Convite
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Caracterizada pelo uso de técnicas que possibilitam avaliar características de uma população por meio do estudo de uma amostra dela.
Ela nasce da ideia de que nem sempre uma amostra grande é uma amostra boa.
Exemplo:
■ Encontrar a idade média dos 600 alunos da Escola ABC, que tem estudantes de 6 a 17 anos matriculados no Ensino Fundamental (10 turmas) e no Ensino Médio (6 turmas).
Se pegarmos uma amostra grande, com 400 alunos, mas todos do Ensino Fundamental, e calcularmos a média das idades desses alunos, NÃO teremos uma boa aproximação da idade média de todos os 600 estudantes da Escola ABC.
■ Observação: Amostra boa é amostra que traz consigo todas as características presentes na população e na proporção em que ocorrem na população.
■ Ao trabalharmos com estatística indutiva, de modo geral, chamamos de X a variável aleatória que representa a característica que queremos estudar em dada população.
■ Dessa população, retiramos uma amostra de tamanho n, representada por (X1, X2,..., Xi, ..., Xn).
■ A partir disso precisamos definir: parâmetro, estimador e estimativa.
É a quantidade da característica da população que estamos estudando.
■ Na maioria das vezes, não conhecemos tal valor.
■ Por isso utilizamos uma estimativa para fazer inferências.
Exemplo:
▪ μ (média) é o parâmetro cujo valor fornece o peso médio das pessoas entre 15 e 65 anos que moram em uma cidade fictícia, chamada de Novo Brasil, que tem cerca de 5 mil habitantes;
■ σ² (variância) é o parâmetro cujo valor fornece a variância do peso médio das pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil.
Veja que, nos exemplos apresentados, a população é formada por todas as pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil.
Representa o resultado da amostra usado para estimar determinado parâmetro populacional. É uma variável aleatória que depende dos componentes X1, X2, ..., Xi, ..., Xn da amostra. Exemplo
■ X é o símbolo do estimador usado para estimar o parâmetro peso médio das pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil.
Imagine que, para constituirmos esse estimador, usamos uma amostra aleatória formada por 12 pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil.
■ Essa amostra, de tamanho n = 12, é representada por (X1, X2, ..., X12).
Suponha que o estimador x seja a média das observações X1, X2, X12. Assim, nesse caso, temos:
+X12
X₁₂+ X 2 +
Um bom estimador deve ser:
■ não viciado (seu valor esperado é o valor do parâmetro em foco);
■ consistente (quanto mais aumentamos o tamanho da amostra, mais seu valor converge para o "valor" do parâmetro em foco e mais sua variância vai para 0).
■ Uma estimativa é um valor "específico" de um estimador quando usamos valores "específicos" de determinada amostra.
Exemplo: Imagine que, para determinada amostra de 12 pessoas entre 15 e 65 anos que moram na cidade Novo Brasil, tenhamos observado os valores a seguir de pesos, em kg. (X₁, X21 X3 X4 X5 X6 X7, X1 X1 X101 X₁₁1 X₁2) = (58, 67, 76, 57, 69, 77, 72, 63, 65, 54, 51, 66)
Admita que a "fórmula" do estimador X empregado para estimar o peso médio da população da cidade Novo Brasil seja a média das observações X1, X2, ..., X12, conforme já vimos:
X = X 1 + x 2 + ... + X 12
Se aplicarmos os valores da amostra coletada à expressão anterior, obteremos uma estimativa pontual, indicada por x obs, para a média populacional μ:
Xobs
= 64,6 kg
Amostra aleatória simples de tamanho "n" de uma população cujos parâmetros são μ e o². Considere os seus estimadores média amostral X e variância amostral S² calculadas por:
n-1 n i=1
■ Observe que diferentes amostras geram diferentes médias amostrais. Por exemplo A, B, Ce D, geram, respectivamente, médias amostrais XA, XB,XC e XD.
