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Análisis Matemático 2 z = f(x, y)
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro “Cálculo de varias variables” de Thomas, décimosegunda edición, Ed. Pearson.
Los ejercicios se dividen en ejercicios obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y opcionales (*).
Expresiones de cálculo (las definiciones se han dado en clase de teoría).
1. a) Represente gráficamente la curva que es la imagen de cada una de las siguientes funciones vectoriales, indicando punto inicial y final en cada caso. (En caso de ser posible escriba la o las ecuaciones cartesianas que representen las coordenadas de los puntos en la curva.) 1) (o) r(t) = (t,t² − 1), −2 ≤ t ≤ 2.
8) (o) r(t)=(t, cost, sent), 0 ≤t≤2.
9) (0) r(t) = (1, t², t), 0 ≤ t ≤ 2.
10) (r) r(t)
(cos(3t) cos(t), cos(3t) sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π. En esta curva analice si se corta a sí misma e indique cuál es una condición para que una función vectorial represente una curva que no se corte a sí misma (es decir, que sea simple).
b) (r) Indique qué gráfico se corresponde con qué curva: (En caso de ser posible escriba la o las ecuaciones cartesianas que representen las coordenadas de los puntos en la curva)
-1 -1 y r1(t) = (sent, cost,t), t € [0,8ñ];
r2(t)=(√t, et, cost), t = [0,8π];
r3(t) = ((1 − t) sen(100 t), (1 − t) cos(100 t), √1 − (1 − t)²), t Є [0, 1].
2. (0) Dé una parametriación para cada una de las siguientes curvas.
a) El segmento que une los puntos (0,0) y (1,2), en ese orden, en el plano. Repita, invir- tiendo el sentido de recorrido.
b) El segmento que une los puntos (0,3,1) y (1,3,0), en ese orden, en el espacio. Repita, invirtiendo el sentido de recorrido.
c) La curva que se encuentra en el espacio, y se puede describir como el lugar geométrico de intersección del cilindro parabólico de ecuación z 1 - x² y el plano y 5, entre los puntos (0,5, 1) y (1,5,0), recorridos en ese orden. Repita, invirtiendo el sentido de recorrido.
d) Dado R > 0, parametrice el arco de circunferencia con centro en (0, R, 0) y radio R, incluido en el plano y R, desde el punto (R, R, 0) hasta el punto (0, R, R), en sentido horario visto desde el punto (0, 2R, 0). Repita, invirtiendo el sentido de recorrido. e) Dado R > 0, parametrice la curva C, intersección de las superficies x² + y² x =
R² y - y², como muestra la figura siguiente (curva punteada, en el gráfico), en sentido antihorario cuando se mira desde el semieje z positivo. Parametrice también la curva L.
R2
2. Límite, continuidad y derivada; concepto de curva suave
3. (0) Para cada una de las funciones del ejercicio la, a) analice la continuidad;
b) calcule la derivada en cada punto e indique si se trata o no de una curva suave;
c) halle la rapidez, velocidad, aceleración, vector tangente unitario y ecuación de la recta tangente en el punto intermedio de cada intervalo.
4. (r) Sea r R → R³ una función con derivadas de todos los órdenes. Si u es una función definida en R por u(t) = r(t) · [r′(t) × r″(t)], pruebe que u'(t) = r(t) · [r′(t) × r'"' (t)].
a) (o) Pruebe que si r es una función vectorial diferenciable de módulo constante, entonces la derivada r' es ortogonal a r en cada punto.
b) (r) Sea r una función vectorial diferenciable de t. Pruebe que si r entonces |r| es constante.
O para todo t,
6. En cada uno de los siguientes ejercicios r(t) es la posición de una partícula en el plano xy en el instante t, t≥ 0. Halle una ecuación en x e y cuyo gráfico sea la trayectoria de la partícula. Halle los vectores velocidad y aceleración de la partícula en el valor indicado de t.
a) (r) r(t)=(t+1)i + (t² − 1)j, t = 1.
b) (0) r(t) = (e², ½½e²), t = ln 3.
7. (r) La posición de una partícula que se mueve sobre la circunferencia x² + y² 1 en el plano xy viene dada por r(t) = (sen(t), cos(t)), t Є R. Halle la velocidad y aceleración de la partícula en los instantes ti = π/4 y t₂ = π/2; represéntelos como vectores sobre la curva.
8. a) (o) La posición de una partícula que se mueve en el espacio viene dada por r(t) = (t1, t21, 2t), tЄ R.
Halle la velocidad y aceleración de la partícula. También halle la rapidez y dirección del movimiento de la partícula en el instante t = 1. Escriba la velocidad de la partícula como el producto de la rapidez y la dirección de movimiento.
b) (r) Repita el ejercicio anterior para r(t)
(2 cost, 3 sent, 4t) y t = π/2.
9. (r) Sea la curva dada por r(t) = (t³ —t² —t, t² −t), t = R, cuyo gráfico se incluye a continuación.
y va.
a) Indique con una flecha sobre el gráfico, cuál es el sentido de recorrido de la curb) Halle analíticamente las coordenadas de los puntos de corte de esta curva con los ejes coordenados.
c) Indique dónde esta curva se corta a sí misma (debe dar los valores del paráme- tro y las coordenadas del punto de cor- te).
d) Sir representa la posición de un móvil en función del parámetro t, exprese cuál es r'(t). Trace en su gráfico r'(1).
e) Sir representa la posición de un móvil en función del parámetro t, exprese cuál es r″(t). Trace en su gráfico r"(1).
f) Halle el vector tangente unitario a la curva dada por r en el punto r(0). Trácelo en el gráfico.
g) Indique, justificando su respuesta, si se trata o no de una curva suave.
10. (r) Sea la curva dada por r(t) = (t² −t+2, t³ −3t), tЄR.a a) Indique con una flecha sobre el gráfico, cuál es el sentido de recorrido de la curva.
b) Indique dónde esta curva se corta a sí misma (debe dar los valores del parámetro y las coordenadas del punto de corte), sabiendo que la abscisa del punto de corte es 4.
c) En el punto P marcado, la recta tangente a la curva es vertical. Dé el vector tangente unitario a la curva en P y las coordenadas de P.
"Con esta curva se trabajará en el Trabajo Práctico 4A.
11. Dé ecuaciones paramétricas para la recta que es tangente a la curva dada en el valor dado del parámetro:
(sent, t².
cost, et), to = 0.
a) (o) r(t) = t-1 t+2 b) (r) r(t) = (Int, ½, tlnt), to = 1.
12. Considere las siguientes funciones:
a) (0) r(t) = (cost, sent), t ≥ 0;
b) (o) r(t) = (cos(2t), sen(2t)), t≥ 0;
c) (r) r(t) = (cos(t), sen(t)), t≥ 0;
sent), t > 0;
d) (o) r(t) = (cost, e) (o) r(t) = (cos(t²), sen(t²), t> 0;
Cada una de las ecuaciones anteriores describe el movimiento de una partícula sobre la cir- cunferencia unitaria x² + y² = 1. Para cada caso responda las siguientes preguntas:
i) ¿Es constante la rapidez de la partícula?
ii) ¿Es la aceleración de la partícula ortogonal a su velocidad en todos los puntos?
iii) ¿El movimiento de la partícula es en sentido horario o contrario al movimiento de las agujas del reloj?
iv) ¿La partícula está inicialmente en el punto (1,0)?
13. (o) Una partícula se mueve a lo largo de la rama superior de la parábola y² = 2x, de izquierda a derecha, con una rapidez constante de 5 unidades por segundo. Halle la velocidad de la partícula al pasar por el punto (2, 2).
(te², et, 1)dt.
15. (o) Suponga que se desconoce la trayectoria de un planeador pero se conoce su aceleración: a(t) = −3 costi – 3 sen tj + 2k. Se sabe que inicialmente (en t 0) el planeador partió del punto (3,0,0) con velocidad v(0) = i+3j. Determine la posición del planeador como función de t.
a) Mediante funciones vectoriales escriba fórmulas que describan el movimiento de un pro- yectil, para el caso en que no hay rozamiento. Considere g = 9,8m/s².
b) Un proyectil es disparado desde el origen de coordenadas sobre suelo horizontal con una rapidez inicial de 500m y un ángulo de lanzamiento de 60°. ¿Cuál será la ubicación del proyectil 10s más tarde?
17. (r) Resuelva la ecuación diferencial dr dt
−ti – 2tj + tk sujeta a la condición inicial r(0) i+2j3k, para r como función vectorial de t.
18. (*) Pruebe que si C = R³ y r(t) = R³ para todo t € [a, b], entonces cb
4. Longitud de arco en el plano y en el espacio
19. (o) Un planeador se eleva a lo largo de la hélice de ecuación r(t) (cost, sent, t), t≥ 0. ¿Cuál es la longitud de la trayectoria del planeador, desde t = 0 hasta t = 2Ã?
20. (o) Consideremos la hélice dada por la ecuación y llamemos to = 0.
r(t) = (cost, sent,t), t Є R, (1)
a) Encuentre el parámetro de la longitud de arco s(t) a lo largo de la hélice desde to hasta t.
b) En la ecuación obtenida despeje t en función de s.
c) Sustituya este valor t(s) en la ecuación (1) para obtener la parametrización por longitud de arco para la hélice.
d) ¿Cuáles son los puntos r(t(0)), r(t(√2π)), r(t(−1))?
21. (r) Obtenga el vector tangente unitario a la curva dada por r(t)
representa la trayectoria de cierto planeador.
(3 cost, 3 sent, t²), que 22. (o) En cada ejercicio obtenga el vector tangente unitario a la curva. También calcule la longitud de la parte indicada de la curva.
a) r(t) (2 cost)i + (2 sent)j + √√√5tk, b) r(t) = ti+t³/2k, 0<t≤8.
23. (r) Obtenga el punto en la curva dada por r(t) = (5 sent)i + (5 cos t)j + 12tk, t € R, que se encuentra a una distancia, a lo largo de la curva, de 267 unidades desde el punto (0,5,0) y en la dirección en la que crece la longitud de arco.
24. (r) Obtenga el parámetro de longitud de arco a lo largo de la curva dada por r(t) = (4 cost, 4 sent, 3t), t = R, desde el punto donde t = 0, calculando la integral
V(T) dr.
Luego, calcule la longitud de la parte de la curva para la cual 0 ≤ t≤ π/2.
25. (*) Para construir un tornillo sin fin como los de la imagen (usados para mover engranajes de una máquina o para arrastrar material), จาก se puede pensar en una helicoide, que es una superficie (del tipo de las que estudiaremos en la unidad 4), constituida por la unión de hélices cilíndricas (como las presentadas en los ejercicios 19 y 20), como se ve en la imagen de la izquerda, a continuación:
Helicoide
Para construir este tipo de piezas, puede por ejemplo, utilizarse prensas o unirse porciones de material. En las imágenes de la derecha, se corta una corona circular y se la dobla, usando una prensa, para obtener la forma deseada. Acá entran en juego características del material, que permite hacer esto sin romperse o deformarse de maneras no deseadas.¹
La siguiente ecuación corresponde a una hélice, definida para valores de t en un intervalo [a, b]:
a) Realice un esbozo de la hélice.
b) ¿Qué representa el número p?
ro(t)=(pcos(t), psen(t), at), a≤t≤b, donde p > 0 y elegimos a > 0. Trabajaremos en el intervalo [a, b] = [0,2π].
¹En la práctica suele cortarse una corona circular con radios exterior e interior apropiados, mayores que los R y r nominales, de acuerdo a una fórmula determinada.
c) ¿Cuál es la influencia de a? Es decir, ¿qué cambia si a es pequeño o si es grande?
Se tiene una corona circular, como la de la imagen a continuación, que será cortada por la línea punteada para darle forma usando una prensa (como vimos en imágenes anteriores).
R ν d) Para cada una de las circunferencias (la interior, de radio r, y la exterior, de radio R), calcule el perímetro.
e) Calcule la longitud de la hélice exterior que se obtiene al separar las partes de la corona circular a ambos lados de la línea punteada, una distancia ß > 0 (suponiendo que solo varían las cotas de los puntos de las curvas).
f) Calcule cuánto debe estirarse el material (compare las longitudes de la circunferencia de radio R y de la hélice correspondiente).
DE INGENIERÍA
Trabajo Práctico 2 Funciones de varias variables
UNCUYO
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro “Cálculo de varias variables" de Thomas, décimosegunda edición, Ed. Pearson.
Los ejercicios se dividen en ejercicios obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y opcionales (*).
Ecuaciones del plano tangente y recta normal a una superficie en un punto Po:
Superficie dada en forma implícita por F(x, y, z) = 0, punto Po(xo, yo, zo).
PLANO: Fx (Po)(x − xo) + Fy(Po)(y- yo) + Fz(Po)(z = zo) = 0 x- x0 y - Yo
(x, y, z) = Po + t▼F(Po), tЄ R
Superficie dada en forma explícita por z = f(x, y), punto Po(xo, yo, f(xo, yo)).
PLANO: z = f(xo, yo)(x − xo) + fy(xo, yo) (y - yo) + f (xo, yo)
2= x-x0 z - ZO −1 y - Yo
1. (r) Evalúe la función f(x, y) siguientes valores:
a) f(0,0) b) f(-1, 1)
Además, analice cuáles son los conjuntos de partida y de llegada de f.
O (x, y, z) = Po +t(fx (xo, yo), fy(xo, yo), -1), tЄR x² + xy³ en los puntos que corresponde, para obtener los c) f(1,-1) d) f(2,3) e) f(-3,-2)
2. Obtenga y grafique el dominio de cada función. Indique cuál es el conjunto Imagen.
a) (r) f(x, y) = √√ y − x 2
3. (0) Siendo D CR², considere la función f : D → R dada por f(x, y)
a) Indique el dominio D, como el mayor conjunto posible.
Y x² + y²* d) ¿Cuál es el conjunto de puntos del dominio D donde f es positiva o negativa?
4. (o) Obtenga y grafique las curvas de nivel f(x, y) coordenados para los valores dados de c. Nos referimos a estas curvas de nivel como un mapa de contorno.
a) f(x, y) = x² + y², c = −1, 0, 1, 4, 9, 16; b) f(x, y) = xy, c = -4, -1, 0, 1, 4.
5. (r) Obtenga el dominio de las siguientes funciones y determine el rango de las mismas. Describa las curvas de nivel de cada función y encuentre la frontera del dominio de cada una. Determine si el dominio es una región abierta, cerrada o ninguna de las dos, y decida si el dominio está o no acotado.
a) f(x, y) = √√y − x; b) f(x, y) = arc sen (y - x); c) f(x, y) In(9 - x² - y²).
6. (o) Obtenga analíticamente y represente gráficamente el dominio D de la función ƒ : D → R, dada por √4 — x² — y² ln(x² + y² − 1)* f(x, y) =
7. (o) Muestre los valores de las siguientes funciones de dos maneras: I) graficando la superficie x = f(x,y), y II) dibujando varias curvas de nivel en el dominio de la función. Marque cada línea de contorno.
d) f(x, y) = √√x² + y² − 4.
8. (o) Asocie cada conjunto de curvas de nivel, del primer grupo de gráficos, con la función apropiada del segundo grupo.
z = (cos x)(cos y) e-√√x² + y²/4
z = y² - y4 - x² c.
xy2 z =
4x² + y² x d.
xy(x² - y²) z + y² z = z = e cos x
9. (0) Dibuje la superficie de nivel típica (es decir f(x, y, z) = 1) para cada función:
a) f(x, y, z) = x² + y²+ z²;
b) f(x, y, z) = y²+ z²;
c) f(x, y, z) = z − x² — y².
10. (o) Determine la ecuación para la superficie de nivel de la función en el punto dado. Realice un esbozo de la misma.
a) g(x, y, z) = √√x² + y² + z², (1, −1, √2);
b) f(x, y, z) = ln(x² + y + z²), (−1, 2, 1).
11. (*) Si la función V con dominio D C R² da el potencial eléctrico en cada punto de D, a) ¿cómo se llaman las curvas de nivel de V? Interprete físicamente.
b) Describa la forma de la placa D, si la función potencial está dada por C
V (x, y) = donde C es una constante positiva (debe dar la forma de la placa D más grande posible). c) Trace algunas curvas de nivel de V.
2. Límite y continuidad
12. Calcule los siguientes límites:
3x² - y²+5 a) (r) lím (x,y)→(0,0) x² + y² + 2
√√x - √y+1 d) (0) lím x - Y 1 1 - cos(xy)
xy x² - 2xy + y² f) (r)
13. (o) Si dado el límite f(x, y) se hallan lím (x,y)→(a,b)
lím | lím f(x,y)
lím y-b x-a y+b х→а y→b \xa se dice que se ha tomado límites iterados. Este procedimiento no siempre conduce al valor del límite. Analice los siguientes ejemplos.
a) Para analizar el límite sen(2+y2) x² + y² lím (x,y)→(0,0)
halle los límites iterados. Verifique que ambos valores coinciden con el valor del límite doble.
b) Para la función dada por xy2 f(x, y) = x² + y4' verifique que los límites iterados cuando (x, y) → (0,0) sí existen pero el límite lím (x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe.
c) Para la función dada por f(x,y) = (x + y) cos () cos (½), verifique que los límites iterados cuando (x, y) → (0,0) no existen pero el límite lím(x,y)→(0,0) f(x, y) sí existe. d) Aplicando límites iterados, halle si existe. Si no existe, justifique.
x + y lím (x,y)(0,0) x - y 14. ¿En cuáles puntos (x, y) del plano las siguientes funciones son continuas?
a) (o) f(x,y) = ln(x² + y²).
b) (r) f(x, y)
= sen xy x + y c) (r) f(x, y)
2+ cos x
15. ¿En cuáles puntos (x, y, z) del espacio las siguientes funciones son continuas?
a) (o) f(x, y, z) = ln(xyz).
b) (r) g(x,y,z) = √x² + y² − 1.
c) (r) h(x, y, z) = x² + y²
16. (o) Considerando diferentes trayectorias de aproximación, demuestre que las siguientes funciones no tienen límite cuando (x, y) → (0,0).
