Fonte: Adaptado do livro-texto.
• Intervalo de confiança para a média com variância populacional conhecida■ Vamos pensar, inicialmente, no intervalo de confiança para a média u de uma população que segue modelo normal e cuja variância σ2 seja conhecida. Imagine que, dessa população, retiremos uma amostra de tamanho n representada pelas variáveis aleatórias independentes (X1, X2, ..., Xn), sendo X a média amostral.
• Intervalo de confiança para a média com variância populacional conhecidaNesse caso, o intervalo de confiança para a média μ, com coeficiente de confiança c, indicado por IC(u;c), para dado valor de média amostral observada Xobs, é calculado por: -[x
• InteratividadeA quantidade da característica da população que estudamos em um processo utilizando estatística indutiva é chamada de: a) Parâmetro.
• RespostaA quantidade da característica da população que estudamos em um processo utilizando estatística indutiva é chamada de: a) Parâmetro.
• Exemplo 1 de estimativa intervalarImagine que a distribuição das alturas das pessoas com mais de 18 anos que moram na cidade fictícia Novo Mundo obedeça a um modelo normal com média µ desconhecida e com variância σ2 igual a 1,06 m². ■ Foi feita uma amostra aleatória de 55 dessas pessoas, o que forneceu média amostral observada Xobs igual a 1,71 m.
• Resumo dos dados fornecidos pelo exemplo 1■ Modelo de distribuição de probabilidades das alturas: normal. ■ Média populacional das alturas: parâmetro μ desconhecido. ■ Variância populacional das alturas: parâmetro σ² = 1,06 m². ■ Desvio padrão populacional das alturas: parâmetro σ = √σ² = 1,03 m.
• Resolução do Exemplo 1■ Se o coeficiente de confiança "c" vale 0,80, então c/2 = 0,40. ■ Precisamos achar Zc/2, tal que tenhamos as configurações ilustradas a seguir.
• Resolução do Exemplo 1Agora, podemos calcular o intervalo de confiança para a média populacional das alturas μ, com coeficiente de confiança c = 0,8 (80%), indicado por IC(μ;c), para o valor de média amostral observada Xobs = 1,71 m, com Zc/2 = 1,28, n = 55 e σ = 1,03 m. [1,71
• Exemplo 2 de estimativa intervalar■ Considerando a mesma situação e aumentando a confiança para 95%, o que acontecerá com o intervalo de confiança para a média populacional? Como c vale 0,95, c/2 vale 0,475. Encontramos o Z c/2 a partir das funções a seguir:
• Resolução do Exemplo 2Agora, podemos calcular o intervalo de confiança para a média populacional das alturas μ, com coeficiente de confiança c = 0,95 (95%), indicado por IC(μ;c), para o valor de média amostral observada Xobs = 1,71 m, com Zc2= 1,96, n = 55 e σ = 1,03 m. (14; c)= [Xxat
• Introdução ao teste de hipóteses■ Um teste de hipóteses tem o objetivo de, com base nas características de uma amostra representativa de uma população, concluir informações sobre a população como um todo, atividade conhecida como inferência estatística. Exemplo:
• Resposta para o exemplo de teste de hipótese(Apresentando as hipóteses) ■ Para a situação em estudo, vamos chamar de X a variável aleatória contínua que representa o tempo, em segundos, que a máquina leva para retificar a peça.
• Page 23Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Explicando os tipos de erros) Erros quando rejeitamos Ho e quando aceitamos Ho:
• Resposta para o exemplo de teste de hipótese(Explicando as probabilidades de erros) Vamos chamar de "a" a probabilidade de ocorrência de erro tipo I e de "B" a probabilidade de ocorrência de erro tipo II. Assim temos:
• Page 25Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Voltando ao exemplo) Voltemos à situação da nova máquina retificadora.
• InteratividadeEm um teste de hipótese, aquela conhecida como hipótese nula é conhecida como: a) Hnulo.
• RespostaEm um teste de hipótese, aquela conhecida como hipótese nula é conhecida como: a) Hnulo.
• Resposta para o exemplo de teste de hipótese(Continuando o exemplo) Imagine que façamos uma amostra de 30 tempos de retificação da máquina nova, ou seja, obtemos uma amostra de tamanho n = 30. Assim, para o exemplo em estudo, temos:
• Page 29Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Continuando o exemplo) ■ Precisamos encontrar, "dentro" da tabela normal reduzida, o valor 0,95, em que o valor mais próximo de é 0,9505, que corresponde a z* = 1,65.
• Resposta para o exemplo de teste de hipótese(Continuando o exemplo) ■ Podemos dizer que testar uma hipótese estatística é estabelecer uma regra que possibilite, com base na informação de uma amostra, decidir pela rejeição ou pela não rejeição da hipótese nula Ho.
• Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Conclusão)■ Com uma amostra de tamanho n = 30, o conjunto de valores de tempo, representado pela variável X, que levam à não aceitação da hipótese nula Ho é dado por x < 118,5s. ■ Ou seja, se a média amostral dos tempos resultar em valor menor do que 118,5s, ao nível de significância de 5%, não aceitaremos que o tempo médio de retificação da nova máquina seja igual a 120 segundos (nesse caso, acataremos a hipótese Ha, segundo a qual o tempo médio de retificação da nova máquina é menor do que 120s).
• Page 32Etapas em um teste de hipóteses para média com variância populacional conhecida ■ Etapa 1: Estabelecer as hipóteses Ho e Ha em relação ao valor de média amostral de referência μo, em que podemos ter o caso 1 (unilateral à esquerda), o caso 2 (unilateral à direita) ou o caso 3 (bilateral).