■ Se n é suficientemente grande, a distribuição das médias amostrais comporta-se como uma distribuição normal, que tem como média a média populacional (µ) e como variância a variância populacional (σ2) dividida pela raiz quadrada do tamanho da amostra (√n). Assim, o TCL garante que, em amostras aleatórias simples grandes, a distribuição da média amostral é a seguinte:
X ~N [H
■ O TCL é extremamente importante para a estatística indutiva, porque assegura que a média amostral de uma amostra aleatória simples é um estimador não viciado para a média populacional.
■ Isso significa que, se extraíssemos muitas amostras aleatórias simples de uma mesma população e calculássemos a média das médias amostrais, ela seria muito próxima da média populacional verdadeira.
▪ Esse teorema aponta que a média amostral é um estimador bastante eficiente, pois a variância da média amostral é inversamente proporcional ao tamanho da amostra.
Por exemplo, como a variância da média amostral é igual a σ²/n, caso tenhamos uma amostra do peso de 1000 crianças, a variância da média amostral do peso será 1000 vezes menor do que a variância amostral do peso das crianças.
■ Os estimadores apresentados até agora são chamados de estimadores pontuais, pois estimam, por meio de “números fixos", os valores (parâmetros) da média populacional µ e da μ variância populacional σ².
Muitas vezes, é interessante usar estimadores intervalares, em vez de estimadores pontuais, dizendo que:
■ a média populacional µ situa-se, com determinado coeficiente de confiança c, entre µ – a e µ + a, ou seja, no intervalo de confiança IC = [µ − a;µ + a];
■ a variância populacional σ² situa-se, com determinado coeficiente de confiança c, entre σ² – be σ² + b, ou seja, no intervalo de confiança IC = [σ² – b;σ² + b].
■ Vamos pensar, inicialmente, no intervalo de confiança para a média u de uma população que segue modelo normal e cuja variância σ2 seja conhecida.
Imagine que, dessa população, retiremos uma amostra de tamanho n representada pelas variáveis aleatórias independentes (X1, X2, ..., Xn), sendo X a média amostral.
■ De acordo com o TCL, a média amostral também segue distribuição normal de probabilidades com média μ e variância σ²/n. Logo:
~N(0;1)
Fixado determinado coeficiente de confiança c, com 0 < c< 1, podemos encontrar Z c/2, de modo que:
Nesse caso, o intervalo de confiança para a média μ, com coeficiente de confiança c, indicado por IC(u;c), para dado valor de média amostral observada Xobs, é calculado por:
A quantidade da característica da população que estudamos em um processo utilizando estatística indutiva é chamada de:
A quantidade da característica da população que estudamos em um processo utilizando estatística indutiva é chamada de:
Imagine que a distribuição das alturas das pessoas com mais de 18 anos que moram na cidade fictícia Novo Mundo obedeça a um modelo normal com média µ desconhecida e com variância σ2 igual a 1,06 m².
■ Foi feita uma amostra aleatória de 55 dessas pessoas, o que forneceu média amostral observada Xobs igual a 1,71 m.
Para essa situação, qual é a estimativa intervalar da média populacional μ com coeficiente de confiança de 80%?
■ Modelo de distribuição de probabilidades das alturas: normal. ■ Média populacional das alturas: parâmetro μ desconhecido.
■ Variância populacional das alturas: parâmetro σ² = 1,06 m². ■ Desvio padrão populacional das alturas: parâmetro σ = √σ² = 1,03 m.
■ Média amostral das alturas: estimador X.
■ Tamanho da amostra: n = 55.
■ Média amostral das alturas observada na amostra: estimativa X obs = 1,71 m.
■ Coeficiente de confiança da estimativa intervalar: c = 0,80.
■ Se o coeficiente de confiança "c" vale 0,80, então c/2 = 0,40.
■ Precisamos achar Zc/2, tal que tenhamos as configurações ilustradas a seguir.