х a) f(x, y)
b) g(x, y)
Y xy² – 1 lím (x,y)→(1,1) y - 1
17. (r) Demuestre que el siguiente límite no existe:
2x²y x² + y² presenta una tendencia a cero a lo largo de 18. (o) Demuestre que la función f(x, y) =
2x²y lím (x,y)→(0,0) x² + y²° todas las líneas rectas que tienden a (0,0), pero no existe
19. (0) Obtenga of af af მ y para მყ a) f(x,y) = x² b) f(x, y) =
X x² + y²° xy In y.
c) f(x, y)
= e d) f(x, y) = xy.
cada una de las siguientes funciones.
xy+ y²; además, pruebe (por definición) que f es diferenciable.
20. (o) Calcule la derivada parcial de las siguientes funciones con respecto a cada variable.
a) f(x, y, z) = x² – 3z; además, pruebe (por definición) que ƒ es diferenciable. b) f(x,y, 2) =x- √y ² + z².
c) h(p, 0, 0) = p sen cos 0.
21. (r) Encuentre las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:
b) w = ex ln y + y ln x.
23. (r)
e3x+4y cos(52) satisface la ecuación de Laplace.
■ Demuestre que la función f(x, y, z)
¿En qué conjunto? (Ecuación de Laplace: 2 + 321 + 321 = 0).
8x2
■ Sea la función f(x, y) = ln(x² + y²); indique cuál es su dominio D y pruebe que es una función armónica en D, es decir, que satisface la ecuación de Laplace en D.
24. (o) Demuestre que la función w = sen(x + ct) es solución de la ecuación de onda. (Ecuación de onda: 0² = 22).
a²w Ət²
25. (r) Demuestre que la función u(x, t)
del calor en el tiempo t en una dimensión:
a y ẞ positivos. Indique cuáles son dichos valores.
ди Ət sen(ax)e-ẞt satisface la ecuación del calor (distribución 22 и dx2, = k donde k > 0), para ciertos valores de 26. (*) Una función f(x, y) que tiene sus primeras derivadas continuas en una región abierta R, ¿tiene que ser continua en R? Justifique su respuesta.
27. (*) Las derivadas parciales de segundo orden mixtas de una función ƒ no necesariamente coinciden. Compruebe que fxy (0,0) ‡ fyx (0,0) para la función ƒ definida en R² por xy(x² - y²) x² + y² f(x, y) =
Sugerencia: calcule las derivadas parciales involucradas por definición y compruebe que ƒxy(0,0) = −1 y que fyx (0, 0) = 1.
28. En cada uno de los ejercicios presentados abajo se debe hacer lo mismo que se indica en el primero de ellos, adaptando las consignas en cada caso.
a) (o) Sean f(x,y) = x² + y², x(t) = cost + sent, y(t) = cost – sent y w(t) = f(x(t), y(t)). 1) Haga un diagrama de la composición, identificando la o las variables independientes, intermedias y dependientes, los espacios en que están incluidos los dominios y las imágenes de las funciones involucradas, incluida la función compuesta.
2) Exprese d como una función de t usando la regla de la cadena.
3) Halle expresando w en términos de t y derivando directamente con respecto a t. 4) Finalmente evalúe en el valor de t = 0.
dw dt b) (r) f(x, y, z) = 2ye - In z, x(t) = ln(t² + 1), y(t) = arctant, z(t) = e² y w(t) = f(x(t), y(t), z(t)); t = 1.
c) (o)f(x, y) = 4elny, x(u, v) In(u cos v), y(u, v) = u sen v; w(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)); (u, v) = (2,π/4).
d) (r) w = xy + yz + xz, მო
29. (r) Determine sen(r+s).
30. (o) Sea T x = u+v, y = u – v, z = uv; (u, v) = (1/2, 1).
cuando r = 1, s = -1, si w = (x + y + z)², x = r = s, y = cos(r + s), z =
T(x,y) la temperatura en el punto (x, y) de la circunferencia x = cost, y = sent, 0<t≤ 2π y suponga que:
эт მუ
8y - 4x.
a) Encuentre dónde ocurren las temperaturas máxima y mínima en la circunferencia, exa- minando las derivadas Y dt" dt2
b) Suponga que T de la circunferencia.
= 4x² − 4xy + 4y². Obtenga los valores máximo y mínimo de T dentro a) (o) Suponiendo que las ecuaciones definen a y como una función derivable de x, use el teorema de derivación implícita para obtener el valor de dy en el punto dado.
a₁) xy + y² − 3x − 3 = 0, (−1, 1);
a2) xe sen(xy) + y − ln 2 = 0, (0, In 2).
b) (r) Suponiendo que las ecuaciones definen a z como una función derivable de x y de y, use el teorema de derivación implícita para obtener b₁) z³ − xy + yz + y³ − 2 = 0, (1, 1, 1);
b2) sen(x+y) + sen (y + z) + sen(x+2) = 0, (π, π, π).
5. Derivadas direccionales y vectores gradiente
Əz Əz მთ y მყ en el punto dado.
32. Determine el gradiente de la función en el punto dado y dibújelo junto a la curva de nivel que pasa por el punto.
a) (o) f(x,y) = yx, (2, 1).
b) (r) g(x, y) = xy², (2, −1).
33. (o) Sean la función f(x, y) = x x¹ − 2x² + y² – 2y + 1 y el diagrama de curvas de nivel de la misma, presentado a continuación, en el que se ha marcado un punto P..
-1 a) Determine el gradiente de f en el punto (0,2) y represente un múltiplo positivo del mismo en el diagrama de curvas de nivel.
b) Indique cuáles son los valores de las curvas de nivel en las que el mismo no está indicado. c) Represente gráficamente un múltiplo positivo del gradiente de ƒ en el punto P.
34. (r) Obtenga el gradiente de f(x, y, z) = (x² + y² + z²)−1/2 + In(xyz) en el punto (−1, 2, −2).
35. (o) Encuentre la derivada de la función en Po en la dirección de ủ:
X- - Y xy+2 a) g(x, y)
36. (r) Dada f(x, y)
Po(1, −1), ū = 12î + 5ĵ.
b) h(x, y, z) = cos(xy) + e³² + ln(zx), Po(1,0, 1/2), ū = î +2ĵ + 2k.
x² + xy + y², obtenga las direcciones en las cuales of crece y decrece más rápidamente en Po(-1, 1). Luego obtenga los valores de las derivadas de f en dichas direcciones.
x² + y², grafique la curva f(x, y) = 4 junto con Vf en el punto (√2, √2) y la recta tangente a la dicha curva de nivel en el punto (√2, √2). Luego escriba la ecuación para la recta tangente correspondiente.
38. (o) Sea f(x, y) = x² − xy+y² – y. Obtenga las direcciones ū y los valores de Duf (1, −1) para los cuales:
a) Duf(1, −1) es el más grande;
b) Duf (1,-1) es el más pequeño;
39. (*) ¿Cuál es la relación entre la derivada de una función diferenciable f(x, y, z) en un punto
Po en la dirección de un vector unitario û y el componente escalar de (Vƒ) (Po) en la dirección de û? Justifique su respuesta.
40. (o) La función dada por x3 si (x, y) + (0,0), f(x, y) = si (x, y) = (0, 0).
es continua en (0,0). Pruebe que, aunque tiene derivadas parciales en (0, 0), no es diferenciable en dicho punto.
Sugerencia: para probar que ƒ no es diferenciable en (0,0) puede probar que la derivada direccional de ƒ en (0, 0) en ciertas direcciones u no es igual a Vƒ(0,0) ··
41. (*) Verifique que la función
definida en R² por J (x + y)² sen x + y = 0, x+y' g(x, y)
x + y = 0, 0, es diferenciable en (0,0) aunque sus derivadas parciales de primer orden no son continuas en (0, 0). Para ello:
a) calcule las derivadas parciales de primer orden de g en (0,0) y en (x, y) para (x, y) tal que x+y+0.
b) Compruebe que 9x no es continua en (0,0) verificando que no existe el límite lím(x,y) (0,0) 9x(x, y).
c) Verifique que g es diferenciable en (0,0) aplicando la definición. Sugerencia: plantee Ag(0, 0) y desarrolle la potencia que aparece en la expresión.
42. (o) Encuentre la ecuación para el plano tangente y la recta normal en los puntos Po(1, 1, 1), P₁(√3,0,0) y P2(0, 0, √3) a la superficie dada por x² + y²+ z² = 3.
43. (r) Obtenga una ecuación para el plano tangente a la superficie z = e (0, 0, 1).
44. (r)
a) ¿Aproximadamente cuánto cambiará f(x, y, z) = ln √√√x² + y²+ z² si el punto P(x, y, z)
X se mueve desde Po(3, 4, 12) una distancia ds ≈ 0, 1 unidades en la dirección de 3î +6ĵ – 2k?
b) Estime el cambio de f(x, y, z) origen una distancia ds e cos(yz) cuando el punto P(x, y, z) se mueve desde el 0,1 unidades en la dirección 21 + 2ĵ − 2k.
= x x² + y²+1
45. (o) Obtenga la aproximación lineal L(x, y) y la diferencial de la función f(x, y) en el punto (0, 0). Repita el ejercicio para el punto (1,1).
46. (o) Obtenga la aproximación lineal L(x, y, z) y la diferencial de la función f(x, y, z) = xy + yz + xz, en cada punto: (0,0,0), (1, 1, 1), y (1,0,0).
47. (r) La lata cilíndrica de un refresco tiene 12cm de alto y 3cm de radio. El fabricante planea reducir la altura de la lata en 0,2cm y el radio en 0,3cm. Utilizando diferenciales estime cuánta bebida menos encontrarán los consumidores en cada nueva lata.
a) (r) El área de un rectángulo es A lh, con posibles errores Al y Ah. Encuentre dA y encuentre en la figura las regiones cuyas áreas vienen dadas por los términos de dA. ¿Cuál es la región en el dibujo que corresponde a la diferencia entre AA y dA?
ΔΙ b) (r) Repita el ítem anterior, para el caso del volumen de un prisma de base cuadrada. Pue- de ver una imagen similar a la de abajo en el link https://www.geogebra.org/m/EPnkxkBV c) (r) Ídem, para el caso de un prisma de base rectangular.
d) (r) El volumen del cilindro circular interior en la figura es V = πr Tr²h. Los errores posibles en el radio r y la altura h son Ar y Ah, respectivamente. Halle dV e identifique en la figura los sólidos cuyos volúmenes están dados por los términos de dV. Además indique qué representa la diferencia entre AV y dV.
Sugerencia: puede ser útil considerar el radio medio entre r y r + dr.
AhT
49. Use la fórmula de Taylor para f(x, y) en el origen para obtener la aproximación cuadrática de cada una de las funciones dadas, cerca del origen. Exprese claramente el error.
a) (0) f(x,y) = xe³.
b) (r) f(x, y) = y sen(x).
c) (r) f(x,y) = x² + 3xy.
d) (r) f(x, y) = x + 3y + 5.
e) (r) f(x, y) = e² cos(y).
50. (r) Use la fórmula de Taylor para encontrar una aproximación cuadrática de f(x, y) cos x cos y en el origen. Exprese claramente el error. (*) Calcule el error en la aproximación si |x| ≤ 0,1 y |y| ≤ 0,1.
51. Determine los máximos y mínimos locales y puntos de silla de las siguientes funciones:
a) (0) f(x,y) = 3x²y − 3x² + y³ — 3y² + 2.
b) (r) g(x, y) = 2x² + 3xy +4y² − 5x + 2y.
c) (0) h(x, y) = x³ − y³ − 2xy + 6.
d) (r) f1(x, y) = y sen x.
e) (r) 91(x, y) = e− (x² + y²).
f) (r) h₁(x, y) = √√3+2x x²- y².
(fxy) se anula en el origen para f(x,y)
52. (r) El discriminante fxxfyy x²y², de manera que el criterio de la segunda derivada falla. Determine qué presenta la función en el origen imaginando la apariencia de la superficie z = f(x, y).
53. (r) Dada la función f(x,y) = x²y³, determine los puntos críticos de f. Luego, indique cuáles son los máximos y mínimos locales y puntos de silla de esta función. Un gráfico de curvas de nivel puede ser de ayuda.
54. La función dada por f(x, y) = x² + pxy + y² tiene un punto crítico en (0,0), cualquiera sea p. Verifique este hecho. Con respecto a este punto crítico:
a) ¿Para qué valores de la constante p la prueba de la derivada segunda garantiza que la función f tiene un punto de silla en (0,0)?
b) ¿Para qué valores de la constante p la prueba de la derivada segunda garantiza que la función f tiene un mínimo local en (0,0)?
c) ¿Para qué valores de la constante p la prueba de la derivada segunda no es concluyente? En este caso, clasifique el punto crítico (0,0) aplicando otro procedimiento.
d) ¿Puede haber un máximo local en (0,0)?
55. (o) Encuentre los máximos y mínimos absolutos de la función f(x, y) = 2x² - 4x + y² − 4y+1 en una placa triangular cerrada y acotada por las rectas x = 0, y = 2, y = 2x en el primer cuadrante.
56. (r) Una placa circular plana tiene la forma de la región x² + y² ≤ 1. La placa incluyendo la frontera donde x² + y² = 1, se calienta de manera que la temperatura en el plano (x, y) es T(x, y) = x² + 2y² x. Determine las temperaturas en los puntos más caliente y más frío de la placa.
57. (r) Determine tres números cuya suma sea 9 y cuya suma de cuadrados sea un mínimo.
58. (r) Obtenga las dimensiones de la caja rectangular de máximo volumen que puede inscribirse dentro de la esfera x² + y² + z²
a) (0) El siguiente diagrama de curvas de nivel corresponde a cierta función ƒ, de la que se conoce que tiene tres puntos críticos. Basándose en la información que le da el gráfico y justificando cada caso, marque de forma aproximada los puntos críticos en el gráfico e indique para cada uno de éstos si la función presenta allí un máximo local, un mínimo local o un punto de silla.
-2 b) (r) Constate las conclusiones que extrajo en el ítem anterior, sabiendo que la fórmula de la función presentada es f(x, y) = x²y + (y − 1)².
60. (r) Sea la función diferenciable ƒ dada por f(x, y) = ¾½³×³y+y³+x²y+y². El siguiente gráfico representa algunas curvas de nivel de f.
Se sabe que Vf se anula para cada uno de los puntos Po(0,0) y P₁(0, −½³½) (no son los únicos). Indique si f presenta un máximo local, un mínimo local o un punto de silla en Po y en P₁. Justifique su respuesta. Marque en el gráfico otro punto crítico y clasifíquelo.
61. (r) Sea la función diferenciable f dada por f(x, y) = x³y + y² + x²y − y¹. El siguiente gráfico representa algunas curvas de nivel de ƒ.
Se sabe que Vƒ se anula para cada uno de los puntos P₁(0,0) y P2(0, (no son los √2 únicos). Indique si f presenta un máximo local, un mínimo local o un punto de silla en P₁ y en P2. Justifique su respuesta. Marque en el gráfico los restantes puntos críticos y clasifíquelos. Verifique sus respuestas analíticamente (deberá hallar las raíces de un polinomio de tercer grado, se recomienda el uso de calculadora o computadora para hacerlo).
62. (r) Recuerde la función diferenciable ƒ dada por f(x, y) = ²x³y+y³ + x²y+ y², presentada previamente en el ejercicio 60. El siguiente gráfico representa algunas curvas de nivel de f, en trazo continuo, y dos curvas en trazos punteados, que representan restricciones al dominio de f.
Analizando el gráfico, indique cuáles son aproximadamente los extremos absolutos de f res- tringida a cada una de estas dos restricciones y marque en el gráfico en qué puntos se realizan
estos extremos.
63. (0) Dado el problema de hallar los valores extremos de la función f(x, y) = x+2y sujeta a la restricción (x − 2)² + (y − 1)² = 1, a) represente gráficamente la restricción y algunas curvas de nivel de la función cuyos valores extremos se buscan. Dé una estimación de las coordenadas de los posibles puntos críticos.
b) Resuelva el problema analíticamente y compare el resultado obtenido con la respuesta del ítem anterior.
c) ¿Cómo resultan los vectores gradientes de la función objetivo ƒ y de la función restricción en los puntos encontrados?
64. (o) Calcule los valores extremos de la función f(x, y) = x²+2y² sujeta a la condición x²+ y² = 1, para ello:
a) represente en un mismo gráfico la superficie dada por el gráfico de ƒ y la curva que es la proyección sobre el gráfico de ƒ de la restricción x² + y² = 1.
b) Grafique la restricción junto con algunas curvas de nivel de f y los vectores gradiente en los puntos de tangencia.
65. (r) Determine los puntos sobre la elipse x² + 2y² = 1 donde f(x, y) extremos, aplicando el método de multiplicadores de Lagrange.
66. (r) Obtenga las dimensiones de una lata cilíndrica circular recta y cerrada con menor área superficial cuyo volumen sea 167cm³, aplicando el método de multiplicadores de Lagrange.
67. (r) Determine los valores máximos y mínimos de f(x, y, z) = x 2y5z sobre la esfera x²+ y²+z230, aplicando el método de multiplicadores de Lagrange.
68. (r) Determine las dimensiones de la caja rectangular cerrada con mayor volumen que pue- de inscribirse en una esfera unitaria, aplicando el método de multiplicadores de Lagrange. Compare su resultado con lo hallado en el ejercicio 58.
x² + 2y - z² sujeta a las restricciones 2x - y = 0 y y+z = 0, aplicando el método de multiplicadores de Lagrange.