• Page 33Etapas em um teste de hipóteses para média com variância populacional conhecida Etapa 2: Definir uma regra de decisão com base em Ha, em que Xc representa o valor crítico e RC representa a região crítica (zona de rejeição de Ho).
• Page 34Etapas em um teste de hipóteses para média com variância populacional conhecida ■ Etapa 3: Identificar o estimador e o tipo de distribuição de probabilidades que essa variável aleatória segue.
• Testes qui-quadradoTeste de aderência ■ Visam a testar se dado modelo probabilístico é adequado a determinado conjunto de dados.
• Teste de independência■ Inicialmente, organizamos as frequências "O" observadas em uma tabela de dupla entrada, com r linhas es colunas, como a mostrada a seguir. A/B
• Teste de independência■ Sendo Eij a frequência esperada para a medida ij, fazemos a quantificação das diferenças entre as frequências observadas e suas respectivas frequências esperadas por meio da estatística a seguir, indicada por Q2. 03 = ΣΣ ΣΣΟ -E2 i=1 j=1 Eij r s
• Teste de independência■ Na expressão, q é o número de graus de liberdade, sendo q = (r− 1). (s − 1). ■ Identificamos P = P(x²q ≥ Q²obs), em que, como acabamos de dizer, Q2obs é o valor calculado para Q² com base nos dados observados.
• Exemplo de Teste de independênciaImagine que a fábrica Chocolate Delicioso produza 4 tipos de chocolate: Choc A, Choc B, Choc C e Choc D. O gestor dessa fábrica quer saber se a preferência por tipo de chocolate é ou não é independente do local de moradia do consumidor (zona sul, zona norte ou zona central). Para isso, fez uma pesquisa com 1320 consumidores e obteve as observações apresentadas a seguir.
• InteratividadeA região expressa pela regra que possibilite, com base na informação de uma amostra, decidir pela rejeição ou pela não rejeição da hipótese nula Ho, é chamada de: a) Região nula.
• RespostaA região expressa pela regra que possibilite, com base na informação de uma amostra, decidir pela rejeição ou pela não rejeição da hipótese nula Ho, é chamada de: a) Região nula.
• Exemplo de Teste de independência(Estabelecendo hipóteses e apresentando o número de observações) As hipóteses a serem testadas são: Hipótese nula (Ho): a preferência por determinado tipo de chocolate não depende do local em que o consumidor mora.
• Exemplo de Teste de independência(Construção da tabela de valores observados e esperados) ■ Se há independência entre o local em que o consumidor mora e o tipo de chocolate que ele prefere, temos as quantidades esperadas mostradas na tabela que será apresentada.
• Exemplo de Teste de independência(Construção da tabela de valores observados e esperados) ■ Na tabela a seguir, temos, nas colunas azuis, as quantidades observadas e, nas colunas verdes, as quantidades esperadas de consumidores.
• Exemplo de Teste de independência■ Na tabela a seguir, temos o destaque das indicações das quantidades observadas (em azul) e das quantidades esperadas (em verde) de consumidores. Choc A Choc B
• Exemplo de Teste de independênciaAssim, temos X = 54,01 e procuramos, em uma tabela de distribuição qui-quadrado, na linha de graus de liberdade (g.l.) igual a 6 (q = 6). g.l.
• Coeficiente de correlaçãoSerá que essas duas variáveis estão relacionadas ou correlacionadas entre si de maneira aproximadamente linear? X
• Coeficiente de correlação■ Temos um coeficiente, chamado de coeficiente de correlação e indicado por R, que quantifica o grau de associação entre duas variáveis. Esse coeficiente é calculado pela expressão a seguir, em que n é o número de pares (X;Y). R = n
• Xobs =Yobs n i=1 Calculando o Coeficiente de correlação
• Calculando o Coeficiente de correlação■ O coeficiente R igual a 0,997 indica que as variáveis X e Y em estudo têm forte correlação positiva: se X aumenta, Y aumenta, e esse aumento é praticamente linear. ■ O coeficiente de correlação R também é chamado de coeficiente de Pearson.
• Variação do coeficiente de correlação■ se R > 0, quando uma variável aumenta, a outra variável aumenta; ■ se R < 0, quando uma variável aumenta, a outra variável diminui;
• Regressão linear■ Muitas vezes, queremos saber qual é a reta que se ajusta da melhor maneira aos pontos de um gráfico de dispersão. ■ Nesse caso, usamos o chamado método dos mínimos quadrados para estimar os coeficientes m en de uma função do 1º grau y = m. x + n (cujo gráfico é uma reta) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos vindos da diferença entre os valores y efetivamente observados e os seus valores esperados E(Y/X = x). Nesse sentido, observe a figura a seguir.
• Regressão linearÉ possível demonstrar que os coeficientes me n são calculados segundo as equações a seguir. n
• Cálculo do coeficiente■ Como o cálculo do coeficiente m é extenso, é interessante que o façamos por partes. Xobs
• Cálculo do coeficiente■ No gráfico, temos os 5 pares (x;y) observados e a reta y = 3,336x - 0,202. n = Yobs - m. Xobs = 1,8-3,336. 0,6 = 1,8 - 2,002 = -0,202
• InteratividadeQual é o coeficiente que informa se duas variáveis estão relacionadas entre si de maneira aproximadamente linear? a) Coeficiente de independência.
• RespostaQual é o coeficiente que informa se duas variáveis estão relacionadas entre si de maneira aproximadamente linear? a) Coeficiente de independência.
• Page 58ATÉ A PRÓXIMA!