■ Observando a tabela normal reduzida, o valor 0,9, encontramos 0,8997, e ele corresponde a Z c/2 = 1,28.
Fonte: Adaptado do livro-texto.
Agora, podemos calcular o intervalo de confiança para a média populacional das alturas μ, com coeficiente de confiança c = 0,8 (80%), indicado por IC(μ;c), para o valor de média amostral observada Xobs = 1,71 m, com Zc/2 = 1,28, n = 55 e σ = 1,03 m.
IC(u;0,8)= [1,71 - 0,18; 1,71 + 0,18] = [1,53;1,89]
Veja que, com confiança de 80%, "acreditamos" que a média populacional das alturas μ das pessoas com mais de 18 anos que moram na cidade fictícia Novo Mundo esteja entre 1,53 m e 1,89 m.
■ Considerando a mesma situação e aumentando a confiança para 95%, o que acontecerá com o intervalo de confiança para a média populacional?
Como c vale 0,95, c/2 vale 0,475. Encontramos o Z c/2 a partir das funções a seguir:
■ Observando a tabela normal reduzida, o valor 0,975 corresponde a Zc/2 = 1,96.
Área = 0,5 + 0,475 = 0,975 0
Fonte: Adaptado do livro-texto.
Agora, podemos calcular o intervalo de confiança para a média populacional das alturas μ, com coeficiente de confiança c = 0,95 (95%), indicado por IC(μ;c), para o valor de média amostral observada Xobs = 1,71 m, com Zc2= 1,96, n = 55 e σ = 1,03 m.
IC(μ;0,95) = [1,71 -0,27; 1,71 +0,27] = [1,44;1,98]
IC(u;0,95) 1,71-1,96. =
Veja que, com confiança de 95%, "acreditamos" que a média populacional das alturas μ das pessoas com mais de 18 anos que moram na cidade fictícia Novo Mundo esteja entre 1,44 m e 1,98 m.
■ Observação: Quanto mais aumentamos a confiança, mais aumentamos a amplitude do intervalo de confiança.
■ Um teste de hipóteses tem o objetivo de, com base nas características de uma amostra representativa de uma população, concluir informações sobre a população como um todo, atividade conhecida como inferência estatística.
Exemplo:
■ O tempo de retífica de peça em uma máquina é uma variável aleatória contínua e segue uma distribuição normal de probabilidades com média igual a 120s e desvio padrão igual a 5s.
■ Essa máquina será substituída por outra, mais nova, cujo tempo de retífica segue a mesma distribuição.
É verdadeira a suspeita de que o tempo médio de retífica da peça diminua?
■ A resposta pode ser dada por meio de um teste de hipóteses.
■ Nesse teste, tomamos uma hipótese como referência: trata-se da hipótese nula, indicada por Ho.
Prosseguimos fazendo uma comparação entre a hipótese nula e uma hipótese alternativa, indicada por Ha.
■ Para a situação em estudo, vamos chamar de X a variável aleatória contínua que representa o tempo, em segundos, que a máquina leva para retificar a peça.
■ Sabemos que X segue uma distribuição normal de média μ = 120s e desvio padrão σ = 5s, ou seja, de variância σ² = 5² = 25 s², o que é indicado por X ~ N(120;25).
Queremos testar as hipóteses a seguir.
Hipótese nula (Ho): o tempo médio de retífica permanece igual a 120s com a máquina nova. Ho: μ = 120s.
Hipótese alternativa (Ha): o tempo médio de retífica é menor do que 120s com a máquina nova. Ha: u < 120s.
■ Não sabemos exatamente o que irá acontecer, visto que a hipótese nula Ho e a hipótese alternativa Ha são conjecturas (suposições) que fazemos sobre um parâmetro populacional que não conhecemos.
Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Explicando os tipos de erros)
Erros quando rejeitamos Ho e quando aceitamos Ho:
■ Erro tipo | (falso positivo) - ocorre quando rejeitamos Ho, sendo Ho, na realidade, verdadeira.