70. (o) Haga un planteo por el método de multiplicadores de Lagrange para hallar la mínima distancia entre los puntos de la recta de ecuación y = = x - 2 y los de la parábola dada por y = x².
71. (*) Un problema de programación matemática (lineal o no lineal) consiste en hallar los extremos de una función ƒ sujeta a un conjunto de restricciones dadas por igualdades y/o desigualdades g₁ = 0, 1≤i≤k, hj ≤0, 1 ≤ j ≤m, tal como:
mín f(x, y)
gi(x, y)=0 (1≤i≤k);
s.a hj(x, y) 0 (1≤ j ≤m).
Si todas las funciones involucradas ƒ, gi, 1 ≤ i ≤ k y hj, 1 ≤ j ≤ m, son lineales, entonces el problema se llama lineal.
Ejemplo: se desea hallar la máxima temperatura que experimenta un móvil que se desplaza por la curva de ecuación x² + y² = 1, cuando la temperatura en el plano viene dada por
f(x,y)
3x²+4y², por el método de multiplicadores de Lagrange. Para ello se hace el siguiente planteo:
que en este caso es mín 3x² +4y²
x² + y² − 1 = 0.
En este ejemplo concreto, se está frente a un sistema de ecuaciones no lineales (dado que las ecuaciones son no lineales) y un problema no lineal (dado que el sistema es no lineal y la función que se maximiza es no lineal). Si, en cambio, la curva por la que se desplaza el móvil viene dada por x + y = 1, y la temperatura en el plano es la misma f(x, y) = 3x² +4y², por el método de multiplicadores de Lagrange se plantea:
En este caso, se está frente a un sistema de ecuaciones lineales y un problema no lineal (dado que la función que se maximiza es no lineal).
Tarea: analice los planteos de los ejercicios 63 a 70 e identifique en cuál se ha generado un sistema o un problema lineal y en cuál, no.
72. (r) La figura presenta algunas curvas de nivel de la función ƒ dada por f(x, y) = (y− x²)(y — 3x²2) = 3x44x²y + y².
73. Sea la función ƒ dada por f(x,y)
a) Para las curvas remarcadas, llamadas A, B, C y D, indique a qué valor corresponde cada una.
b) Halle los extremos y puntos de silla de f, justificando detalladamente su respuesta y expresando la misma de manera com- pleta.
c) Halle, haciendo únicamente un análisis gráfico, los extremos de f sujeta a la res- tricción y -x², si los tiene. Justifique su respuesta.
= 1 - 2 - e-x²-y². Se incluye un gráfico con algunas curvas de nivel de f, a la izquierda; a la derecha, se presenta el mismo diagrama de curvas de nivel de f y se ha agregado en el mismo una curva de nivel correspondiente a una función g diferenciable, digamos g(x, y) = 0.
a) Halle los extremos y puntos de silla de f.
b) Trace en el gráfico de la izquierda un múltiplo positivo del vector Vf (-1,1).
c) Indique cuál es el signo de fx(1, −1).
d) Indique cuál es el signo de la derivada direccional Duf (0, -1) para u = = ( - √2, ✓²).
e) Indique cuáles son los valores extremos de f restringida a los puntos que cumplen la condición g(x, y) 0, indicando tanto el valor extremo como el punto en el que se realiza el mismo, en el diagrama. Además, escriba el planteo para resolver analíticamente este problema.
74. Este ejercicio admite más de un planteo posible. Elija uno. Dada la siguiente ecuación: x² + y² + z² = 9, a) exprese z como una función continua de xe y, z = b) Determine y grafique el dominio de f.
c) Indique la imagen de f.
= f(x, y);
d) Halle las ecuaciones de las trazas del gráfico de f y grafique.
e) Encuentre las ecuaciones de tres curvas de nivel y grafique.
f) Halle el gradiente de f en algún punto del dominio, de su elección, y trácelo en su gráfico.
75. Sea f(x, y) = x² + y²:
a) Halle la ecuación de la curva de nivel f(x, y) = z para z = f(1, 2) y grafique.
b) Encuentre el gradiente de f en el punto P(1,2) y represente el gradiente en el gráfico anterior.
c) Calcule la derivada direccional de f en el mismo punto, en la dirección del vector v (-1, 1).
d) Calcule la derivada de ƒ en la dirección que forma un ángulo a positivo de las x.
π/6 con el semieje e) Calcule la derivada de ƒ en el punto (1,2) en la dirección que va del punto Q(2,1) al punto R(1,3).
f) Determine la dirección y el valor de la máxima derivada direccional en el punto P(1, 2). g) Determine la dirección y el valor de la mínima derivada direccional en el punto P(1,2).
h) Determine la dirección en la que se anula la derivada en el punto P(1,2) e interprete por qué.
i) Determine en qué dirección o direcciones la derivada en el punto P(1, 2) toma el valor 2. Si este valor no corresponde a ninguna derivada direccional para esta función en P(2, 1), justifique.
a) Se desea estudiar si la ecuación 2x − 3y² + xz = 1 define a z implícitamente como una función de X y de Y. Para ello, considere la función F(x, y, z) = 2x-3y²+xz y, analizando las condiciones correspondientes, verifique que F(x, y, z) = 1 define a z implícitamente como función de x y de y en un entorno de (1, −1, 2). (Ayuda: página 781 del libro de Thomas.) b) A la luz de lo concluido en el ítem anterior, calcule la derivada de f en la dirección de v = (2, −1) en el punto (1, −1). (Ayuda: página 780 del libro de Thomas.)
77. Analice si existe el plano tangente a la superficie x² + y² + z² = 6 en el punto P(1, 2, 1). En caso afirmativo, determine la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie en P.
78. Dada la función f(x, y) = x² − y²:
a) Calcule el incremento de la función al pasar de P(−1, −1) a Q(−0, 98; −1, 01).
b) Calcule el valor de la diferencial de la función en P y utilícelo para aproximar el incre- mento de la función.
c) Determine si es buena la estimación. Justifique.
d) Halle la aproximación lineal de f en P y utilícela para determinar el valor de la función en Q.
79. Dada la ecuación
a) Defina z como alguna función continua ƒ de x y de y, en forma explícita.
b) Determine y grafique el dominio de f.
c) Indique el conjunto imagen de f.
d) Halle las ecuaciones de las trazas de f y grafique.
e) Encuentre las ecuaciones de tres curvas de nivel de f y grafique.
f) Calcule la derivada direccional de ƒ en el punto P(1, 1) en la dirección dada por ▾ (1,-2).
g) Halle la ecuación de la recta normal y del plano tangente a la superficie que es el gráfico def en un punto que usted elija.
h) Determine y clasifique los extremos de f.
80. Encuentre el punto P(x, y, z) del plano 2x + y − z − 5 = 0 que esté mas cercano al origen. Utilice el Criterio de la segunda derivada para valores extremos locales y luego verifique el resultado utilizando el Método de multiplicadores de Lagrange.
81. Para obtener la distancia mínima en el plano xy de la recta y = x + 1 a la parábola y² minimice la función f(x,y, u,v) = (x − u)² + (y − v)² sujeta a las restricciones x = u = v²
82. Considere la función ƒ : R³ → R dada por f(x, y, z) = x² — y² — z.
a) Describa la superficie de nivel f(x, y, z) = 0.
= x, = y + 1 y b) Calcule el gradiente de f en el punto (2, 1, 3). Interprete en una representación gráfica. c) Calcule la derivada direccional de f en el punto (2, 1, 3) en la dirección v = (0,2,0). Interprete esta derivada.
d) Halle el valor mínimo de f cuando solo se consideran los puntos que cumplen x²+y²+z²
e) Indique si f es o no diferenciable en R³, justificando su respuesta. Interprete. f) Halle, si existe, la aproximación lineal de ƒ en el punto (2, 1, 3). Interprete. 83. Considere la función ƒ : R² → R dada por f(x, y) = x² − y² + 4.
a) Represente gráficamente la función f.
b) Marque en su gráfico el punto (0, 2, f(0, 2)).
c) Represente en otro gráfico la curva de nivel f(x, y) = 0.
d) Calcule el gradiente de f en el punto (0,2). Represéntelo en alguno de sus gráficos e interprete.
e) Calcule la derivada direccional de f en el punto (0, 2) en la dirección v = (1, 1). Interprete esta derivada.
f) Halle, si existen, los extremos locales de f. Justifique.
g) Halle los valores extremos absolutos de f cuando solo se consideran los puntos que cumplen x²+ y² = 1.
84. Considere la función f : R³ → R dada por f(x, y, z) = x² − y² + z².
a) Describa las superficies de nivel f(x, y, z) = k, para k = 1,0 y −1.
b) Halle los valores extremos absolutos de f, si solo se consideran los puntos de la superficie dada por la ecuación y² + z² = 1.
c) Halle, si existe, la diferencial (total) de f en el punto (1,0,0).
E d) (Para hacer con el TP3) Calcule ƒƒƒ ƒdV, cuando E es el sólido comprendido entre el cilindro de ecuación x² + y² = 1 y los planos z = 0 y z = 2.
85. Sea f: D→ R dada por f(x, y) =
In (9 x² - y²)* a) Indique cuál es el el dominio D de f (el máximo en el sentido de la inclusión). Re- preséntelo gráficamente.
b) Calcule el gradiente de ƒ en el punto (0, 1); represéntelo gráficamente e interprete.
86. Se desea conocer los valores extremos absolutos de la función dada por f(x, y) = x² + y² sobre los puntos del plano xy que cumplen x + y = 2.
a) Haga un planteo por el método de multiplicadores de Lagrange para resolver este pro- blema.
b) Resuelva, indicando claramente el valor extremo alcanzado y el o los puntos donde se alcanza.
87. Se desea conocer los valores extremos (máximo y mínimo) de la función dada por f(x, y) 3x2 y2 sobre los puntos del plano tales que x² + y² = 1.
a) Haga un planteo por el método de multiplicadores de Lagrange para resolver este pro- blema.
b) Resuelva el problema: halle los valores extremos e indique en qué puntos se presentan dichos valores extremos.
88. Se desea conocer el valor mínimo de la función dada por f(x,y)
del plano xy que cumplen x + y = 2.
x²+ y² sobre los puntos a) Haga un planteo por el método de multiplicadores de Lagrange para resolver este pro- blema.
b) Resuelva, indicando claramente el valor mínimo alcanzado y el o los puntos donde se alcanza.
89. Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32 dm³. Encuentre las dimensiones que hagan mínima la cantidad de cartón utilizado. Indique también cuál es esa cantidad mínima de cartón necesaria.
90. Se desea conocer los valores extremos (máximo y mínimo) de la función dada por f(x, y, z): xyz sobre los puntos del espacio que cumplen x² + y² = 1 y y x²+z2. Haga un planteo por el método de multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.
91. Sea la función f(x, y, z) x² + y² + z² definida en R³. Indique para cada afirmación si es verdadera o falsa. Debe justificar todas sus respuestas.
No existe un plano tangente a la superficie de nivel f(x, y, z) = 0 en el punto
P(0,0,0).
La función f es diferenciable en (0,0,0).
Al buscar los valores extremos de ƒ se encuentra un único punto crítico.
La divergencia del gradiente de f toma valores negativos en algunos puntos (que se llaman sumideros).
92. Sea la función f(x, y, z) = x² - y² + z² definida en R³. Para cada una de las siguientes afirmaciones, indique si son verdaderas o falsas, justificando sus respuestas.
P(0,0,0).
No existe un plano tangente a la superficie de nivel f(x, y, z)
La función f es diferenciable en (1, 2, 3).
La función f es continua en (1, 2, 3).
Si se busca el máximo de ƒ sujeto a la restricción x² - y² + z² = 1 se encuentra un valor máximo que se realiza en un único punto.
La linealización de f en (1,2,3) es la función dada por L(x, y, z) = 6+ 2(x − 1) − 4(y − 2) + 6(z — 3).
La linealización de ƒ en (1,2,3) coincide con el polinomio de Taylor de grado 1 de f alrededor de (1, 2, 3).
A partir del punto (1,2,3) los valores de ƒ disminuyen más rápidamente en la dirección del vector (-1, 2, -3).
(Para hacer con el TP4A) La integral de línea fc Vf(x, y, z) · dr a lo largo de una curva suave cerrada y simple C incluida en el dominio de ƒ puede no ser 0, dependiendo de la curva C.
93. La figura muestra el gráfico de una función f, con dominio D, algunos valores sobre los ejes coordenados y dos curvas.
-C1 yo
C2 x a) Indique si D C R² o si D C R³. Indique también en qué espacio están las imágenes.
b) Indique cuál es la imagen del punto Ō E D.
c) Marque en el gráfico un punto S (que no esté sobre ninguno de los ejes coordenados) que cumpla S Є Dy f(S) = 0, si existe. Si no existe tal punto, justifique.
d) De las curvas C₁ y C2, indique si alguna de ellas es una curva de nivel de f; en caso afirmativo, diga cuál es la imagen que le corresponde; en otro caso, justifique.
e) Elija un punto U Є D y márquelo en el gráfico. Además, considere un vector v que sea un múltiplo positivo del vector gradiente de f en U. Dé los va- lores de las componentes de v, prestando atención a los signos de cada una, y trace a v en el gráfico.
94. Sea S la superficie de ecuación z = x² + y² − 1, representada en la figura a continuación; el plano z
: 0 está trazado con un cuadriculado. En cada ítem realice lo pedido si es posible; si no lo es, explique por qué.
3 3 a) Defina una función g de dos variables tal que S sea el gráfico de 9.
b) Si la curva C (donde S corta al plano z
es una curva de nivel de g, indique a qué ni- vel o valor "k" corres- ponde.
c) Halle el vector Vg(P), para el punto PЄ D(g) marcado en el gráfico (la abscisa de Pes 1) y trace dicho vector en el gráfico.
-2 d) Defina una función ƒ de tres variables tal que S sea una superficie de nivel de ƒ; indique a qué nivel o valor “k” corresponde dicha superficie de nivel.
e) Halle el vector Vƒ(Q), para el punto Q = D(f) marcado en el gráfico (la ordenada de es 1) y trace dicho vector en el gráfico.
f) (Para hacer con el TP4B) Plantee una integral para calcular el área de la parte de S que se halla bajo el plano z = 3. Calcule dicha área.
g) (Para hacer con el TP3) Calcule la masa del sólido comprendido sobre la superficie S y bajo el plano z 3, sabiendo que la densidad en cada punto viene dada por 8(x, y, z) = z+2.
Dados el área A (fija) y la longitud de la base, b, de la sección transversal de un canal o acequia, como muestra la figura, ¿cómo deben elegirse el ángulo a de talud y la altura h del líquido para que el perímetro mojado sea el menor posible?
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro "Cálculo de varias variables” de Thomas, décimosegunda edición, Ed. Pearson.
Los ejercicios se dividen en ejercicios obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y opcio- nales (*).
r(r, 0) = (r cos(0), r sen(0));
r(r, 0, z) = (r cos(0), r sen(0),
1.1. Integrales dobles e iteradas sobre rectángulos
1. Calcule:
L² L 2ry 2xy dyda b) (r) L L LL
(2x+y+1)dxdy c) (0) [[ (6y² – 2x)dA, donde R = {(x, y) € R² : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2}
R d) (r) [ſ xy cos y dA, donde R = {(x, y) = R²: -1≤ x ≤ 1,0≤ y ≤π}
2. (r) Determine el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide de ecuación z = x² + y² y abajo por el cuadrado R {(x, y) Є R² : −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1} (es decir, R = [1,1] x[1,1]).
3. (r) Calcule la integral de la función dada por f(x, y) = 2 sen x cos y sobre el rectángulo [0, 1] × [0, 1]. Analice si el valor obtenido representa o no un volumen; en caso afirmativo, describa el sólido.
Integrales dobles sobre regiones generales
4. (o) Trace las siguientes regiones de integración:
1x2, x − 1 ≤ y ≤ x².
b) −2 ≤ y ≤ 2, y² ≤ x ≤ 4.
c) 0≤ y ≤1, y ≤ x ≤ 2y.
d) 1≤x≤e², 0 ≤ y ≤lnx.
dA sobre la región descripta usando (i) secciones trans-
5. (o) Escriba la integral iterada
R versales verticales y (ii) secciones transversales horizontales.
y y a2 a1
Vy = et y = 3x y = x² y x x x = 2 b) Región acotada por y = e¯x, y = 1 y x = ln 3.
6. Trace la región de integración y evalúe la integral.
πT x
(r) L L y dy a) (r)
7. (r) Calcule la integral | f(s, t) dA para f(s,t) = e* Int sobre la región del primer cua-
R drante del plano st que está arriba de la curva s = Int desde t = 1 hasta t 2. Atención al orden de las variables sy t.
8. (r) Trace la región de integración y escriba una integral doble equivalente, con el orden de integración inverso.
9. (r) Trace la región de integración, invierta el orden de integración y evalúe la integral:
= x² y 10. (o) Determine el volumen del sólido acotado arriba por el cilindro de ecuación z = abajo por la región encerrada por la parábola y 2x² y la recta y = x en el plano xy.
11. (r) Determine el volumen del sólido en el primer octante acotado por los planos coordenados el cilindro x² + y² = 4 y el plano z + y = 3.
12. (r) Calcule el volumen del sólido cortado de la columna cuadrada |x| + |y| ≤ 1 por los planos z 0 y 3x+z = 3.
13. (r) Trace la región de integración y el sólido cuyo volumen está dado por la integral
dy dx como si fuese una integral iterada.
x³y e-x
15. (o) Un sólido tiene su base R sobre el plano xy y está acotado por arriba por el paraboloide z = x² + y². El volumen de dicho sólido es
1 ry
2 2-y
= £ £ * (x² + y² ) dx dy + [ {² ² (x² + y²)dz dy.