■ Erro tipo II (falso negativo) – ocorre quando não rejeitamos Ho, sendo Ho, na realidade, falsa.
As decisões em que não cometemos erros são as seguintes.
Rejeitamos Ho, e Ho é falsa.
■ Não rejeitamos Ho, e Ho é verdadeira.
Vamos chamar de "a" a probabilidade de ocorrência de erro tipo I e de "B" a probabilidade de ocorrência de erro tipo II. Assim temos:
■ A probabilidade a é chamada de nível de significância do teste e está relacionada ao controle do erro tipo I.
■ α = P(erro tipo 1) = P(rejeitar Ho/Ho é verdadeira)
A probabilidade ẞ é chamada de poder do teste e está relacionada ao controle do erro tipo II.
B = P(erro tipo II) = P(não rejeitar Ho/Ho é falsa)
Observação: a soma das probabilidades a e b não resulta em 1 (ou 100%). Mas, quanto mais diminuímos a, mais aumentamos ẞ.
Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Voltando ao exemplo)
Voltemos à situação da nova máquina retificadora.
Imagine que façamos uma amostra de 30 tempos de retificação.
■ Para dado nível de significância a do teste de hipóteses, descrevemos o valor crítico xc, conforme segue.
a = P(erro tipo I) = P(rejeitar Ho/Ho é verdadeira) = P(X < 120/µ = 120)
Imagine que adotemos nível de significância de 5% (a = 0,05). Assim, ficamos com: 0,05 = P(X < 120/µ = 120)
Vimos, pelo TCL, que, se a variável X segue uma distribuição normal de média µ e variância σ², ou seja, X ~ N(µ;σ²), então a μ média amostral também segue distribuição normal de probabilidades com média μ e variância σ²/n, ou seja, X ~ N(μ;o²/n). Logo:
2 = X - 11
· N(0;1)
Em um teste de hipótese, aquela conhecida como hipótese nula é conhecida como:
Em um teste de hipótese, aquela conhecida como hipótese nula é conhecida como:
Imagine que façamos uma amostra de 30 tempos de retificação da máquina nova, ou seja, obtemos uma amostra de tamanho n = 30. Assim, para o exemplo em estudo, temos:
5/√30 de z e chegamos a: 0,05 = P(Z <z)
▪ Queremos achar Z de modo que tenhamos o que se ilustra na gaussiana a seguir.
Resposta para o exemplo de teste de hipótese (Continuando o exemplo)
■ Precisamos encontrar, "dentro" da tabela normal reduzida, o valor 0,95, em que o valor mais próximo de é 0,9505, que corresponde a z* = 1,65.
■ Como z* = 1,65 e z* = −Z, então Z = −1,65.
■ Podemos dizer que testar uma hipótese estatística é estabelecer uma regra que possibilite, com base na informação de uma amostra, decidir pela rejeição ou pela não rejeição da hipótese nula Ho.
■ No caso em análise, com uma amostra de tamanho n = 30, essa regra, expressa pela região crítica (RC) ao nível de significância de 5% (a = 0,05), ilustrada a seguir, é dada por x < 118,5s.
■ Com uma amostra de tamanho n = 30, o conjunto de valores de tempo, representado pela variável X, que levam à não aceitação da hipótese nula Ho é dado por x < 118,5s.
■ Ou seja, se a média amostral dos tempos resultar em valor menor do que 118,5s, ao nível de significância de 5%, não aceitaremos que o tempo médio de retificação da nova máquina seja igual a 120 segundos (nesse caso, acataremos a hipótese Ha, segundo a qual o tempo médio de retificação da nova máquina é menor do que 120s).
No entanto, se em uma amostra de 30 tempos de retificação da máquina nova tivermos a média amostral de 119 s, por exemplo, não vamos concluir, ao nível de significância de 5%, que o tempo médio de retificação da nova máquina é menor do que 120s. Fazendo com que não rejeitemos a hipótese nula Ho.