Grafique la región base R y exprese el volumen del sólido como una integral iterada simple con el orden de integración invertido. Luego evalúe la integral para determinar el volumen.
respuesta.
16. (o) ¿Qué región R en el plano xy maximiza el valor de R
(4 – x² - 2y²)dA. Justifique su 17. (r) ¿Es posible evaluar la integral de una función continua f(x, y) sobre una región rectan- gular en el plano xy y obtener respuestas diferentes dependiendo del orden de integración? Justifique su respuesta.
19. (r) Trace la región acotada por las rectas y las curvas dadas. Exprese el área de la región como una integral doble iterada y evalúe la integral.
= 2x y y = 4.
a) Las rectas x = 0, ), y:
b) La parábola x = -y² y la recta y = = x+2.
c) La curva y = e² y las rectas y = 0, x = 0 y x = ln 2.
y² − 1 y x = 2y² - 2.
20. Las siguientes integrales y sumas de integrales dan áreas de regiones en el plano xy. Trace cada región, identifique cada curva de la frontera con su ecuación y obtenga las coordenadas de los puntos donde las curvas se cortan, luego calcule el área de la región.
21. (r) Calcule el valor promedio de f(x, y) =
= sen(x + y) sobre a) el rectángulo 0 ≤ x ≤ñ, 0 ≤ y ≤ π;
b) el rectángulo 0≤x≤, 0≤ y ≤.
22. (r)
a) ¿Qué piensa que será mayor, el valor promedio de f(x, y) = xy sobre el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 o el valor promedio de ƒ sobre el cuarto de círculo x² + y² ≤ 1 en el primer cuadrante? Calcúlelos para responder.
b) Calcule los valores medios de f(x, y)
xy sobre los dos cuadrados -1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 y −1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y ≤ 0 y sobre el disco x² + y² ≤ 1. Compare los valores obtenidos entre sí y con los del inciso anterior.
23. (0) En los ejercicios dados a continuación, describa, en coordenadas polares, la región dada. 1.
24. (r) Cambie la integral cartesiana por una integral polar equivalente. Luego evalúe la integral polar.
25. (r) Dada sen 0 cos Odrde, expresada en coordenadas polares, grafique la región de integración y exprese la misma integral usando coordenadas cartesianas. No evalúe la integral.
26. (r) Obtenga el área de la región que se encuentra dentro de la cardioide de ecuación polar r = 1 + cos y fuera de la circunferencia r = 1.
27. (r) Obtenga el área encerrada en el pétalo de una rosa r = cos(30), en coordenadas polares.
28. (r) Determine la altura promedio de la superficie hemisférica z = √√a²x² - y² sobre el disco x² + y² ≤ a² en el plano xy.
29. (r) Obtenga la distancia promedio desde un punto P(x, y) del disco x² + y² ≤ a² hasta el origen.
In(x² + y²) sobre la región 1 ≤ x² + y² <e. (x² + y²)
31. (r) La región que se encuentra dentro de la cardioide de ecuación polar r = 1 + cos y afuera de la circunferencia r = 1 es la base de un cilindro recto sólido. La parte superior del cilindro está en el plano z = x. Determine el volumen del cilindro.
dx es calcular primero
32. (r) La manera usual de evaluar la integral impropia I su cuadrado:
Evalúe la última integral usando coordenadas polares y despeje I de la ecuación resultante (recuerde lo visto en el ejercicio 18).
rectas x =
Momentos y centros de masa de placas planas
33. (r) Calcule el centro de masa de una placa delgada de densidad ♪ 0, y = x y la parábola y = 2 − x² en el primer cuadrante.
3 acotada por las
34. (r) Determine el centroide (centro de masa en un sólido de densidad constante) de la placa fina ubicada en el primer cuadrante, acotada por el eje x, la parábola y² 2x y la recta x + y = 4.
35. (r) Calcule la masa de una placa delgada que ocupa la pequeña región determinada por la elipse x²+4y² = 12 y por la parábola x = 4y² si la densidad es 8(x, y) = 5x.
36. (r) Calcule el centro de masa y el momento de inercia, con respecto al eje y, de una placa rectangular delgada cortada en el primer cuadrante por las rectas x 6 y y 1, si 8(x, y) = x + y + 1.
37. (o) Plantee y (r) calcule el centro de masa y el momento de inercia con respecto al eje y, de una placa delgada acotada por la recta y d(x, y) = y + 1.
2. Integrales triples
2.1. Integrales triples en coordenadas rectangulares
1 y la parábola y x² si la densidad es
38. Escriba seis diferentes integrales triples iteradas que permitan calcular el volumen de: a) (r) el sólido rectangular en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos x = = 1, y = 2 y z = 3. Evalúe una de ellas.
b) (0) El tetraedro determinado en el primer octante por el plano 6x + 3y + 2z = 6. Evalúe una de las integrales.
39. (o) Sea D la región acotada por los paraboloides z = 8 − x² – y² y z x² + y². Escriba dos integrales triples que permitan calcular el volumen de D. Evalúe una de ellas.
40. (r) Represente el sólido correspondiente a la región de integración y calcule cada integral:
41. (o) La siguiente es la región de integración de la integral
Replantee la integral como una integral iterada equivalente en el orden:
a) dy dz dx.
dzdydx.
b) dx dy dz.
c) dz dx dy.
42. (r) Calcule el volumen de a) la cuña definida en el cilindro x² + y²
1 por los planos z = -y y z = =
0 (gráfico 1); b) la región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y = 1 − x y la superficie z = cos(x/2), 0 ≤ x ≤1 (gráfico 2);
c) la región cortada en el cilindro x² + y² = 4 por el plano z = 0 y el plano x + z = 3 (gráfico 3).
43. (r) Calcule el valor promedio de ƒ en la región dada:
x² +9 sobre un cubo en el primer octante acotado por los planos coorde- nados y los planos x a) f(x, y, z)
2, y 2 y z = 2.
b) f(x, y, z) = x + y z sobre un sólido rectangular en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos x
1,y=1 y z = 2.
44. (r) Evalúe la siguiente integral cambiando el orden de integración de manera adecuada:
4 cos(x²) 2√√z dxdydz.
2y
2.2. Integrales en coordenadas cilíndricas y esféricas
45. Evalúe las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas:
18-r2
2π 3 a) (0) L² L³² dzr drde y represente gráficamente la región de integración.
2/3 3+24r2
•2πT b) (r) [² c) (0) ["
r³ drdzde y represente gráficamente la región de integración.
46. (r) Sea D la región acotada abajo por el plano z = 0, arriba por la esfera x²+y²+z² = 4, y a los lados por el cilindro x² + y² 1. Enuncie las integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumen de la región D, usando los siguientes órdenes de integración:
a) dz dr de.
b) dr dz dē.
(x² + y²)dz dr dy en una integral equivalente en 47. (o) Convierta la integral dx
-1 J0 coordenadas cilíndricas y evalúe el resultado.
48. En los siguientes ejercicios, enuncie la integral iterada para evaluar [S] f (r, 0, z)dz r dr do sobre la región D dada.
a) (r) D es la región acotada abajo por el plano z = :0, a los lados por el cilindro r = cos y arriba por el paraboloide z = 3r².
b) (r) D es el cilindro circular recto cuya base es la circunferencia r = 2 sen 0 en el plano xy cuya parte superior está en el plano z = = 4 - y. (Figura 1.)
c) (r) D es el cilindro recto sólido cuya base es la región del plano xy que está dentro de la cardioide r = 1 + cos fuera de la circunferencia r = 1 y cuya parte superior está en el plano z = 4. (Figura 2.)
d) (o) D es el cilindro recto sólido cuya base es la región entre las circunferencias r = y r = 2 cos 0 y cuya parte superior está en el plano z = 3y. (Figura 3.)
Figura 3
Figura 1
49. (r) Evalúe las siguientes integrales (dadas en coordenadas esféricas) y represente gráfica- mente la región de integración en cada caso. Como ayuda se brinda una imagen en la que se encuentran contenidos los gráficos de algunas superficies frontera de estos sólidos (se ven huecos, para facilitar la comprensión).
П 2 cos
П p² sen o dp do de.
2 sen p² sen o dp do do.
1-cos
2π Ր p² sen o dp do do.
3 sen(20) do de dp.
50. Sea D la región del ejercicio 46. Enuncie las integrales triples en coordenadas esféricas que dan el volumen de D, usando los siguientes órdenes de integración:
a) (r) dp do de.
b) (*) do dp de.
51. (o) Para cada uno de los siguientes sólidos, determine los límites en coordenadas esféricas para la integral que da el volumen del sólido dado y evalúe la integral.
(Figura 5).
a) El sólido entre la esfera p = = cos y el hemisferio p b) El sólido acotado abajo por la esfera p
2, z ≥ 0 (Figura 4).
2 cos y arriba por el cono z = x² + y²
Figura 4 z = p = 2 cos
52. (r) Plantee las integrales triples para calcular el volumen de la esfera de ecuación esférica p = 2 en coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares.
53. (r) Calcule los volúmenes de los sólidos cuyos gráficos se muestra a continuación.
Z z = z = 4 - 4 (x² + y²)
z=1
-r r = -3 cos 0 z = (x² + y²)² −1
54. (r) Calcule el volumen de cada una de las regiones sólidas dadas a continuación:
a) La región sólida más pequeña dentro de la esfera de ecuación esférica p ≤ 2 cortada por el plano z 1.
b) Sólido encerrado por el cono z = √√x² + y² entre los planos z = 1 y z = c) Región que está dentro de la esfera x² + y² + z² = 2 y fuera del cilindro x² + y² = 1. d) Región encerrada por el cilindro x² + y² 4 y por los planos z 0 y x + y + z = 4. e) Región del cilindro sólido x² + y² < 1 dentro de la esfera x² + y² + z² = 4.
2 y abajo por el paraboloide f) Región acotada arriba por la esfera x² + y² + z² z = x² + y².
55. (r) Calcule el valor promedio de la función dada por ƒ(r, 0, z) = r, en coordenadass cilíndri- cas, sobre la región acotada por el cilindro r = 1 que se encuentra entre los planos z = −1 y z = 1.
56. (r) Calcule el valor promedio de la función dada por ƒ (p, 0, 0) = p, en coordenadas esféricas, sobre la bola sólida p ≤ 1.
57. (r) ¿Qué simetría tendrá una superficie con una ecuación de la forma r = f(z) en coorde- nadas cilíndricas? ¿Y si la ecuación es p = f(0), en coordenadas esféricas? Justifique su respuesta.
a) Resuelva el sistema
Sustitución en integrales múltiples (r)
√ u = x − y =2x+y v =
para x y y en términos de u y v. Luego obtenga el valor del jacobiano (2,4).
b) Encuentre la imagen bajo la transformación u = x − y, v = 2x + y de la región trian- gular con vértices (0,0), (1, 1) y (1, −2) en el plano xy. Trace la región transformada en el plano uv.
c) Use la transformación anterior para evaluar la integral
|| (2x²
(2x² - xy- y²) dx dy para la región R del primer cuadrante, acotada por las rectas y y = x − 2, y = x + 1.
Momentos y centros de masa de cuerpos sólidos
-2x+4, y -2x+7, 59. (r) Determine el momento de inercia de una esfera sólida de radio a con respecto a un diámetro (use 8 = 1).
60. (r) Calcule el momento de inercia de un cono circular recto de altura hy base de radio a, con respecto a su eje. (Sugerencia: ponga el cono con su vértice en el origen y su eje a lo largo del eje z.)
61. (r) Obtenga los momentos de inercia del prisma sólido delimitado por los planos coorde nados y los planos x = a, y = b y z = c (a,b y c positivos) con respecto a sus aristas mediante el cálculo de Ix, Iy e Iz.
62. Un sólido con densidad constante está acotado abajo por la superficie z = 4y², arriba por el plano z 4 y en los extremos por los planos x = 1 y x = 1. Obtenga el centro de masa y los momentos de inercia con respecto a los tres ejes.
63. (r)
a) Calcule el centro de masa de un sólido de densidad costante acotado abajo por el paraboloide z = x² + y² y arriba por el plano z = 4.
b) Encuentre el plano z = c que divide al sólido en dos partes de igual volumen. Este plano no pasa por el centro de masa.
4, b
6 y c = 3. Trace una 64. (r) La cuña de la figura tiene las siguientes dimensiones: a = gráfica para convencerse de que el cuadrado de la distancia de un punto típico (x, y, z) de la cuña a la recta L: 2 = Оу (y – 6)² + z². Luego calcule el momento de inercia de la cuña con respecto a L.
65. (o) Plantee y (r) calcule la masa, el centro de masa y el momento de inercia con respecto al eje x, de la región sólida D en el primer octante, dentro del semiespacio x > 1, que está acotada por los planos y 0, z=0 y el plano x + y + z = 2, si la densidad del sólido es
8(x, y, z) = 2x.
En esta sección se ofrece una lista de ejercicios para ampliar la práctica de integrales múltiples. Se incluye algunos ejercicios que han sido tomados en exámenes.
66. Dada la integral a) Cambie a coordenadas esféricas.
b) Cambie a coordenadas cilíndricas. c) Evalúe la integral.
dz dy dx, x² + y²
6+ 4y sobre la región del 1 y los planos
67. Escriba una integral triple iterada para integrar f(x, y, z) primer octante acotada por el cono z = √√x²+ y², el cilindro x² + y² coordenados en coordenadas rectangulares, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféri- cas. Luego determine la integral de f evaluando una de las integrales triples.
68. Las integrales triples que implican formas esféricas no siempre requieren coordenadas esféri- cas para evaluarse de manera conveniente, algunos cálculos se realizan más fácilmente con coordenadas cilíndricas. Como ejemplos:
a) Calcule el volumen de la región acotada arriba por la esfera x² + y² + z² = 8 y abajo por el plano z = 2 usando (i) coordenadas cilíndricas y (ii) coordenadas esféricas.
b) Un tazón semiesférico de 5cm de radio se llena con agua hasta 3cm de la parte superior. Calcule el volumen de agua en el tazón.
69. La base de un sólido cubre la región R del plano xy acotada por la parábola x² + y = 6 y la recta y = x. La altura del sólido en cada punto (x, y) = R está dada por x². Exprese el volumen del sólido como (i) una integral doble (ii) una integral triple. Luego calcule el volumen de dicho sólido.
70. Se perfora un agujero cilíndrico circular en una esfera sólida, donde el eje del agujero es un diámetro de la esfera. El volumen del sólido restante es
a) Determine el radio del agujero y el de la esfera.
b) Evalúe la integral.
F(x) = √²° t²
71. (*) La función gamma, r dr dz de.
tx-¹edt, amplía la función factorial de los números naturales a otros valores reales y es de amplio uso en estadística. De particular interés es el número
= 5000 t t(1/2)-1e¯t dt = dt.
b) Sustituya y = √√t en la ecuación (1) para demostrar que П(¹) = 21
72. En los primeros tres ítems, indique, justificando su respuesta, si la integral dada representa el volumen de algún sólido. En caso afirmativo, describa el sólido y halle el volumen. En caso contrario, explique por qué no.
d) En general, para la integral dz dy dx, indique, justificando su respuesta, cuál debe ser el mínimo valor de m para que la integral represente el volumen de un sólido.
1 +√1−x² •2-x-y x²+y2
L S e) Finalmente, dada la integral es la región de integración y explique si ésta es o no un sólido.
73. Considere la función ƒ : R³ → R dada por f(x, y, z) = x² − y² + x².
(x²+ y²)z dz dy dx, indique, cuál a) Describa las superficies de nivel f(x, y, z) = k, para k = 1,0 y -1.
b) Halle los valores extremos de f, si solo se consideran los puntos de la superficie dada por la ecuación y² + z² = 1.
c) Halle, si existe, la diferencial (total) de f en el punto (1,0,0).
d) Calcule x² + y²
1 y los planos z = 0 y z = = 2.
fdV, cuando E es el sólido comprendido entre el cilindro de ecuación
74. Convierta la siguiente integral (dada en coordenadas rectangulares) a cilíndricas:
√3 √√3-x2
4-x²-y² x y z² dz dy dx.
dz dy dx, 75. Dada a) Represente la región de integración.
b) Calcule la integral planteada.
c) Interprete el valor obtenido en b.
76. Plantee una integral para hallar la masa del sólido que está en el semiespacio y ≥ 0, comprendido entre las superficies y cada punto viene dada por 8(x, y, z).
− z² y y = √√4 – x² – z², si la densidad en
En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo mo- mento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la re- sistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión.
Consideramos una pieza prismática de eje recto y sección transversal cualquiera, sometida a la acción de dos pares iguales y opuestos, actuantes en un plano que también contiene al eje de la pieza.
Bajo dicha solicitación se dice que la pieza está sometida a flexión pura. En este ejemplo se llama eje neutro de la pieza al lugar geométrico de los baricentros de las secciones transversales. Se puede probar que el momento de las fuerzas internas (que se producen en esta flexión) respecto al eje neutro es proporcional al momento de inercia de la sección transversal respecto al eje x.
Si la sección transversal plana S considerada se parametriza mediante coordenadas rec- tangulares (x, y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según x o según y mediante:
Ix - y² dx dy;
Ly = √ x² dy dx.
Físicamente representa una magnitud que cuanto mayor sea, corresponde a una menor deformación de la pieza, cuando ésta es solicitada a flexión, con x como eje neutro. La misma depende de la configuración de la sección transversal de la pieza prismática.
Para cada uno de las siguientes piezas, ponga medidas genéricas (b y h para el rectángulo, R para el radio y en el último llame a la base, b, a la altura, h, y al espesor, c) y calcule los momentos de inercia de las secciones transversales de cada una, respecto al eje x. Use una computadora para comparar los valores de Ix dando distintos valores a las dimensiones de cada pieza. Extraiga conclusiones.
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro "Cálculo de varias variables” de Thomas, décimosegunda edición, Ed. Pearson.
Los ejercicios se dividen en ejercicios obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y opcio- nales (*).
| f (x, y, z)ds = ["* f (r(t)||r" (t)||dt
Integral de línea de campo escalar
| F(x, y, z) · dr = L°
F(r(t)) r'(t)dt
Integral de línea de campo vectorial a Repaso de Curvas
1. (0) Relacione la ecuaciones vectoriales con los gráficos dados:
a) r(t) = ti+ (1 − t)j, 0 ≤ t≤1.
b) r(t) = i+j+tk, −1 ≤ t ≤ 1.
c) r(t) d) r(t)
(2 cost, 2 sent, 0), 0 ≤t≤2π.
ti, 1 ≤t≤1.
e) r(t) = ti+tj + tk, 0 ≤ t≤ 2. ƒ) r(t) = tj + (2 − 2t)k, 0 ≤ t≤ 1.
g) r(t) = (0, t² 1,2t), -1≤t≤1.
h) r(t) (2 cost, 0, 2 sent), 0 ≤t≤π.
2. Calcule:
1. Integrales de línea de campos escalares a) (0) (x + y)ds, donde C es el segmento de recta r(t) = (t, 1 – t,0), 0≤t≤1.
b) (r) s
(xy+y+z)ds, donde C es el segmento de recta r(t) = (2t,t,2 − 2t), 0≤t≤1.
c) (r) | xds, donde C es el segmento de recta r(t)
(t, ½), 0 ≤ t≤ 4.
d) (r) La integral de f(x, y, z) = x²+1/3+22 sobre la curva dada por r(t) = (t,t,t), t≥ 1. e) (r) La integral de f(x, y, z) = x + √√ ², sobre la trayectoria que va de (0,0,0) a (1, 1, 1), por C = C₁ UC2, con C₁: r₁(t) =(t,t2,0), 0 < t < 1 y C2: r2(t) = (1, 1, t), 0 ≤t≤1.
f) (0) ((x + √y)ds, donde C está dada en la figura.
y=x y = x² x
g) (o) la integral de f(x, y, z) = -√√x² + z², sobre la circunferencia C parametrizada por r(t)=(0, a cost, a sent), 0 ≤t≤2.
h) (r) la integral de línea de f(x, y)
−1 ≤ t≤ 2.
i) (r) √ f(x, y)ds donde f(x,y)
j) (o) la integral de f(x, y) = x²
Yex² a lo largo de la curva r(t)
4ti — 3tj, y C viene dada por r(t) = t³i + t¹j, ½ ≤t≤1.
y sobre la parte de C dada por x² + y² = 4 en el 4+3x+2y.
primer cuadrante, desde (0, 2) hasta (√2, √2).
k) (r) el área de uno de los lados de la “pared" que es ortogonal a la curva 2x + 3y = 6, 0 ≤ x ≤ 6, y está sobre la curva y bajo la superficie f(x, y)
3. (r) Un alambre curvo de densidad 8(x, y, z) r(t) = (t² − 1)j + 2tk, −1 ≤ t ≤ 1.
a) Calcule la masa del alambre.
b) Calcule el centro de masa del alambre.
15√y+2 está colocado sobre la curva C:
c) Represente el alambre y su centro de masa juntos.
4. (r) Encuentre la masa de un alambre delgado, colocado a lo largo de la curva r(t) (√√2t, √√2t, 4t2), 0 ≤ t ≤ 1, si la densidad es ♪ = 3t.
5. (r) Sea f(x, y, z) = x − y² — z² una función que representa la densidad de un material en cada punto del alambre fino cuyos puntos se encuentran sobre la curva dada por r(t) = (t + 1, cost, sent), 0 ≤ t≤ π. Calcule la masa del mismo.
6. Represente gráficamente cada uno de los siguientes campos vectoriales en R² y algunas líneas de flujo en cada uno, si es posible. Además, calcule para cada uno de ellos la com- ponente k del rotacional y la divergencia. Indique, si es que hay, fuentes o sumideros.
a) (o) F(x, y) = (−y, x)
b) (o) F(x, y) = (x, y)
c) (r) F(x, y) = (0,x)
d) (r) F(x, y) = x²¾¼y²j x
+y² e) (r) F(x, y)
7. Determine el campo gradiente generado por:
a) (0) f(x,y) = xy. Represente gráficamente el campo gradiente, algunas líneas de flujo del mismo y algunas curvas de nivel de f.
b) (r) f(x, y, z) = (x² + y² + z 2 ) − / c) (r) f(x, y, z) = ln√√√x² + y²+ z 2 d) (r) g(x, y, z) = e² - In(x² + y²)
e) (o) g(x, y, z) = xy + yz + xz
8. Halle el rotor y la divergencia para los siguientes campos vecotriales de R³. Indique si son conservativos o no. En caso afirmativo, halle la función potencial. Además indique si son solenoidales o no.
a) (r) F = (ysen z, x sen z, xy cos z)
b) (0) F c) (0) F
-yi + xj
(y + z, x + z, x + y)
9. (o) Encuentre las integrales de línea de F desde (0,0,0) hasta (1,1,1) sobre cada una de las siguientes trayectorias (vea la figura), donde F(x, y, z) viene dado por ■ F(x, y, z) = (y + z, z+x, x + y)
■ F(x, y, z) = (xy, yz, xz)
a) La trayectoria es el segmento C₁ que va de (0,0,0) a (1, 1, 1).
b) La trayectoria C2, dada por r2(t) = (t, t², t4), 0 ≤t≤1.
c) La trayectoria C3 UC4, donde C3 es el segmento de recta desde (0, 0, 0) hasta (1,1,0) y C4, el segmento de recta desde (1,1,0) hasta (1, 1, 1).
√√xy dx, sobre la trayectoria que muestra la figura:
y = = 3x
11. (r) Calcule las siguientes integrales a lo largo de la curva C dada por r(t) = (cost, sent, — cost), a) fcxz dx b) Scxz dy c) fcxz dz
12. (r) Dado el campo vectorial F de la figura 1 (abajo):
a) Si C es una circunferencia unitaria centrada en el origen recorrida en sentido antiho-
LF rario, la integral cálculos).
b) Marque en el gráfico una curva suave C₁ tal que F. dr ¿es positiva, negativa o nula? (Debe responder sin hacer
F dr sea nula.
13. (o) Sea F dado por el gráfico de la figura 2 (abajo). Indique si cada una de las integrales de línea de F a lo largo de C₁ y C2 es positiva, nula o negativa.
C21
کا کا
کا کا کا کا figura 2 figura 1
15. (r) Evalúe:
14. (r) Calcule el trabajo realizado por:
a) F = (xy, y, −yz) a lo largo de r(t) = (t, t², t), 0 ≤t≤1.
b) F (z, x, y) a lo largo de r(t) = (sent, cost, t), 0 ≤t≤2.
c) F(x, y) = (xy, y — x) en la trayectoria recta desde (1, 1) hasta (2,3).
[(x − y)dx+(x+y)dy, sobre la trayectoria cerrada, en sentido contrario a las manecillas del reloj, a lo largo del triángulo con vértices en (0,0), (1,0) y (0, 1).
16. (o) Calcule la circulación y el flujo a través hacia fuera de las curvas C₁ y C2, de los campos F1(x, y) = (x, y) y F2(x, y) = (-y, x) si las curvas están dadas respectivamente por ri(t) = (cost, sent), 0 ≤ t≤ 2ñ, y r2(t) = (cost, 4 sent), 0 ≤ t≤ 2π. 17. (r) Calcule el flujo del campo de velocidades F
(x + y, −x² — y²) a lo largo de cada una de las siguientes trayectorias desde (1,0) hasta (−1,0) en el plano xy:
a) la parte superior de la circunferencia x² + y² = 1;
b) el segmento de recta desde (1,0) hasta (-1,0);
c) el segmento de recta desde (1,0) hasta (0, −1), seguido por el segmento de recta desde (0, -1) hasta (−1,0).
18. (o) Obtenga la circulación del campo F = = (y, x+2y) alrededor de cada una de las siguientes trayectorias cerradas:
a) (-1, 1)
c) Use una trayectoria diferente a las de los incisos a y b, que sea cerrada y simple. 19. (r) Calcule la circulación de F
(2x, 2z, 2y) a lo largo de la curva C que es la unión de C₁: r₁(t) = (cost, sent, t), 0 ≤ t≤ ½, C2: г2(t) = (0, 1, ()(1 − t)), 0 ≤ t≤ 1 y C3: r3(t) = (t, (1t), 0), 0<t<1.
C3
20. (r) Encuentre una función potencial para cada uno de los siguientes campos vectoriales, si es posible; si no lo es, justifique por qué:
a) F = e³±²² (i + xj + 2xk).
1 y² z²
21. (r) Sea F =
x³y², y sea C la trayectoria en el plano xy, que consiste en el segmento de recta desde (-1, 1) hasta (0,0), seguido del segmento de recta desde (0,0) hasta (1, 1). Evalúe o F. dr de dos maneras:
a) Encuentre parametrizaciones para los segmentos que forman a C y evalúe la integral. b) Use f como una función potencial para F.
22. (r) Determine el trabajo realizado por F = (x² + y, y² + x, ze²) para las siguientes trayec- torias desde (1,0,0) hasta (1,0,1):
a) El segmento de recta x = 1 , y = 0, 0 ≤ Z ≤ 1.
b) La hélice r(t) = (cost, sent, (2)), 0 ≤t≤2π.
c) El eje x desde (1,0,0) hasta (0, 0, 0), seguido de la parábola
(0,0,0) hasta (1,0, 1).
23. (o) Compruebe que el integrando es una forma diferencial exacta y calcule la integral.
24. (o) Sea el campo vectorial F(x, y, z) = (3x², 2z lny).
2xy dx + (x² - z²) dy – 2yz dz.
У a) Dé el dominio de definición D de F (el mayor posible, en el sentido de la inclusión). Verifique que se trata de una región abierta, conexa y simplemente conexa.
b) Mediante el criterio de componentes, compruebe que 3x² dx+ forma diferencial exacta en D.
c) Encuentre una función potencial para F.
dy+2z lny dz es una d) Evalúe la integral de línea de F desde el punto (1, 1, 1) hasta el punto (1,2,3), por algún camino. Especifique qué camino eligió.
26. (r)
25. (r) Demuestre que el valor de la integral trayectoria desde A hasta B, con A y B, puntos en R³.
L z² dx + 2y dy + 2xz dz no depende de la a) Calcule el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (−y, x, z) a lo largo de la curva C que es la intersección del cilindro x² + y²
4 y el plano x + y + z = 1.
b) Indique, justificando su respuesta, si el campo vectorial F es o no conservativo.
c) Halle la divergencia de F en el punto (0, 0, 0) e interprete.
27. (r) Determine el trabajo realizado por F : R³ → R³ dado por F(x, y, z) = (x² + y)i + (y² + x)j + ze³k
para la trayectoria recta que va desde el punto (1,0,0) hasta el punto (1,0,1). Indique si puede asegurar que el trabajo no cambiará si se considera cualquier trayectoria que una los mismos puntos.
28. Verifique el teorema de Green, incluyendo las hipótesis, para el campo vectorial F, con dominio en el disco R dado por x² + y² ≤ a² y su circunferencia frontera C, dada por r(t) = (a cost, a sen t), 0 ≤ t ≤ 2л, con a > 0, en cada caso:
a) (0) F = (−y, x).
b) (r) F(x²y, xy²).
29. (r) Utilice el teorema de Green para calcular la circulación en sentido antihorario y el flujo hacia fuera para cada uno de los siguientes campos F y curvas C.
a) F = (x² + 4y, x + y²); C, frontera del cuadrado acotado por las rectas x = y = 0 e y = 1.
b) F = (xy + y², xy); C, dada en la figura 1.
0, x = 1, c) F
(x + 3y)i + (2x − y)j; C, es la elipse dada en la figura 2.
x = = 12
C 1 y = r² x
30. (r) Calcule la circulación en contra de las manecillas del reloj y el flujo hacia fuera del campo F (xy, y²) alrededor y sobre la frontera de la región encerrada por las curvas = x x2. y y = x, en el primer cuadrante.
31. (r) Determine el trabajo realizado por la fuerza F partícula en sentido antihorario, a lo largo de curva primer cuadrante encerrada por el eje x, la recta x =
32. (o) Aplicando el Teorema de Green calcule:
triángulo delimitado por x = 0, x+y=1 ey
(2xy³, 4x2 y2) al mover una vez una C que es la frontera de la región en el 1 y la curva y = x² = x³.
for (y²dx + x²dy), donde C' es la frontera del 0, orientada negativamente.
33. Aplicación del Teorema de Green al cálculo de áreas: recuerde que si una curva suave por partes, cerrada, simple y positivamente orientada en el plano, C', encierra una región plana
R, el área de R se puede hallar como x dyy dx (entre otras fórmulas).
a) (o) ¿En qué casos es útil el Teorema de Green para calcular áreas de regiones planas?
b) (0) La curva r(t) = (t² − t +2, t³ – 3t), t Є R se corta a sí misma en el punto (4, 2). Halle el área que el lazo encierra.
c) (r) La curva r(t) = (t³ −4t,t²−3), tЄR se corta a sí misma en el punto (0, 1). Halle el área que el lazo encierra.
d) (r) La función vectorial dada por
(t² - 2t, t³ – 2t² - 3t), t Є R, r(t)
forma un lazo (solo uno, que puede verse en la imagen). Calcule el área de la región encerrada por el mismo, jus- tificando su procedimiento.
e) (r) Halle el área de la región encerrada por la elipse parametrizada por r(t) (a cost, bsent), 0 <t≤2π.
f) (r) Halle el área de la región encerrada por la astroide r(t) (cos³ t)i(sen³ t)j, 34. (r) Sea C la frontera de una región R. Use el Teorema de Green para calcular cada una de las siguientes integrales, indicando qué condiciones deben cumplirse para poder aplicarlo.
a) c f (x) dx + g(y) dy.
b) fc ky dx+hx dy, k y h son constantes.
35. (r) Sea A el área y ã la abscisa del centroide de la placa plana que se encuentra en la región R acotada por cierta curva suave por partes C, simple, cerrada y positivamente orientada, en el plano xy. Demuestre que
x² dy xy dx fx²dy — xy dx = Añ.
36. (*) Suponiendo que todas las derivadas necesarias existen y son continuas, demuestre que si f(x, y) satisface la ecuación de Laplace entonces
= 0, მყ2 მ2 of af
= 0 მყ dx para todas las curvas cerradas C', a las cuales se aplica el teorema de Green.
37. (r) Dados el campo escalar f(x, y) = ln(x² + y²) y el campo vectorial F justificando cada respuesta:
a) cuáles son los dominios de f y F.
integral fo b)
Vf. Tds donde C es la circunferencia de ecuación x² + y² = 4 recorrida en sentido positivo.
c) Indique si F es o no conservativo en su dominio.
38. (*) El teorema de Green se cumple para una región R con un número finito de agujeros, siempre que las curvas de la frontera sean simples cerradas y suaves, y que integremos sobre cada componente de la frontera en la dirección en que R se mantiene a izquierda mientras avanzamos.
In(x² + y²) y C la circunferencia x² + y² = a², donde a > 0 y la orientación es positiva. Evalúe la integral de flujo
Vf.nds.
b) Sea K una curva arbitraria suave, simple, cerrada y positivamente orientada en el plano, que no pase por el punto (0,0). Utilice el teorema de Green para demostrar que Vf.nds
K tiene dos posibles valores, dependiendo de que (0,0) esté adentro o afuera de K.
(a, b, c) al 39. (r) Demuestre que el trabajo realizado por un campo de fuerza constante F mover una partícula a lo largo de cualquier trayectoria desde A hasta B es W = F · AB.
40. (r)
a) Encuentre una función potencial para el campo gravitacional xi + yj + zk (x² + y² + z²)3/2
-GmM-
(G, m y M son constantes).
b) Sean P₁ y P2 puntos que se encuentran a distancias s₁ y 82 desde el origen. Demuestre que el trabajo realizado por el campo gravitacional del inciso anterior, para mover una partícula desde P₁ hasta P2, es
GmM
S2 S1
41. (r) En algunas ramas de las ciencias naturales, como climatología, mecánica de flui- dos, magnetismo, es usual encontrarse con campos vectoriales que representen fuentes de energía, sumideros, vórtices, y combinaciones de los anteriores. Es por ello que resulta de gran interés contar con modelos matemáticos que permitan estudiar estos fenómenos de manera adecuada.
Figura 1. Fuente, vórtice y dipolo (superposición de fuente y sumidero separados una distancia dada).
Para modelar una fuente bidimensional consideramos un campo vectorial que a cada punto del plano le asigne el vector posición de dicho punto, es decir:
F₁(x, y) = xi+yj.
Para modelar un vórtice en sentido anti horario, tomamos un campo que a cada punto del plano le asigne su vector posición, pero rotado 90° en sentido anti horario:
F2(x, y) = yi + xj.
a) Calcule la circulación del campo fuente F1 a lo largo de la curva C₁, que es el cuarto de circunferencia con centro en el origen y radio r = 2 en el primer cuadrante (en sentido anti horario). Interprete el resultado.
b) Calcule la circulación del vórtice F2 a lo largo de la curva C2, que es el segmento de recta en el primer cuadrante entre las circunferencias de radios r = 1 yr = 4, a 45 de inclinación con respecto al semieje x positivo. Interprete el resultado.