Etapas em um teste de hipóteses para média com variância populacional conhecida
■ Etapa 1: Estabelecer as hipóteses Ho e Ha em relação ao valor de média amostral de referência μo, em que podemos ter o caso 1 (unilateral à esquerda), o caso 2 (unilateral à direita) ou o caso 3 (bilateral).
Etapas em um teste de hipóteses para média com variância populacional conhecida
Etapa 2: Definir uma regra de decisão com base em Ha, em que Xc representa o valor crítico e RC representa a região crítica (zona de rejeição de Ho).
Regra 1 Ha: μ < μο Rejeitar Ho se X≤x
Rejeitar Ho se X≤x, ou se XX
Etapas em um teste de hipóteses para média com variância populacional conhecida
■ Etapa 3: Identificar o estimador e o tipo de distribuição de probabilidades que essa variável aleatória segue.
■ Por exemplo, se a variável aleatória populacional X segue uma normal de média µ e variância σ², ou seja, X ~ N(µ;σ²), então a variável aleatória amostral X, relativa a uma amostra de tamanho n, segue uma normal de média µ e variância o²/n, ou seja, X~ N(μ;o²/n).
Etapa 4. Fixar o nível de significância a (ou seja, a probabilidade de rejeitar Ho, sendo Ho verdadeira) e determinar a RC.
Etapa 5. Concluir o teste verificando se o valor de média observado na amostra, indicado por Xobs, pertence ou não pertence à RC.
■ Visam a testar se dado modelo probabilístico é adequado a determinado conjunto de dados.
■ Nesses testes, verificamos se a distribuição das frequências absolutas de fato observadas de uma variável é significativamente diferente da distribuição das frequências absolutas esperadas para essa variável.
Teste de independência
■ Visam a testar se há independência entre duas variáveis A e B.
■ Inicialmente, organizamos as frequências "O" observadas em uma tabela de dupla entrada, com r linhas es colunas, como a mostrada a seguir.
Então, estabelecemos as hipóteses Ho e Ha indicadas a seguir:
Hipótese nula (Ho): as variáveis A e B são independentes.
Hipótese alternativa (Ha): as variáveis A e B não são independentes.
■ Sendo Eij a frequência esperada para a medida ij, fazemos a quantificação das diferenças entre as frequências observadas e suas respectivas frequências esperadas por meio da estatística a seguir, indicada por Q2.
03 = ΣΣ ΣΣΟ -E2 i=1 j=1 Eij r s
Se Ho é verdadeira, então a variável aleatória Q2 segue aproximadamente uma distribuição X² (letra grega qui elevada ao quadrado) com q graus de liberdade (X2q).
■ Isso é válido para número total de observações n "grande" (n ≥ 30) e para no mínimo 5 frequências absolutas esperadas em cada categoria.
Quando aplicamos o cálculo de Q² a um conjunto específico de observações, obtemos o valor Q2obs.
≈2 obs
Eij i=1 j=1
■ Na expressão, q é o número de graus de liberdade, sendo q = (r− 1). (s − 1).
■ Identificamos P = P(x²q ≥ Q²obs), em que, como acabamos de dizer, Q2obs é o valor calculado para Q² com base nos dados observados.
■ Finalmente, se, para determinado nível a fixado, temos P ≤ a, então rejeitamos Ho.
Imagine que a fábrica Chocolate Delicioso produza 4 tipos de chocolate: Choc A, Choc B, Choc C e Choc D.
O gestor dessa fábrica quer saber se a preferência por tipo de chocolate é ou não é independente do local de moradia do consumidor (zona sul, zona norte ou zona central). Para isso, fez uma pesquisa com 1320 consumidores e obteve as observações apresentadas a seguir.
O que se pode concluir dessas observações ao nível de significância de 5%?
A região expressa pela regra que possibilite, com base na informação de uma amostra, decidir pela rejeição ou pela não rejeição da hipótese nula Ho, é chamada de:
a) Região nula.
b) Região hipotética c) Região crítica. d) Região normal. e) Região transiente.
A região expressa pela regra que possibilite, com base na informação de uma amostra, decidir pela rejeição ou pela não rejeição da hipótese nula Ho, é chamada de:
a) Região nula.
b) Região hipotética c) Região crítica. d) Região normal. e) Região transiente.
(Estabelecendo hipóteses e apresentando o número de observações) As hipóteses a serem testadas são:
Hipótese nula (Ho): a preferência por determinado tipo de chocolate não depende do local em que o consumidor mora.
Hipótese alternativa (Ha): a preferência por determinado tipo de chocolate depende do local em que o consumidor mora.
Encontramos o total "n" de 1320 observações dividido em:
▪ 4,02% dos 1320 consumidores entrevistados moram na zona sul, pois (53/1320). 100% = 4,02%.
■ 34,62% dos 1320 consumidores entrevistados moram na zona norte, pois (457/1320). 100% = 34,62%.
61,36% dos 1320 consumidores entrevistados moram na zona central, pois (810/1320). 100% = 61,36%.
(Construção da tabela de valores observados e esperados)
■ Se há independência entre o local em que o consumidor mora e o tipo de chocolate que ele prefere, temos as quantidades esperadas mostradas na tabela que será apresentada.
■ Como se trata de quantidades teóricas, para fins de cálculos, consideraremos valores não inteiros, mesmo sabendo que o número de consumidores é inteiro.
Exemplo de cálculo:
Quantidade esperada de consumidores que moram na zona sul e preferem Choc A: 12,22. (% de moradores da zona sul). (Número de consumidores que preferem Choc A) =
(Construção da tabela de valores observados e esperados)
■ Na tabela a seguir, temos, nas colunas azuis, as quantidades observadas e, nas colunas verdes, as quantidades esperadas de consumidores.
■ Na tabela a seguir, temos o destaque das indicações das quantidades observadas (em azul) e das quantidades esperadas (em verde) de consumidores.
■ Fazemos a quantificação das diferenças entre as frequências observadas e suas respectivas frequências esperadas:
(Oij Q² obs = 1 (0;i; - Eij)² ΣΣ Eij i=1 j=1
Como temos r = 3 categorias de locais de moradia (zona sul, zona norte e zona central) e s = 4 categorias de tipos de chocolate (Choc A, Choc B, Choc C e Choc D), o número de graus de liberdade q vale 6, pois:
q = (r− 1). (s − 1) = (3 − 1) . (4 − 1) = 2.3 = 6 Fonte: Livro-texto.
Assim, temos X = 54,01 e procuramos, em uma tabela de distribuição qui-quadrado, na linha de graus de liberdade (g.l.) igual a 6 (q = 6).
0,500 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 Fonte: Livro-texto.
■ O máximo valor na linha de graus de liberdade (g.l.) igual a 6 (q = 6) é 18,548, que resulta em P(X≥ 18,548) = 0,005.
Logo, temos a certeza de que P(X ≥ 54,01) < 0,005.
Assim, concluímos que, ao nível de significância de 5% (a = 0,05), rejeitamos Ho, visto que P(X≥ 54,01) < a. ■ Ou seja, ao nível de significância de 5%, chegamos à conclusão de que a preferência por determinado tipo de chocolate depende do local em que o consumidor mora.
Será que essas duas variáveis estão relacionadas ou correlacionadas entre si de maneira aproximadamente linear?
■ Temos um coeficiente, chamado de coeficiente de correlação e indicado por R, que quantifica o grau de associação entre duas variáveis. Esse coeficiente é calculado pela expressão a seguir, em que n é o número de pares (X;Y).