42. (r) El campo eléctrico generado por un dipolo formado por dos cargas opuestas, q y −q, ubicadas respectivamente en los puntos (1,0) y (-1, 0), viene dado por x+1 x - 1 q Απερ
donde εo es una constante que depende del medio.
a) Halle la función potencial electrostático V en cada punto del plano.
b) Superponga un gráfico de curvas de nivel de V con un gráfico del campo vectorial E. Encuentre una relación entre las líneas de flujo del campo E y las líneas equipoten- ciales (es decir, las curvas de nivel de la función potencial V).
c) Repita este ejercicio para el campo eléctrico generado por una única carga puntual (fuente).
6.1. Campos eléctricos: integración y campos vectoriales.
De acuerdo a la electrostática, que estudiará en profundidad en Física II, una partícula cargada eléctricamente con carga eléctrica 91,¹, ubicada en un punto P₁(x1, Y1, z1), ejerce una influencia en el espacio a su alrededor, de manera que si otra partícula de carga qo (que suponemos positiva), se ubica en el punto Po(xo, yo, zo), cerca de q₁, ésta se ve afectada por una fuerza F1 que, según la Ley de Coulomb, será de atracción si qo es de signo contrario a q1 y, de repulsión, si tiene el mismo signo que q₁. Además la magnitud de esta fuerza es directamente proporcional al producto de las magnitudes de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une (véase la Figura 1).
Por esto decimos que la partícula de carga q₁ ubicada en (x1,y1, 21) genera un campo eléctrico que, en el punto Po(xo, Yo, 20), vale E1 (x0, Yo, 20). Este vector (véase la Figura 2)
E1(x0, Yo, 20)
1 91 r, 4πε r 3
donde r es el vector desde P₁ hasta Po y ɛ es una propiedad del medio, llamada permiti- vidad. Se verifica
6.1.1. Suma de campos vectoriales (aditividad)
F1(xo, yo, 20) E1(xo, yo, zo) · 90.
Si una carga puntual q₁ ubicada en P₁(x1, Y1, ≈1) genera un campo eléctrico E1 (xo, yo, 20) en el punto Po(xo, yo, zo), y si otra carga puntual q2 ubicada en P2(x2, y2, 22) genera un campo eléctrico E2(xo, yo, zo) en el mismo punto, entonces la presencia de ambas cargas genera un campo eléctrico en Po que es la suma de los vectores:
E(xo, Yo, 20)
E1(x0, Yo, 20) E2(x0, Yo, 20).
¹La unidad de medida de las cargas eléctricas en el sistema internacional SI es el culombio (C).
Y Po
Si en una región plana se tiene un elemento lineal cargado (por ejemplo, el eje x), con densidad lineal de carga X(x):
√√(xo − x ) ² + y² yo λdx
Cada porción del elmento lineal cargado de longitud dx tiene carga λ(x)dx y el elemento lineal cargado en su totalidad genera un campo eléctrico en el punto Po(xo, yo) que viene dado por la suma de los vectores debidos a cada una de las porciones (como en (1)):
Si es constante, el campo elétrico es:
Si la distribución lineal de carga ocupa todo el eje x, aunque la función que se está in- tegrando en la primera componente no es impar, por simetría se anula la integral de la
primera componente (puede hacer una sustitución y encontrará una función impar). Así:
((xo - x)² + y²) ³/2 с
Xyo
Απε
0, lím yỗ√√(xo − x)² + yỗ¸
Se puede apreciar que es un vector vertical, perpendicular al elemento lineal cargado.
Siguiendo un procedimiento similar, halle el campo eléctrico generado en los puntos se- leccionados del plano o del espacio, según corresponda, por cuerpos cargados que ocupan estos lugares (puede suponer que la densidad de carga λ es constante):
a) Un segmento sobre el eje x (elemento cargado unidimensional, en el plano), en los puntos del plano fuera del eje x.
1, con y ≥ 0, (elemento cargado b) Una semicircunferencia de ecuación x² + y² unidimensional, en el plano), en los puntos del eje y.
c) Un rectángulo plano incluido en el plano xy (elemento cargado bidimensional, en el espacio), en los puntos del espacio que no están en el plano xy.
d) Una circunferencia incluida en el plano xy (elemento cargado bidimensional, en el espacio), en los puntos de la recta vertical que pasa por el centro de la circunferencia.
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro "Cálculo de varias variables” de Thomas, décimosegunda edición, Ed. Pearson.
Los ejercicios (o secciones) pueden ser obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y op- cionales (*).
Cálculo del área de una superficie, A(S) = ||
Explícita: z = f(x, y)
[[ √ √ ( − fx )² + ( − fy)² + 1 dady
| | || Su × Sv || dudv dA R
Ruv
Parametrización de superficies, áreas y planos tangentes
1. Ejercicios tomados de Geometría Analítica: repaso.
Dadas las siguientes representaciones vectoriales paramétricas de superficies, identifique para cada caso de qué superficie cuádrica se trata, a partir de la eliminación de los paráme- tros que las describen.
a) (0) r(ẞ,t) = (2t ch ẞ, 8t sh ẞ, t2). Es decir:
x = 2t chẞ y = 8t shẞ
2 = b) (r) r(a, ß) = (5 cos a sen 3, 2 sen a sen ẞ, 9 cos ẞ). Es decir:
x = = 5 cos a sen ẞ y = 2 sen a sen ẞ z = 9 cos B c) (r) r(a,t) = (4t cos a, 7t sen a, t²). Es decir:
x = 4t cos a = 7t sen a y =
2 = +2 t > 0; ẞ Є R.
αε [0,2π], βε [0, π].
t> 0; α = [0,2].
2. Determine una parametrización para la superficie. (Hay más de una manera correcta de hacerlo.)
x = a) (0) Porción del paraboloide z = x² + y² tal que z ≤ 4.
b) (r) Porción del paraboloide z 9 — x² - y² tal que z ≥ 0.
c) (r) Cono truncado: parte del cono z = d) (r) Región esférica: parte de la esfera x² + y² + z ²
entre los planos z = 0 y z = 3.
3, entre los planos z = y 9 cortada por z = e) (r) Región esférica: parte “inferior" de la esfera x² + y² + z² +√√x² + y².
f) (r) Banda cilíndrica circular: porción del cilindro y² + z² = 9 entre los planos x = = 0 y x = 3.
g) (o) Plano inclinado dentro de un cilindro: porción del plano x + y + z = 1 dentro del cilindro x² + y²
h) (r) Plano inclinado dentro de un cilindro: porción del plano x + y + z = 1 dentro del cilindro y² + z² = 9.
3. (*) Dé una parametrización para la superficie que es la parte del cilindro de ecuación x² + y² = R² que se encuentra entre el plano z = 0 y la curva cerrada C que está en el el semiespacio z ≥ 0, dada por r(t) = (R cost, Rsent, c(t)), 0 ≤ t≤ 2π, donde c(t) es una función derivable en [0,2].
4. Calcule el área de la superficie dada por:
a) (o) la porción del plano y + 2z: 2 dentro del cilindro x² + z² = 1 b) (r) La porción de cono z = 2√√√x² + y², entre los planos z = 2 y z = 6. c) (r) La porción de paraboloide: z 2x² - y², cortado por el cono z =
√√x² + y². x² + y².
d) (o) La porción inferior de la esfera x² + y²+z² = 9, cortada por el cono z =
5. (r)
a) Los puntos de la parte del paraboloide de ecuación z = x² + y² que cumplen z ≤ 4, forman una superficie. Determine el área de la misma.
b) Plantee una integral para calcular el área de la superficie que es la parte del parabo- loide de ecuación z = = x² + y² que se encuentra en el primer octante, entre los planos x = 1 y z = = 4.
6. (o) Encuentre una ecuación para el plano tangente al cilindro circular parametrizado por r(0, z) = (3 sen(20), 6 sen² 0, z), 0 ≤ 0 ≤ л, en el punto Po(33, 2,0) correspondiente a (0, 2) = (3,0). Agregue, si es posible, una ecuación para la recta normal a la superficie en el mismo punto.
7. (r) Encuentre una ecuación para el plano tangente a la superficie hemisférica parametrizada por r(0,0) (4 sen cos 0, 4 sen sen 0, 4 cos ), 0 ≤ 0 ≤ 2π, 0 ≤ 0 ≤ 1, en el punto Po(√2, √2,2√3) correspondiente a (0,0) 7,7). Agregue, si es posible, una ecuación
8. (r)
para la recta normal a la superficie en el mismo punto.
(풍, a) Un toro de revolución (ver figura) se obtiene al hacer girar un círculo C en el plano xz, alrededor del eje z en el espacio. Si C tiene un radio r > 0 y su centro es (R, 0, 0), verifique analizando algunas curvas reticulares, que una parametrización del toro es r(u,v) = ((R+r cos u) cos v, (R+r cos u) sen v, r sen u), 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π.
b) Demuestre que el área de la superficie del toro es A = 4ò Rr.
Z r(u, v)
9. (r) Parametrización de una superficie de revolución: suponga que la curva C parametrizada por r(u) = (f(u), g(u)) gira alrededor del eje x, donde g(u) > 0 para a ≤ u ≤ b.
a) Interprete que r(u,v) = (f(u), g(u) cos v, g(u) sen v)
es una parametrización de la superficie de revolución resultante, donde 0 ≤ v ≤ 2π es el ángulo formado por el vector que va desde (f(u), 0, 0) hasta r(u, v) y el plano xy. Observe que f(u) mide la distancia a lo largo del eje de revolución y g(u) mide la distancia al eje de revolución.
b) Encuentre una parametrización para la superficie obtenida al hacer girar la curva x = y², y ≤ 0, alrededor del eje x.
10. (r)
1. Especifique los valores que a) Parametrización de un elipsoide: verifique que r(0, 0) = (a cos 0 cos o, bsen 0 cos 0, c sen o) es una parametrización del elipsoide + + = deben tomar los parámetros.
b) Escriba una integral para el área de la superficie del elipsoide, pero no la evalúe.
11. (o) Calcule el área de la proción del paraboloide z = 4- x² - y² que está arriba del anillo 1 ≤ x² + y² ≤ 4 en el plano xy.
Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales
■ Calcule la integral de la función ƒ dada, sobre la superficie S indicada:
a) (o) f(x, y, z) = x sobre S: y = x², 0 < x <2, 0 ≤ z < 3.
b) (r) f(x, y, z) = x² sobre la esfera unitaria S: x² + y²+z² = 1.
c) (r) f(x, y, z) = x²√√5-4z sobre el domo parabólico z = 1 - x² - y², z > 0. d) (o) f(x, y, z) = xyz sobre la superficie del sólido rectangular cortado en el primer octante por los planos x = a, y = b y z = c.
e) (r) f(x, y, z) = 2- -x, sobre la porción de la gráfica de z = x + y² arriba del triángulo en el plano xy, con vértices en (0,0,0), (1,1,0) y (0,1,0) (véase la figura).
z = x + y²
(0, 1, 0) y 1
Agregue planteos usando integrales apropiadas, para calcular valores medios de las funciones anteriores sobre las superficies correspondientes.
Además, si en algún caso se puede interpretar a la función ƒ como la densidad en cada punto de la superficie S, indique cómo se podrían calcular la masa y las coordenadas del centro de masa de la placa delgada.
13. (r) Plantee fórmulas para hallar el centro de masa de una capa delgada que es la parte superior de la esfera de ecuación x² + y² + z 2 9 cortada por el cono dado por z = √√x² + y², sabiendo que la densidad en cada punto es la función 8(x, y, z).
14. (r) Determine el centroide de la porción de esfera x² + y² + z² = a² que está en el primer octante.
15. Utilice una parametrización para determinar el flujo través de la superficie S en la dirección dada.
Fondo del campo vectorial F a a) (0) F(x, y, z) = (x, y, z) a través de la superficie S que es la parte del cilindro x² + y²
1 cortada por los planos z = 0 y z
1, en la dirección que se aleja del
eje z. Realice un esbozo de la superficie y del campo vectorial, interpretando el valor obtenido.
b) (r) F(x, y, z) (−y,x,0) a través de la superficie S que es la parte del cilindro x² + y² = 1 cortada por los planos z = 0 y z = = 1, en la dirección que se aleja del eje z. Realice un esbozo de la superficie y del campo vectorial, interpretando el valor obtenido.
c) (o) F(x, y, z) = (z²,x, −3z) a través de la superficie del cilindro z = 4 - y² cortado por los planos x = 0, x = 1 y z = 0 en la dirección que se aleja del eje x. d) (o) F(x, y, z) = (0,0, 2) a través de la porción de esfera en el primer octante x² + y²+ 2² = a², para cierto a > 0, en la dirección que se aleja del origen.
16. Encuentre las integrales de superficie de los campos vectoriales dados, a través de la porción de la esfera x² + y² + z² = a² (a > 0) en el primer octante, en la dirección que se aleja del origen.
a) (r) F(x, y, z) = zk.
b) (r) F(x, y, z) = (y, x, 1).
c) (r) F(x, y, z) = ((x² + y² + 2²)3/2' (x² + y² + 2²)³/2' (x² + y² + z²)3/2
(Este es el ejemplo 4 de la sección 16.8 del libro de Thomas).
Y 13/2).
(x, y, z) y sea S la superficie
17. (r) Sea F: R³ → R³ el campo vectorial dado por F(x, y, z) que es el disco inlcuido en el plano y 1 con centro en el punto (0,1,0) y radio 1, con orientación dada por el vector n = (0,1,0) en cada punto. Calcule el flujo de F a través de S.
18. (r) Sea F: R³ → R³ el campo vectorial dado por F(x, y, z) = (xy, yz, zx).
a) Calcule el flujo de F a lo largo de la circunferencia con centro en el origen de coor- denadas y radio 1, incluida en el plano z = 0, orientada positivamente vista desde el semieje z positivo.
b) Indique, justificando su respuesta, si F es o no conservativo en R³.
c) Calcule el flujo de F a través de la porción del paraboloide de ecuación z = y² que está por arriba del plano z coordenadas.
1 - x² - 0, en la dirección que se aleja del origen de d) Calcule el flujo de V × F a través de a porción del paraboloide de ecuación z = 1 - x² - y² que está por arriba del plano z = = 0, en la dirección que se aleja del origen de coordenadas.
e) Observe si hay alguna relación entre algunos de los resultados obtenidos.
19. Utilice el teorema de Stokes para calcular la circulación de F a lo largo de la curva C mediante la integral de superficie correspondiente.
a) (0) F = (x², 2x, z2) y C: la elipse 4x² + y² = 4 en el plano xy, en sentido antihorario. b) (0) F (2y, 3x, −z²) y C: la circunferencia x² + y² = 9 en el plano xy, en sentido antihorario.
20. (r) Sea n el vector unitario normal que se aleja del origen elíptica S dada por 4x² + 9y² + 3622
Calcule el flujo del rotacional
36, 20, y sea F
V × F.ndo, utilizando el teorema de Stokes.
de coordenadas, de la capa
(y, x², (x² + y²) sen e√xyz).
21. Calcule el flujo del rotacional a través de la superficie S en la dirección del vector unitario normal exterior n, a) (0) F
VF ndo en cada caso:
(2z, 3x, 5y) y S: r(r, 0) = (r cos 0)i + (r sen 0)j + (4 — r²)k, con 0 ≤ r < 2 y b) (r) F = (3y, 5-2x, z² - 2) y S: r(0, 0) = (√√3 sen cos 0, √√3 sen osen 0, √3 cos o), con П y 0≤0≤2π.
22. (r) Sea S el cilindro x² + y² x² + y² ≤ a², z = h. Sea F flujo de V x F a través de S, 23. (*) Dada una curva suave, simple y cerrada, C, demuestre que a² con a > 0 y 0 ≤ z ≤ h, junto con su tapa superior, (y, x, x²). Utilice el teorema de Stokes para encontrar el en la dirección que se aleja del origen de coordenadas.
V x F ndo vale lo S mismo para cualquier supercie orientable S que tenga como frontera la curva C, siempre que la orientación de S induzca la misma dirección positiva en C.
24. (r) Pruebe la identidad V × Vƒ
0, asumiendo continuidad de las derivadas parciales de segundo orden de f; luego utilice esta identidad y el teorema de Stokes para demostrar que las circulaciones de los siguientes campos alrededor de la frontera de cualquier superficie orientable suave en el espacio son cero.
a) F (2x, 2y, 2z).
b) F = V(xy223).
c) FV x (xi + yj + zk).
d) F = Vf.
25. (r)
a) Demuestre que el rotacional de es igual a cero, pero que X
F - x² + y²' x² + y²'
F.dr es diferente de cero si C es la circunferencia x² + y² = 1 en el plano xy recorrida en sentido antihorario, visto desde el semieje positivo de 2. (Note que el dominio de F no es simplemente conexo.)
b) Busque una función ƒ tal que Vf c) ¿Esto contradice el hecho de no ser conservativo F en su dominio?
F. ¿Dónde se cumple esa igualdad?
26. (*) Pruebe que el campo vectorial F(x, y, z) (x, , y, z) no es el rotor de ningún campo vectorial G. Sugerencia: haga una prueba por contradicción, suponiendo que existe un campo vectorial G tal que F = V×G, considere una esfera con centro en el origen y radio R> 0 y una curva cerrada, simple y suave por partes C incluida en dicha superficie. Dicha curva determina dos superficies que son porciones de la esfera. Considere una de ellas y llámela S. Aplicando el Teorema de Stokes, dé dos interpretaciones a la integral de línea G. dr y obtenga una contradicción.
Divergencia y Teorema de la Divergencia de Gauss
27. (r) Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales:
a) El campo giratorio F = ((-yi + xj))(x² + y²)−/½.
b) El campo radial F
xi + yj + zk (x² + y² + z²)³/2' c) El campo gravitacional F
-GmM con G, m y M, constantes.
28. (r) Dado el campo vectorial F(x, y) = (x², y²), indique si es o no solendoidal. En caso de no serlo, muestre si es posible, una fuente y un sumidero. Sugerencia: esboce un gráfico de F.
29. Use el teorema de la divergencia para calcular el flujo de F hacia afuera de la superficie S frontera de D, siendo
b) (0) F a) (0) F = (y − x, z − y, y − x) y D el cubo acotado por los planos x
±1, y = ±1, (6x22xy)i(2y + x²z)j + (4x²y³)k y D la región cerrada en el primer c) (*) F(x, y, z)
octante cortada por x² + y² = 4 y el plano z = 3.
(x² + y² + z²)³/2' (x² + y² + z²)³/2' (x² + y² + z²)³/2 y D = {(x, y, z) = R³ : a ≤ x² + y² + z² <b}, donde a > 0. Concluya que el flujo de F a través de cualquier esfera centrada en el origen será el mismo, independientemente del radio de la esfera. (Ver el ejemplo 4 de la sección 16.8 del libro de Thomas).
30. (r)
a) Demuestre que si las derivadas paricales necesarias de los componentes del campo G = (M, N, P) son continuas, entonces V.V× G = 0.
b) ¿Qué puede concluir acerca del flujo del campo V × G a través de una superficie cerrada en la que se pueda aplicar el Teorema de la Divergencia? Justifique su res- puesta.
31. (r) Sean F1 y F2 campos vectoriales con componentes derivables y sean a y b constantes reales arbitrarias. Verifique las siguientes identidades.
a) V (aF1bF2)
aV F1+bV · F2.
b) ▼ × (aF1 + bƑ2) = a▼ × F1 + bV × F2.
32. (r) Sean F un campo vectorial diferenciable (sus componentes son diferenciables) y g una función escalar diferenciable definida en R³. Verifique las identidades:
a) ▼ · (gF) = gV · F + Vg · F.
b) ▼ × (gF) = gV × F + Vg × F.
33. (*) Sea F un campo vectorial cuyos componentes tienen derivadas parciales continuas de primer orden en R³ y sea D una región acotada por una superficie cerrada suave, S. Si |F| ≤ 1, ¿se puede acotar V FdV? Justifique su respuesta.
(x, y, z) y suponga que una superficie S y una región sólida D satisfacen las hipótesis del teorema de la divergencia. Demuestre que el volumen de D está dado por la fórmula
Volumen de D
F.ndo.
35. (r) Entre todos los sólidos rectangulares definidos por las desigualdades 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ 1, encuentre aquél para el cual el flujo total de F = (−x² - 4xy, −6yz, 12z) hacia fuera a través de las seis caras sea máximo. ¿Cuál es el flujo máximo?
36. (*) Demuestre que el flujo de un campo vectorial constante F C a través hacia fuera de cualquier superficie cerrada a la que se aplique el teorema de la divergencia es igual a cero.
37. (*) Una función ƒ es armónica en una región D en el espacio si satisface la ecuación de Laplace en D.
V² ƒ = V · V ƒ = fxx + fyy + fzz = 0 a) Suponga que ƒ es armónica en una región acotada D encerrada por una superficie suave S y que n es el vector unitario normal a S que se ha elegido. Demuestre que la integral sobre S de Vf n, la derivada de ƒ en la dirección de n, es igual a cero. b) Demuestre que si f es armónica en D, entonces
a) El Laplaciano de un campo escalar f(x1, x2, 02 f მე
02 f a² f + მ
Af b) El Laplaciano de un campo vectorial definido en R³ cumple:
AF V(VF) - Vx (V x F).
39. La siguiente figura corresponde al campo vectorial dado por F(x, y) = (1, e³). Se incluye en el mismo algunas curvas equipotenciales.
2.5 a) Indique si F es o no conservativo en R². Justifique su respuesta.
b) Si C es cualquier curva equipotencial de F (por ejemplo la curva punteada que aparece en la figura, o cualquier otra), recorrida en cualquier sentido, ¿cuánto vale la integral de línea de F a lo largo de C, F Tds? Justifique cada afirmación de su respuesta.
c) Calcule la integral de línea de F a lo largo de la circunferencia centrada en el origen, de radio 1 y positivamente orientada. Justifique detalladamente su respuesta.
40. La superficie S es la parte de la esfera de ecuación x²+z²+(y−4)²
25 para la cual y > 0, orientada en la dirección que se aleja del centro de la esfera. Sea F el campo vectorial dado por F(x, y, z) = (y², z², x²).
a) Calcule el flujo a través de S del rotacional de F.
b) Indique si F es o no solenoidal.
c) Calcule el flujo de F a través de cualquier superficie suave cerrada orientada positi- vamente.
41. Considere el campo vectorial F : R³ → R³ dado por F(x, y, z) = yi – xj y la superficie SCR³, dada por x² + y² + z² = 9, z ≥ 0 .
a) Halle el rotacional de F. Interprete.
b) Calcule la integral de superficie de rotF, rotF.ndo, en la dirección que se aleja del origen de coordenadas.
c) Indique si F es un campo conservativo o no. Justifique.
42. Considere el sólido formado por los puntos del espacio que cumplen x² + y² ≤ 4 y que están comprendidos entre los planos z
F(x, y, z) = (xy², yz, zx²).
0 y z = 1; sea el campo vectorial dado por a) Calcule el flujo de F hacia fuera a través de la superficie del sólido. Haga un desarrollo detallado y trabaje con prolijidad. Justifique sus pasos.
b) Calcule el rotacional de F. Indique si se trata o no de un campo conservativo.
43. Sea F(x, y, z) = (x, y, x+2).
a) Calcule div F(1, 2, 3) e interprete.
b) Plantee dos fórmulas para calcular el flujo a lo largo de la curva C que viene dada por la representación paramétrica r(t) = (cost, sent, 1), t = [0,2].
c) Indique si F es o no conservativo, justificando su respuesta.
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro “Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera” de Zill y Wright, octava edición, Cengage Learning.
Los ejercicios (o secciones) pueden ser obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y op- cionales (*).
PVF significa Problema de Valor/es en la Frontera.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Introducción: soluciones, PVI, PVF y diagramas de direcciones
1. (o) Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son o no lineales; indique el orden; distinga variable dependiente y variable independiente.
a) (x − y)y' – 4xy + 5y
= COS X.
X dy dx c) (x+1). = −y + 10.
+5 dx dQ dt f) t + Q = t¹ Int.
g) (2x+y+1)y' = 1. h) (2x+In+1)y' = 1. i) (1 − x)y"″ – 4xy' + 5y j) t5y(4) — t³y″ + 6y = 0.
k) (sen 0)y" (cos 0)y' = 2.
= COS X.
2. Compruebe que la función indicada es solución explícita de la EDO dada. Indique el intervalo de definición I apropiado para cada solución.
a) (o) 2y' + y = 0; y = e−x/2¸ е b) (r) y' + 20y = 24; y = 6/5 – 6/5e−2 c) (o) (y-x)y' = y − x + 8; y = x+4√√x+2.
-20x
3. Compruebe que la función indicada es solución implícita de la EDO dada.
a) (o) y (y-1)(1 - 2y); In b) (r) 2xy + (x² − y)y' = 0;
2y-1
y - 1 −2x²y + y² = 1.
4. Compruebe que la familia de funciones indicada es solución explícita de la ecuación dife- rencial dada. Indique el intervalo de definición I apropiado para cada solución.
a) (o) y″ – 4y' + 4y b) (r) x³y" + 2x²y" − xy' + y :
5. (r) Sea la ecuación diferencial y²y' = }³½³.
0; y Ae2x + Bxe²x
12x²; y = Ax¯¹ + Bx + Cx ln x + 4x².
a) Verifique que y(x) = 3√x es solución de la EDO dada.
b) Para la solución presentada en el ítem a), indique cuál es un intervalo dominio.
6. (r) Determine el o los valores de m para que y y" - 5y'+6y= 0.
7. Determine los valores de los coeficientes que aparecen en la solución dada de la EDO en cada caso, para resolver el PVI o PVF, según corresponda:
a) (o) solución y = A cos x + B sen x de la ecuación diferencial y″ + y = 0, con valores iniciales con y(0) = −1 y y'(0) = 8.
b) (r) solución y Ae Be
1) y(0) = 1, y'(0) = 2.
2) y(−1) = 5, y' (−1) = −5.
de la ecuación diferencial y" — y = 0, con valores iniciales
0, con c) (o) solución y = A cos(2x) + B sen(2x) de la ecuación diferencial y" + 4y valores de frontera y(0) = 0 y y(z) = 3.
d) (r) solución y A cos(2x) + B sen(2x) de la ecuación diferencial y" + 4y = 0, con valores de frontera y() = 0 y y()
8. (o) Se desea encontrar una función y diente dada por e 1.
f(x) cuya gráfica en cada punto tenga una pen- x y cuyo gráfico interseca al eje y en el punto (1, -1/2).
a) Plantee un PVI que permita hallarla.
b) Observe el diagrama de direcciones asociado a esta EDO y note que la pendiente en cada punto no depende de la ordenada, sino solo de la abscisa del mismo. Trace la solución de este PVI en el gráfico.
9. (r) Una masa m se fija a un extremo de un resorte. El resorte se estira s unidades y cuelga en reposo en su posición de equilibrio tal como se muestra en la figura. Posteriormente, el sistema se pone en movimiento, siendo x(t) la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que las fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso, la fuerza de restauración del resorte, la fuerza debida a la fricción, que ocasiona un amortiguamiento del movimiento del cuerpo y una fuerza externa que fuerza el movimiento. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento (Ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total), para cada caso:
III x(t) <0 resorte sin estirar x = 0 x(t) > 0 posición de equilibrio m a)
10. (o) La población p (en miles) de determinada especie en el instante t está dada por la ecuación:
dp dt
= p(2-p).
En la siguiente figura se muestra el campo de direcciones correspondiente, analice y res- ponda:
a) Si la población inicial es 3000 (es decir p(0) = 3), ¿qué se puede decir acerca de la población en el límite límt→∞ p(t)?
b) ¿Puede una población de 1000 declinar hasta 500?
c) ¿Puede una población de 1000 crecer hasta 3000?
11. (r) Dados los siguientes campos direccionales:
a) Indique a qué campo direccional corresponde cada ecuación:
dy dx i) y' = x² - y²; ii) y' = 1 − xy;
iii) = sen(x) cos(y).
b) Para la ecuación dada en ii) represente en el gráfico correspondiente las curvas solu- ción correspondientes a las siguientes condiciones iniciales:
12. Resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables, si es posible:
dy xy1/2 dx y encuentre una solución singular.
14. (o) Resuelva los PVIs que aparecieron en los ejercicios 8 y 10; trace las soluciones en los gráficos correspondientes y constate que coinciden con las halladas anteriormente.
15. (r) Resuelva el siguiente PVI:
4(x²+1), x() = 1.
16. (r) De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto de temperatura T se introduce en un medio a temperatura M, la razón de cambio de la temperatura es proporcional a la diferentica M-T. Esto produce la ecuación diferencial dT/dt = k(M−T).
a) Resuelva la ecuación diferencial en términos de T.
b) Una cerveza fría, inicialmente a 2°C, se calienta hasta 5°C en 3 minutos estando en un cuarto a 21°C. Determine la temperatura de la cerveza si uno se demora 30 minutos en tomarla.
17. En cada caso, verifique que la ecuación diferencial dada es lineal; halle la solución general y el intervalo I en el que está definida.
+ y = dx c) (r) y' + 3x²y = x².
dy x+5y, y(0) = 3.
18. (o) Resuelva el siguiente PVI:
19. (r) Al determinar el factor integrante en la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden no usamos una constante de integración en la integral de P(x), indique por qué.
1.4. EDO Exactas
20. (o) Determine si la ecuación diferencial dada es exacta. Si es exacta resuélvala.
a) (2x+y)dx = (x + 6y)dy
b) (ylny-exy)dx + (− + x ln y)dy = 0.
Y c) (sen y y sen x)dx + (cos x + x cos y − y)dy = 0.
21. (r) Considere la ecuación diferencial M(x, y) + N(x, y)y′(x)
vectorial F(x, y)
(M(x, y), N(x, y)) es conservativo en R² y que f es una función poten- cial de F en R². Si es posible, dé una solución para la ecuación planteada. Si no es posible, explique por qué.
22. (o) Resuelva el siguiente PVI:
(4y2t5) dt + (6y + 4t − 1)dy = 0, y(−1) = 2.
23. (r) Determine el valor de k para el que la ecuación diferencial es exacta:
24. (r)
solución implícita.
(6xy³ + cos y)dx + (2kx²y² - x sen y)dy = 0.
a) Muestre que una familia de soluciones uniparamétrica de la ecuación (4xy + 3x²)dx+(2y + 2x²)dy = 0 es x³ + 2x²y + y² = c.
−2 y y(1) = 1 determinan la misma c) Encuentre las soluciones explícitas y₁(x) y y2(x) de la ecuación diferencial dada, tales que y1(0) = −2 y y2(1) = 1.
25. (r) Justifique que toda EDO de primer orden separable
dy g(x)h(y) es exacta.
26. Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli usando sustituciones adecuadas:
dy dx
a) (0) x-
+ y = y² dy dx b) (r)
5y dy dx c) (o) x- + y = x²y².
27. (o) Resuelva el ejercicio 10 como EDO de Bernoulli. Compare las soluciones halladas gráficamente con las soluciones analíticas correspondientes a los PVIS.
28. (r) En el estudio de la dinámica de población, uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística
P'(t) = P(t)(a– bP(t)), donde a y b son constantes positivas. Resuelva la ecuación, notando que es tanto separable como de Bernoulli. Indique en qué instante la tasa de crecimiento de la población es máxima.
29. (r) Una parte de una cadena de 8 pies de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal, y la parte restante de la cadena cuelga sobre el borde de la plataforma. Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de 3 pies, que la cadena pesa 2 lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo. Comenzando en t = 0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t > 0, entonces v = dx/dt es su velocidad. Cuando se desprecian todas las fuerzas de rozamiento se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona v con x está dado por x v v' + v ²
30. Clasifique cada ecuación diferencial como separable, exacta, lineal, Bernoulli o ninguna. Algunas ecuaciones pueden ser de más de una clase. No las resuelva.
= −y + 10. dx d) (y²+1)dx = y sec² xdy.
e) y(ln xlny)dx dQ f) t + Q = t¹ Int.
31. Clasifique cada ecuación diferencial y resuelva.
a) y′ = (xy)¹/4.
b) y' + y = xe¯ +1.
c) 2ydxxdy = 0.
d) (2x² + 4xy)dx + (2x² + y²)dy = 0.
e) xy' + y = x²y³.
32. Encuentre, si existe, M(x, y) para que la ecuación M(x, y)dx + (xexy + 2xy + =)dy sea exacta.
33. Indique si la ecuación diferencial 2xy + x²y' = 0 es o no separable, si es o no lineal y si es o no exacta. Justifique.
0 es exacta y corresponde a otros tipos también. Usando solamente el hecho de que es exacta, resuelva el problema de valor inicial dado por la ecuación diferencial y² + 2xyy' = 0, sujeto a la condición y(1) = 2.
35. Resuelva x²y dx
3) dy, tal que y(1) = 2.
36. Encuentre una solución general de la siguiente ecuación diferencial: y' – 2y = x.
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Problemas de valores iniciales y de valores en la frontera
37. En los siguientes problemas se dan las soluciones generales de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Encuentre el miembro de esta familia que resuelve el problema propuesto de valor inicial o de frontera.
a) (r) y C₁x + C2x ln x, x²y" - xy' + y = 0, (0, ∞), y(1) = 3, y′(1) = −1.
b) (o) y = C₁e + C₂e¯*, y" — y = 0, (-∞, ∞), y(0) = 0, y'(0) = 1.
c) (r) y = C₁ex cos x + C2ex sen x, y″ – 2y' + 2y = 0, (−∞, ∞), y(0) = 1, y′(π) = 1.
38. (r) En los siguientes problemas encuentre un intervalo centrado en x = 0 para el cual el problema de valor inicial dado tiene una solución única.
a) (x 2)y" + 3y = x, y(0) = 0, y'(0) = 1.
b) y″ + (tan x)y = e², y(0) = 1, y′(0) = 0.
39. Determine si las siguientes funciones son linealmente independientes en el intervalo (−∞, ∞):
a) (0) ƒ1(x) = x, ƒ2(x) = x², ƒ³(x) = 4x − 3x².
b) (r) f(x)=5, f2(x) = cos² x, f(x) = sen² x.
c) (r) f₁(x)=1+x, f(x) = x, f(x) = x².
40. (r) ¿Qué deben cumplir las funciones y₁ e y2 definidas en un mismo intervalo I para que y(t) = c1y1(t) + C2y2(t) sea una solución general de la ecuación diferencial y"(t) + a₁y' (t) + aoy(t) = 0 en I, cualesquiera sean las constantes c₁ y c2?
41. (r) Compruebe que las siguientes funciones forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo dado. Forme la solución general.
-3x
= e Y₁ = ex
a) y" — y' — 12y = 0; yı b) y(4) + y″ = 0; Y1 cos x, y = sen x, (-∞, ∞).
1, y2 = x, Y3
42. Obtenga la solución general de las siguientes ecuaciones:
a) (0) 4y" + y' = 0.
b) (o) y″ + 8y' + 16y = 0.
c) (o) y″ – 3y' + 2y = 0.
d) (r) 2y″ + 2y′ + y = 0.
e) (o) y" - 4y" — 5y' = 0.
ƒ) (r) y'" + 3y″ – 4y' – 12y = 0.
g) (o) y" + y" — y' − y = 0.
h) (r) y(4) — y" = 0.