ΣX; - Y₁ = 9,24+4,2+20,13+56,56+161,04 = 251,17
i=1
32,9 n. Xobs Yobs = 5.3,42. 6,58 = 112,518
Σxi - Y₁ = X₁ - Y₁ + x2 · Y2 +X3 • Y3 +X4 · Y4+X5. Y5 i=1 n
Ex=4,41+2,25+10,89+31,36+77,44=126,35 i=1 n y₁² = (-4,4)² +2,8² +6,12+10,1²+18,32 n
Y₁ = 19,36+7,84+37,21+102,01+334,89 = 501,31 i=1
Fonte: Livro-texto.
■ O coeficiente R igual a 0,997 indica que as variáveis X e Y em estudo têm forte correlação positiva: se X aumenta, Y aumenta, e esse aumento é praticamente linear.
■ O coeficiente de correlação R também é chamado de coeficiente de Pearson.
Σ X; - Yi-n. Xobs - Yobs
■ se R > 0, quando uma variável aumenta, a outra variável aumenta;
■ se R < 0, quando uma variável aumenta, a outra variável diminui;
■se R = 0, as variáveis não apresentam associação linear;
■ se R = 1, as variáveis apresentam associação linear positiva tão forte que os pontos do gráfico de dispersão são pontos de uma reta crescente;
▪ se R = −1, as variáveis apresentam associação linear negativa tão forte que os pontos do gráfico de dispersão são pontos de uma reta decrescente.
■ Muitas vezes, queremos saber qual é a reta que se ajusta da melhor maneira aos pontos de um gráfico de dispersão.
■ Nesse caso, usamos o chamado método dos mínimos quadrados para estimar os coeficientes m en de uma função do 1º grau y = m. x + n (cujo gráfico é uma reta) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos vindos da diferença entre os valores y efetivamente observados e os seus valores esperados E(Y/X = x). Nesse sentido, observe a figura a seguir.
y E (Y/X = x)
y y = m. x + n
É possível demonstrar que os coeficientes me n são calculados segundo as equações a seguir.
Σ X; . Y; - n. Xobs - Yobs m n
X; -n. Xobs i=1 n = Yobs-m.x obs
Fonte: Adaptado do livro-texto.
■ Vamos aplicar essas fórmulas para acharmos a melhor reta, de equação y = m. x + n, para representar a relação entre os pares (x;y)
■ Como o cálculo do coeficiente m é extenso, é interessante que o façamos por partes.
Xobs
Yobs n i=1 n
Σxi - Y₁ = (-3). (-10,5)+(−1). (-3)+0.0,5+2.5+5.17
n i=1
Σ X; - Y₁ = 31,5+3+0+10+85=129,5
= 1,8 5 n.Xobs Yobs 5.0,6. 1,8 = 5,4
‚x;² = (−3)² +(−1)² +0² +2² +5²
Xi-Yi X1 Y1 X2 Y2 + X3 ⋅ Y3 +X4 · Y4 +X5 • Y5 i=1 n
2 Σ x3² = 9+1+0+4+25=39 i=1 n
ΣX; - Yi - n. Xobs - Yobs
■ No gráfico, temos os 5 pares (x;y) observados e a reta y = 3,336x - 0,202.
n = Yobs - m. Xobs = 1,8-3,336. 0,6 = 1,8 - 2,002 = -0,202
Qual é o coeficiente que informa se duas variáveis estão relacionadas entre si de maneira aproximadamente linear?
a) Coeficiente de independência.
b) Coeficiente de pesquisa.
c) Coeficiente de correlação. d) Coeficiente médio.
e) Coeficiente de dispersão.
Qual é o coeficiente que informa se duas variáveis estão relacionadas entre si de maneira aproximadamente linear?
a) Coeficiente de independência.
b) Coeficiente de pesquisa.
c) Coeficiente de correlação. d) Coeficiente médio.
e) Coeficiente de dispersão.
ATÉ A PRÓXIMA!