43. (r) Un cuerpo de masa m = 1kg se cuelga de un resorte cuya constante es k 25N/m. Exprese la ecuación del movimiento para los casos en que el movimiento está amortiguado, considerando que el amortiguamiento se modela a través de un término proporcional a la velocidad (de sentido contrario), cuya constante de proporcionalidad es b. Identifique la frecuencia natural del sistema. Resuelva para los casos en que 6 vale 0, 6, 10 y 12 (kg/s), con condiciones iniciales y(0) = 1 y y'(0) : 0. Interprete cada solución en términos de movimiento subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado.
44. (r) Un oscilador masa-resorte amortiguado está formado por una masa m unida a un resorte fijo en un extremo, como se muestra en la figura. Proponga una ecuación diferencial que gobierne el movimiento de este oscilador, teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre él debido a la elasticidad del resorte y la fricción (amortiguamiento). Posteriormente, resuelva la ecuación diferencial suponiendo que el amortiguamiento es cero. Determine la frecuencia de oscilación del sistema.
2.4. EDO no Homogéneas k m
45. (r) En los siguientes problemas compruebe que la familia dada es solución de la ecuación diferencial no homogénea:
a) y" - 7y' + 10y = 24e", y = C₁e 2x + C2e5x+6e*, (-∞, ∞).
b) 2x²y″ + 5xy′ + y = x² − x, y = C₁x¯ ½ + C₂x¯¹ + 1/≤3x² – 1½x, (0,∞).
46. En cada caso, obtenga la solución general usando coeficientes indeterminados:
a) (o) y" + y' − 6y = 2x.
b) (o) y" + y' - 6y = e2x.
c) (o) y" + y' - 6y
2x - e2x d) (r) y" + 3y' + 2y = 6.
e) (r) y" +3y+2y= 2e¯*.
f) (r) y″ + 3y' + 2y = −6 + e¯*¸ g) (o) y" + 3y _48x2e3x.
h) (r) 4y" — 4y' – 3y
= cos 2x.
i) (r) y" + y = COS X.
j) (r) y″ – 2y″ – 4y' + 8y = 6xe2x. k) (0) y(4) — y″ = 4x + 2xe¯x¸
47. En cada caso, obtenga la solución general usando variación de parámetros:
a) (o) y" + y:
b) (r) y" + y c) (r) y" + y = sec x.
48. Obtenga la solución para los siguientes problemas de valor inicial:
a) (r) 4y" - y = xe, y(0) = 1, y'(0) = 0.
b) (r) y″ + y' − y = x + 1, y(0) = 1, y'(0) = 0.
c) (o) y" +4y' + 5y = 35e-4x, y(0) = −3, y'(0) = 1. d) (r) y" + y = x² + 1, y(0) = 5, y(1) = 0.
e) (r) y" + 3y' + 2y = 1 + f) (r) y" + 3y' + 2y = sen(e).
g) (r) y″ + 3y' + 2y = 2 sen(e*) +
1+ex •
2N/m.
2 kg/s y se imprime una fuerza que 49. (r) Un cuerpo de masa m = 1kg se cuelga de un Suponga que el amortiguamiento depende de b mueve el extremo superior del resorte según ƒ(t) del movimiento. Distinga los términos transitorio y de estado estable de la solución.
50. Halle la solución general de y" — 2y' + y = x¯²eª, para x > 0.
51. Resuelva: 4y" + 36y = cosec(3x).
a) Encuentre una solución general de la siguiente ecuación diferencial:
d²y +6 dt2 dt dy
+ 10y = 0.
b) Halle una solución (general) para la siguiente ecuación diferencial:
d²y dy dt2
+6- +10y = 25 cos(4t).
4 cos(t) + 2 sen(t). Halle la ecuación
c) ¿Es verdad que toda solución de (1) es de la forma que usted obtuvo en el ítem anterior? Justifique.
53. Resuelva la ecuación diferencial y" - 10y' + 25y = e5x.
54. Dada la ecuación y" — y = 2, se sabe que y₁
-x exe y2 = e son soluciones de la ecuación homogénea asociada, y″ – y = 0, en el intervalo (-∞, ∞). ¿Es verdad que una solución general de y" - y = 2x es YG = C₁e* + C2е¯ + -? Justifique su respuesta mediante la aplicación del o de los teoremas correspondientes. Si le resulta útil, recuerde que 2 = ex In 2
55. Encuentre una solución general de cada ecuación diferencial:
a) y" + y' − 2y = x² − x + 2.
3x b) y" - 6y' + 9y = e³x
La figura muestra el esquema de una estructura de pórtico (formada por dos columnas y una viga). Sobre esta estructura actúa una fuerza P(t) variable en el tiempo, por lo cual la estructura vibra y se deforma lateralmente. En un instante dado, el desplazamiento lateral, en correspondencia con el nivel donde se aplica la fuerza P(t), es u(t).
k m k u(t)
Para obtener un modelo simplificado, apreciamos la semejanza que presenta esta estructura a un sistema masa-resorte, tal como los planteados en los ejercicios 43 y 44 (sobre todo este último ya que, en este caso, las oscilaciones son horizontales). En este caso se deben tener en cuenta la rigidez k de las columnas (propiedad que cuantifica el desplazamiento que experimenta la estructura cuando se aplica una fuerza unitaria) y la masa m, que se supone concentrada en el nivel de la viga (k y m son positivos). Se puede demostrar, mediante principios de dinámica estructural, que la ecuación que representa el fenómeno es:
P(t), donde ü a) Sabiendo que la fuerza que actúa sobre esta estructura es una carga armónica:
P(t) Posen(wt), responda: ¿Qué tipo de EDO es? Clasifíquela. ¿Qué tipo de movimiento armónico representa? (Libre o forzado, amortiguado o no amortiguado).
b) Asumiendo que, en el instante inicial t = 0, el desplazamiento y la velocidad son nulos (es decir que la estructura está en reposo), justifique que la solución de la ecuación diferencial es:
Ро 1 u(t)
(sen(wt) – ẞ sen(wnt)), k (1 — ẞ2)
explicando qué representan ẞy wn.
NOTA: Muchos ejercicios de este trabajo práctico han sido tomados del libro “Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera” de Zill y Wright, octava edición, Cengage Learning.
Los ejercicios (o secciones) pueden ser obligatorios (o), recomendados no obligatorios (r) y op- cionales (*).
Producto escalar o interior en un intervalo I :
Desarrollo en serie de Fourier de una función ƒ definida en el intervalo (—p, p).
ao ППХ Р
ППХ an cos( -) + bn sen
n=1
L L f(x) sen
|} } [", f(x)dx, an = | L₁₂
-)dx, n = 1, 2, ... Р ао
Desarrollo en serie de Fourier de una función ƒ definida en el intervalo (0, L), L = 2p.
-)dx, bn f(x) sen( =)dx, n = 1, 2, ...
Desarrollo en serie de cosenos de Fourier de una función ƒ definida en el intervalo (0, p).
² for f(x)dx, an = απ ппх
−)dx, n = 1, 2, ...
Desarrollo en serie de senos de Fourier de una función ƒ definida en el intervalo (0, p).
1. (r) Demuestre que las siguientes funciones son ortogonales en el intervalo indicado.
a) f1(x) = x, f2(x) = x², (-2,2).
b) f1(x) = eª, ƒ2(x) = xe¯x − e−x, (0, 2).
2. En los siguientes problemas demuestre que los conjuntos son ortogonales en el intervalo indicado.
a) (r) {sen(nx), n = 1, 2, 3, 4...}, [0, π]. b) (o) {1, cos(nx), n = 1, 2, 3, 4...}, [0, π].
c) (r) {sen(x), n = 1, 2, 3, 4...}, [0, 0p].
Ρ d) (r) {sen(nx), n = 1, 2, 3, 4...}, [0, π].
e) (r) {1, cos(x), sen(x), n = 1, 2, 3, 4...}, [—p, p].
3. Justifique que los siguientes conjuntos de funciones ortogonales no son completos en [−π, π]:
a) (o) {sen(nữ), n = 1,2,3,4...} b) (r) {1, cos(nx), n = 1, 2, 3, 4...}.
4. (r) Indique si la familia ortogonal de funciones {cos na, n ппх es o no completa n =
5. Encuentre la serie de Fourier de ƒ en el intervalo dado:
−1 < x < 0, a) (r) f(x) = { si
1, si
0 < x < 1.
x, si b) (r) f(x) = { c) (r) f(x) = {
0, -π < x < 0, | 1, si
0≤ x ≤ π.
-π< x < 0, 0 < x < π.
−2< x < 0, 0 < x < 1, 0, si x², si si si
e) (r) f(x) = x + π, −π < x < π.
0, −π < x < 0, f) (r) f(x) = si
0 < x < π.
sen x, g) (o) f(x) = sen(x), h) (o) f(x)=5 sen (3x), −π < x < π.
−π < x <π.
i) (o) f(x) = sen(x) + 5 sen(3x), −π < x < π.
6. (r) Ulilizando la serie del ejercicio 5c, demuestre que:
a) Utilice las formas exponenciales complejas del seno y del coseno, einлx/pe-inx/p
Cneinπa/p f(x) = donde ibn 2 an + ibn 2
An n = 1, 2, 3 ....
b) Demuestre que co, Cn y C-n del inciso anterior se pueden escribir como
L L₁₂ f(x)e¯
1 2p
-inлx/Pdx, n = 0, ±1, ±2, ....
8. (r) Utilice los resultados del problema 7 para encontrar la forma compleja de la serie de Fourier de f(x) = e² en el intervalo [−π,π].
9. (r) Considere la función ƒ : -π, π] R dada por f(x) = { si - π < x < 0;
0, si 0 ≤x≤π.
π- -X, Represente gráficamente a esta función y halle la serie trigonométrica de Fourier para dicha función. Indique condiciones de convergencia para una serie de Fourier y analice si esta función las cumple o no.
10. (r) Si f [0, L] → R está dada por f(x) = x, a) plantee fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier generada por f.
b) Si F es la función definida por la serie de Fourier generada por ƒ, indique cuánto vale F(L).
11. (r) Halle la serie de Fourier generada por la función ƒ definida en [0,2], dada por f(x) = 0 si 0x1 y f(x) = 1 si 1 ≤ x ≤2.
Series de Fourier de cosenos y de senos
12. (r) Determine si la función dada es par, impar o ninguna:
X 1 si x+1 si
-< x < 0 a) f(x)=
0 < x < π b) f(x)=sen(3x)
c) f(x) = x² + x d) f(x) = ex
−1 si
−π < x < 0 e) f(x) =
1 si
0 < x < π
13. (r) Pruebe las siguientes propiedades de funciones pares o impares (suponga ƒ definida en un intervalo simétrico [-a, a]).
a) El producto de dos funciones pares es par.
b) El producto de dos funciones impares es par.
c) El producto de una función impar y una función par es impar.
L a a 5 [" f(x)dx = 2 [" f(x)dr.
14. Sin calcular ningún coeficiente, en los siguientes ejercicios grafique en el intervalo [−3π, 3π] las series de Fourier, de senos y de cosenos generadas por las funciones dadas. En caso de presentarse una discontinuidad, marque claramente el valor de la serie en ese punto.
a) (r) f(x) = sen(x), b) (o) f(x)=sen(x), 0 < x < π.
0 < x < . 0<x<π.
c) (r) f(x) = cos(x), d) (r) f(x) = cos(x), 0 < x < .
e) (r) f(x) = eª, 0 < x < 1.
15. Desarrolle cada una de las funciones dadas en una serie adecuada de cosenos o senos:
X - 1, -π< x < 0, a) (0) f(x):
si x+1, 0 < x < π.
1 - x, -π< x < 0, b) (r) f(x) = c) (r) f(x) = {
一下, d) (r) f(x) = si x, П, si
16. Desarrolle la función dada en tres series: una de Fourier, una de cosenos y otra de senos, en el semiintervalo dado:
si 0<r<}, 1, x a) (0) f(x)
0 < x < 1, x, si
1< x < 2.
1, c) (r) f(x) = sen(x), 0 < x < π.
d) (r) f(x) = x², (0,2).
e) (r) f(x) = x + 1, (0, 1).
17. (r) Sea F la serie de senos de Fourier generada por f(x) = x+1, con 0 < x < p.
a) Represente gráficamente la función F en [−2p, 2p].
b) Indique cuánto valen F(-p), F(2p) y F(100p).
c) Dé fórmulas para calcular los coeficientes de Fourier correspondientes a la serie de senos de Fourier de f.
18. (o) Dada la función f por f(x) = { ={}
0 < x < 1;
1 ≤ x ≤ 2.
a) Plantee fórmulas para los coeficientes correspondientes a una serie de Fourier generada por f.
b) Si F es una serie de senos de Fourier generada por f, indique cuánto valen:
F(-1), F(2), F
19. (r) Considere la función ƒ dada por f(x) = x, 0 < x < π.
a) Extienda f al intervalo -π < x < ñ de modo que ƒ sea impar en dicho intervalo. Grafique.
b) Halle la serie trigonométrica de Fourier para dicha función.
c) Indique condiciones de convergencia para una serie de Fourier y analice si esta función las cumple o no.
20. (r) Considere la función ƒ dada por f(x) = x², 0 < x < π.
a) Extienda f al intervalo −π < x < π de modo que ƒ sea impar en dicho intervalo. Grafique.
b) Halle la serie trigonométrica de Fourier para dicha función.
c) Indique condiciones de convergencia para una serie de Fourier y analice si esta función las cumple o no.
21. (r) Dada la función f(x) = eª, 0 < x < π, y conociendo las antiderivadas en (1)-(4) (no necesita calcularlas):
a) Exprese la serie de Fourier generada por f.
b) Indique cuánto valen las series de Fourier, de senos y de cosenos (son tres series) cuando las evalúa en x = 2π.
c) (agregado al TP en 2022) Indique cuánto valen las series de Fourier, de senos y de cosenos (son tres series) cuando las evalúa en x = 200л у en x = 111π.
Sea ex n² +1 e cos(nx) dx
22. (r) Supongamos que ƒ es una función continua en el intervalo (0, L), L > 0. Consideremos la extensión impar de f y llamemos F a la serie trigonométrica de Fourier generada por dicha extensión.
a) Para cualquier función f continua definida en (0, L), plantee fórmulas para hallar los coeficientes ao, an y bn que corresponden a la serie de Fourier F buscada.
b) Para el caso especial en que ƒ está dada por ƒ (x) = x² − 1, 0 < x < L, indique cuáles son los siguientes valores: F(0), F(-L) y F(L).
c) Enuncie el teorema de convergencia de series de Fourier.
23. (o) Sea f la función definida en el intervalo (0,3) cuyo gráfico se presenta a continuación. Cabe destacar que k es un número positivo.
a) Sabiendo que los coeficientes an correspondien- tes a la serie de Fourier generada por f son todos ellos nulos, para n
1, 2,..., halle los restantes coeficientes y escriba la serie de Fou- rier generada por f.
b) Considerando las series de Fourier, la serie de senos y la serie de cosenos generadas por f, indique cuánto vale cada una de estas tres series en los puntos x1 k
24. Sea la función f(x) = { si
0<<1, 0, 2x, si 1x < 2.
a) (r) Escriba la serie de cosenos de Fourier generada por f.
25. (r) Sea la función ƒ dada por ƒ 0, si0<x<1, sil<x<2.
[cos (177) dr = -12- sen (17)
* sen (17) dz = − 2 = ((-1)" - c()).
a) Escriba la serie de Fourier, la serie de cosenos y la serie de senos generadas por f. Para justificar su respuesta, plantee las fórmulas para hallar los coeficientes necesarios; no hace falta que calcule las integrales si aparecen en la lista de más arriba.
b) Dé los valores de cada una de estas tres series evaluadas en -2.
c) Indique, para cada una de las funciones definidas por las series anteriores, si se trata de una función continua en x = = 4 o no, justificando su respuesta.
26. (r) Considere la función dada por f(x) = 10x − x² en el intervalo [0, 10].
a) Plantee el desarrollo en serie de senos de Fourier de f. Para ello especifique (sin necesidad de resolver) claramente las integrales necesarias, y luego exprese la serie pedida.
b) Indique, justificando su respuesta, si la serie obtenida es o no convergente al valor de la función f en x = [0, 10]. En caso de no ser convergente en algunos valores x, debe indicar claramente a qué valor converge la serie obtenida, si es que lo hace.
c) Represente gráficamente en el intervalo [-10, 10] la función obtenida (serie de Fou- rier).
27. (r) Sea f la función definida en (0,2k) por f(x) = k, si 0 < x < k y f(x) = 2k −x, si k ≤ x2k. Sabiendo que:
½ f(x) cos (2) dr = (co-(-1)");
((−1)" − 1)) ; (5) | | | ** f (x) sen
ПП a) (10 puntos) Exprese la serie de cosenos de Fourier generada por ƒ y, si usa fórmulas de las anteriores, indique claramente cuál o cuáles usa.
b) (10 puntos) Exprese la serie de senos de Fourier generada por ƒ y, si usa fórmulas de las anteriores, indique claramente cuál o cuáles usa.
c) (10 puntos) Exprese la serie de Fourier generada por f y, si usa fórmulas de las anteriores, indique claramente cuál o cuáles usa.
d) (15 puntos) Indique si alguno de los siguientes gráficos corresponde a la serie de cosenos de Fourier generada por f, si alguno corresponde a la serie de senos de Fourier generada por ƒ y si alguno corresponde a la serie de Fourier generada por ƒ. Justifique.
Funciones trignométricas de la suma o resta de ángulos sen(xy) sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y) = ± cos(xy) = cos(x) cos(y) + sen(x) sen(y)
sen(x + y) + sen(x − y) si x = y: sen(2x)
cos(x + y) + cos(x − y) = 2 cos(x) cos(y) - cos(x + y) + cos(xy) = 2 sen(x) sen(y) sixy: (2) cos(2x) = cos²(x) - sen² (x) Combinando (1) y (2):
1 + cos(2x) = 2 cos² (x)
cos(2x) 2 sen²(x)